Per affrontare nei radicali il problema del trasporto di fattori fuori e dentro dal simbolo di radice utilizzeremo le proprietà delle potenze e le proprietà dei radicali che abbiamo visto nella precedente lezione.
Un nostro primo obiettivo sarà ad esempio quello di scrivere l’espressione:
\[ 3 \sqrt[5]{7} \]
come un’espressione ad essa equivalente ma con fattori tutti dentro al simbolo di radice.
Poi, data ad esempio l’espressione:
\[ \sqrt{9\cdot 7 } \]
vorremo riscriverla in modo da avere almeno un fattore fuori dal simbolo di radice. E anche in questo caso, l’espressione ottenuta dovrà essere equivalente a quella di partenza.
Vediamo allora subito le regole per il trasporto dei fattori nei radicali.
Regola dei radicali per il trasporto di un fattore dentro al simbolo di radice
Introdurremo la regola per trasportare un fattore dentro al simbolo di radice a partire dalle proprietà e definizioni che conosciamo. Chi va di fretta può saltare direttamente alla regola pratica.
Il problema del trasportare un numero dentro al simbolo di radice (trasporto di fattori dentro ai radicali)
Vediamo ancora una volta di capire come comportarci in base alle proprietà e definizioni che già conosciamo. 😉
Premettiamo che è possibile scrivere la radice prima di un numero come segue:
\[ \sqrt[1]{a} = a^{\frac{1}{1}}=a \]
Come evidenziato la radice con indice 1 di un numero è semplicemente uguale al numero dato. Per cui in genere la radice con indice unitario non viene mai usata. Tuttavia, per i nostri fini ci tornerà utile.
Supponiamo di avere l’espressione:
\[ 3\sqrt[4]{5} \]
Formalmente indichiamo il 3 come coefficiente del radicale, mentre \( \sqrt[4]{5} \) è il radicale. In modo più semplice l’espressione consiste in un prodotto tra un numero e un radicale:
\[ 3 \cdot \sqrt[4]{5} \]
Ora, vogliamo portare il numero dentro al simbolo di radice, in modo da ottenere un’espressione equivalente a quella data che contenga soltanto un radicale, senza che vi sia alcun fattore fuori radice. Tale operazione si indica semplicemente con “portare il fattore dentro la radice”.
Il primo passo consiste nel riscrivere il fattore \( 3 \) in forma di radicale. La radice con indice \( 1 \) è di nostro aiuto:
\[ 3 \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[1]{3} \cdot \sqrt[4]{5} \]
Ci siamo allora ricondotti al prodotto tra due radicali aventi diverso indice. Ma per quanto visto nella precedente lezione sappiamo come procedere. L’idea è pertanto quella di ridurre entrambi i radicali allo stesso indice, e quindi eseguire il prodotto.
Per ridurre i radicali \( \sqrt[1]{3} \) e \( \sqrt[4]{5} \) allo stesso indice, il primo passo consiste nel calcolare il minimo comune multiplo tra gli indici dei due radicali:
\[ \text{mcm}(1, 4) = 4 \]
A questo punto, calcoliamo i quozienti tra il minimo comune indice ottenuto e gli indici di ciascun radicale:
\[ 4: 1 = \mathbf{4}; \qquad 4:4 = \mathbf{1} \: \: \]
Infine, moltiplichiamo gli esponenti dei rispettivi radicandi nei radicali di partenza (gli argomenti delle radici) per i quozienti ottenuti. Adottiamo inoltre per entrambi i nuovi radicali il minimo comune indice. Possiamo così riscrivere l’espressione di partenza come:
\[ \sqrt[4]{3^{1 \cdot \mathbf{4}}}\cdot \sqrt[4]{5 ^{1 \cdot \mathbf{1}}} \: \]
ovvero:
\[ \sqrt[4]{3^{4}}\cdot \sqrt[4]{5 } \]
A questo punto, ci rimane solo da ricordare una semplice regola che già conosciamo. Il prodotto tra due radicali aventi lo stesso indice si può riscrivere come un radicale avente come indice quel comune indice e come radicando il prodotto dei radicandi di partenza. Possiamo quindi scrivere:
\[ \sqrt[4]{3^{4}}\cdot \sqrt[4]{5 }= \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} \]
e in conclusione:
\[ 3\sqrt[4]{5}= \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} \]
E siamo arrivati. 🙂
In alternativa, ce la saremmo potuta anche cavare con gli esponenti fratti (frazionari). Consideriamo l’espressione di partenza e riscriviamola utilizzando gli esponenti fratti:
\[ 3\sqrt[4]{5}= 3 ^ {\frac{1}{1}}\cdot 5 ^ {\frac{1}{4}} \]
Riduciamo le frazioni che compaiono negli esponenti allo stesso denominatore:
\[ \dfrac{1}{1}, \quad \dfrac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{4}, \quad \dfrac{1}{4} \]
In base a tale ragionamento, possiamo riscrivere l’espressione precedente utilizzando i nuovi esponenti fratti così ottenuti:
\[ 3 ^ {\frac{4}{4}}\cdot 5 ^ {\frac{1}{4}} \]
Ovvero, utilizzando la proprietà delle potenze di potenze:
\[ \left( 3 ^ {4}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot 5 ^ {\frac{1}{4}} \]
E siamo di nuovo arrivati. 🙂 Infatti, ci basta riscrivere i due fattori come radicali con indice \( 4 \):
\[ \left( 3 ^ {4}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot 5 ^ {\frac{1}{4}}= \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} \]
e quindi in conclusione, come già ottenuto in precedenza:
\[ \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} \]
Dai ragionamenti fatti deduciamo la seguente regola pratica.
Regola pratica per portare un fattore dentro al simbolo di radice
Per portare un numero positivo che moltiplica un radicale dentro al simbolo di radice, basterà portare tale fattore dentro al simbolo di radice moltiplicando l’esponente del fattore stesso per l’indice del radicale.
Così, data l’espressione di partenza:
\[ 3\sqrt[\mathbf{4}]{5} \: \]
porteremo il \( 3 \) dentro al simbolo di radice semplicemente moltiplicando il suo esponente (1) per l’indice \( \mathbf{4}\: \):
\[ 3\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{3^{1 \cdot \mathbf{4}}\cdot5}= \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} \: \]
E se il numero che moltiplica il radicale è negativo? In tal caso porteremo dentro al simbolo di radice il fattore privato del segno, e porremo un segno meno davanti al simbolo di radice, comportandoci per il resto come nei casi precedenti. Così avremo ad esempio:
\[ -3 \sqrt[3]{4}=-\sqrt[3]{3^3 \cdot 4} \]
Ancora un altro esempio:
\[ -7 \sqrt[]{5}=-\sqrt[]{7^2 \cdot 5} \]
Osserviamo che sia per indice della radice pari, sia per indice della radice dispari, la regola pratica è la stessa.
Ricordiamo tuttavia che se l’indice del radicale è dispari, la quantità dentro la radice può essere anche negativa. E infatti sì, nel solo caso di indice della radice DISPARI, possiamo portare dentro la radice anche un numero negativo. Ad esempio, riprendendo uno dei casi precedenti:
\[ -3 \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 4} \]
ma, poiché \( -3 = -1 \cdot 3 \):
\[ \begin{align}&\sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 4}=\sqrt[3]{(-1 \cdot 3)^3 \cdot 4}= \sqrt[3]{(-1)^3 \cdot 3^3 \cdot 4 }= \sqrt[3]{(-1)^3}\cdot \sqrt[3]{3^3 \cdot 4 } = \\ \\ & = -1 \cdot \sqrt[3]{3^3\cdot4}=-\sqrt[3]{3^3\cdot4} \end{align} \]
Quindi ritroviamo di nuovo il risultato della regola valida per indice qualsiasi. Tanto vale, dunque, seguire una stessa semplice regola comune. 😉
Esempi (trasporto di fattori dentro ai radicali)
\[ -2 \cdot \sqrt[3]{3}=-\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}=-\sqrt[3]{8 \cdot 3}=- \sqrt[3]{24}; \]
\[ 2 \sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{2^4 \cdot 5}=\sqrt[4]{16 \cdot 5}=\sqrt[4]{ 80} \]
\[ -3 \sqrt[4]{7} = -\sqrt[4]{3^4 \cdot 7}=-\sqrt[4]{81 \cdot 7} = -\sqrt[4]{567} \]
Trasportare un numero fuori dal simbolo di radice
Proseguiamo ora il discorso del trasporto di fattori nei radicali, esaminando un nuovo caso. Si tratta in particolare del problema inverso rispetto a quanto visto in precedenza, ovvero trasportare un numero fuori dal simbolo di radice.
Pur trattandosi di un’operazione diversa dalle precedenti, cercheremo di introdurre e spiegare il trasporto dei fattori nei radicali fuori dalla radice utilizzando ancora una volta le conoscenze che abbiamo sinora acquisito. 🙂
Per chi ha fretta, è possibile saltare direttamente alla regola pratica.
Consideriamo ad esempio l’espressione:
\[ \sqrt{2^2 \cdot 7} \]
Vogliamo riscrivere l’espressione in una forma contenente un numero che moltiplica il radicale. Per fare questo, l’idea è quella di portare fuori dal simbolo di radice un fattore, seguendo certe regole di modo che l’espressione che otteniamo sia equivalente a quella di partenza.
Osserviamo che per la regola del prodotto tra radicali con lo stesso indice, sfruttando la simmetria dell’uguaglianza possiamo scrivere:
\[ \sqrt{2^2 \cdot 7}=\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{7} \]
A questo punto si tratterà di semplificare il radicale \( \sqrt{2^2} \). Per fare ciò basta dividere indice della radice ed esponente del radicando per il loro massimo comune divisore, in questo caso \( 2 \). Abbiamo così:
\[ \sqrt[2]{2^2}\cdot \sqrt{7} = \sqrt[2:2]{2^{2:2}} \cdot \sqrt{7} = \sqrt[1]{2^1} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{7} \]
E in questo modo abbiamo di fatto portato fuori il fattore \( 2 \) dal simbolo di radice.
Osserviamo che è in generale possibile portare fuori un termine dal simbolo di radice soltanto quando il suo esponente è maggiore o al più uguale all’indice della radice.
Così ad esempio, nel radicale:
\[ \sqrt[3]{2^2} \]
non è possibile portare fuori il \( 2 \). Invece, nel radicale:
\[ \sqrt[3]{2^5} \]
possiamo portare fuori un fattore \( 2 \) poiché l’esponente del radicando è maggiore dell’indice della radice. Ma quale esponente dovremo dare in questo caso al fattore \( 2 \) una volta fuori dal simbolo di radice?
L’idea è quella di sfruttare la proprietà del prodotto tra potenze con uguale base. In particolare, possiamo riscrivere \( 2^5 \) come \( 2^3 \cdot 2^2 \). Infatti, \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5 \). Procediamo:
\[ \sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2} \]
Ma ancora, in modo simile a quanto fatto in precedenza:
\[ \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2}=\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]{2^2}=2 \cdot \sqrt[3]{2^2} \]
E ce la siamo così cavata anche in questo caso. 😉 Osserviamo che il fattore \( 2^2 \) è costretto a rimanere dentro al simbolo di radice, poiché l’esponente del radicando è minore dell’indice della radice.
Consideriamo ora il seguente caso:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 } \]
Procedendo con ragionamenti simili a quelli fatti in precedenza, possiamo arrivare al risultato ma in modo un po’ lento. Tuttavia, proviamo. L’idea è quella di scomporre \( 2^{10 } \) come prodotto di potenze nelle quali compaia il più possibile come esponente proprio l’indice del radicale. Stesso metodo utilizzeremo per la quantità \( 3^6 \). Così:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }= \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3^3 \cdot 3^3 \cdot 7}= \]
Ora “spezziamo le radici”:
\[ =\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{7}= \]
Semplifichiamo i radicali ove possibile:
\[ =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{7} = 2^3\cdot3^2 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{7} = 2^3\cdot3^2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 7} \]
Così in conclusione, riprendendo l’espressione di partenza possiamo scrivere:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }=2^3\cdot3^2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 7} \]
Siamo arrivati dove volevamo… ma non certo in maniera agile. 😉 Proviamo allora ad usare le potenze di potenze. In particolare, a partire di nuovo dalla precedente espressione iniziale, possiamo scrivere:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }=\sqrt[3]{2^9 \cdot 2 \cdot 3^6 \cdot 7 }=\sqrt[3]{(2^3)^3 \cdot 2 \cdot(3^2)^3 \cdot 7} \]
A questo punto possiamo portare fuori le basi corrispondenti agli esponenti più esterni dei fattori del radicando, con ragionamenti simili a quelli che abbiamo già fatto:
\[ \sqrt[3]{(2^3)^3 \cdot 2 \cdot(3^2)^3 \cdot 7}= 2^3 \cdot 3^2 \sqrt[3]{2 \cdot 7} \]
e ci siamo. 😉
Osserviamo con attenzione il primo passaggio eseguito:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }=\sqrt[3]{2^9 \cdot 2 \cdot 3^6 \cdot 7 } \]
Osserviamo che abbiamo scomposto \( 2^{10} \) come \( 2^9 \cdot 2 \). Non abbiamo operato la scelta a caso. \( 9 \) è infatti un multiplo intero dell’indice della radice.
Otteniamo quindi la seguente regola pratica.
Regola pratica per portare fuori un fattore positivo dal simbolo di radice
E’ possibile portare fuori un fattore positivo dal simbolo di radice, posto che il suo esponente sia maggiore dell’indice della radice stessa, attribuendo al fattore trasportato all’esterno un esponente dato dal quoziente della divisione tra l’esponente che il fattore aveva dentro il radicale e l’indice della radice. Inoltre, se il resto della divisione è diverso da zero, il fattore dovrà comparire anche dentro al simbolo di radice, con esponente pari al resto stesso.
Questo ci porta a poter scrivere direttamente:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }= 2^3 \cdot 3^2 \sqrt[3]{2 \cdot 7} \]
L’uguaglianza si giustifica immediatamente osservando che il risultato della divisione tra l’esponente del fattore \( 2 \) dentro radice e l’indice della radice è pari a:
\[ 10:3 = 3 \quad \text{con resto} \:\:1 \]
E infatti, nel risultato il fattore \( 2 \) ha esponente \( 3 \) fuori dalla radice (il quoziente) e esponente \( 1 \) dentro la radice (il resto).
Per quanto riguarda il fattore \( 3 \), la divisione \( 6:3 \) ha quoziente \( 2 \) e resto zero. Così, il fattore \( 3 \) compare solo fuori radice con esponente \( 2 \).
La regola può essere utilizzata anche in modo più spedito. Riprendiamo ancora l’esempio di partenza:
\[ \sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 } \]
Possiamo scrivere la potenza \( 2^{10} \) come prodotto di una potenza avente stessa base con esponente il multiplo intero più grande possibile dell’indice della radice e di una potenza ancora con la stessa base ma avente come esponente la differenza tra l’esponente di partenza \( 10 \) e il multiplo intero usato nel primo esponente. Così, scriveremo:
\[ 2^{10}=2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{1}= 2^{9}\cdot 2 \]
In questo modo già sappiamo che potremo portare fuori solo il fattore corrispondente alla potenza con esponente multiplo dell’indice e dovremo lasciare dentro l’altro fattore. E poiché l’esponente del fattore che portiamo fuori è multiplo intero dell’indice della radice, il fattore che portiamo fuori avrà esponente pari al rapporto tra l’esponente che aveva dentro la radice diviso per l’indice della radice.
Per il fattore \( 3 \) procederemo come già fatto in precedenza.
Così:
\[ \begin{align}&\sqrt[3]{2^{10} \cdot 3^6 \cdot 7 }=\sqrt[3]{2^9 \cdot 2 \cdot 3^6 \cdot 7}=2^{9:3}\cdot3^{6:3}\cdot \sqrt[3]{2 \cdot 7} = \\ \\ & = 2^3 \cdot 3^2 \cdot\sqrt[3]{2 \cdot 7 } \end{align} \]
Esempi svolti e commentati sul trasporto di numeri dentro ai radicali
Esempio 1
\[ \begin{align} &\sqrt{288}= \sqrt{2 \cdot 144}=\sqrt{2 \cdot 12^2}=\sqrt{2 \cdot (4 \cdot 3)^2}=\sqrt{2 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}= \\ \\ & = \sqrt{2 \cdot 2^4 \cdot 3^2}=2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}=12 \sqrt{2}\end{align} \]
Vediamo di spiegare questo primo esempio passo per passo. Anzitutto abbiamo scomposto in fattori primi il radicando. Per fare questo ci ha fatto comodo osservare che \( 288 \) è il doppio di \( 144 \) e che \( 144 \) è il quadrato di \( 12 \). In tal modo abbiamo velocizzato la scomposizione in fattori primi. In ogni caso non c’è di che preoccuparsi: tale scomposizione si può anche eseguire nella modalità più classica, spiegata nella lezione nel link. 😉
Il passaggio cruciale nell’esercizio è questo:
\[ \sqrt{2 \cdot 2^4 \cdot 3^2}=2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \]
Qui abbiamo portato fuori i fattori dividendo il loro esponente per l’indice della radice. In modo più esplicito:
\[ \sqrt{2 \cdot 2^4 \cdot 3^2}=\sqrt[2]{2 \cdot 2^4 \cdot 3^2}=2^{4:2}\cdot3^{2:2}\cdot \sqrt{2} =2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \]
Un fattore \( 2 \) è rimasto dentro la radice poiché ha esponente minore dell’indice della radice.
Esempio 2
\[ \sqrt[3]{1029} \]
Osserviamo che la somma delle cifre del numero \( 1029 \) è \( 1+0+2+9=12 \), che è un numero divisibile per \( 3 \). Abbiamo:
\[ 1029:\mathbf{3} = 343 \]
Ora, \( 343 \) è divisibile per \( 7 \). Ce ne rendiamo conto facilmente poiché \( 350-7 = 343 \) , inoltre \( 7 \cdot 50 = 350 \) e quindi necessariamente \( 343 = 7 \cdot (50-1) = 7 \cdot 49 \). Di conseguenza:
\[ 343:\mathbf{7} = 49 \]
Dividendo ancora per \( 7 \):
\[ 49:\mathbf{7} = 7 \]
E infine:
\[ 7:\mathbf{7} = 1 \]
Così:
\[ 1029 = \mathbf{3} \cdot \mathbf{7} \cdot \mathbf{7} \cdot \mathbf{7} = 3 \cdot 7^3 \]
Tornando al radicale:
\[ \sqrt[3]{1029}=\sqrt[3]{3 \cdot 7^3}=7^{3:3}\cdot\sqrt[3]{3}=7 \sqrt[3]{3} \]
Per questa lezione sul trasporto di fattori nei radicali è tutto. Nelle prossime lezioni vedremo i prodotti fra radicali composti e la razionalizzazione dei radicali. Ciao! 🙂