Sono qui disponibili in particolare esercizi svolti sui limiti di funzioni per limiti di una variabile, cioè della forma:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) \]
Gli esercizi sono organizzati per categoria. Potrete così identificare rapidamente gli esercizi sui limiti di vostro interesse. Come sempre, tutti gli svolgimenti sono commentati generosamente e rimandano alle parti teoriche ad essi correlati.
Molto spesso per gli esercizi viene proposto più di uno svolgimento. Questo viene fatto sia allo scopo di rendere fruibili i contenuti per i vari livelli dei percorsi formativi (superiori ed università), sia per favorire un senso critico nella risoluzione dei problemi matematici.
Vengono presentate tutte le varie tecniche risolutive: sostituzione di variabile, uso dei limiti notevoli e delle equivalenze asintotiche, confronto tra infiniti ed infinitesimi e molto altro ancora.
Clicca sul testo dell’esercizio per visualizzare lo svolgimento 😉
Esercizi sui limiti con forme indeterminate [0/0]
Esercizi svolti sui limiti di funzioni relativi alle forme indeterminate \( \left[\dfrac{0}{0} \right] \) o comunque nei quali i denominatori tendono a zero.
Esercizi sui limiti per x che tende ad infinito di polinomi
Limiti per x che tende ad infinito del rapporto di polinomi. Si possono risolvere con le tecniche di confronto tra infiniti o con le regole per i limiti dei rapporti tra polinomi per x che tende ad infinito. Il primo metodo è più basato sul ragionamento, il secondo più sull’applicazione meccanica di regole. A voi la scelta 😉
Esercizi sui limiti risolvibili mediante le relazioni della trigonometria, limiti notevoli oppure equivalenze asintotiche
Esercizi svolti sui limiti di funzioni con procedimenti alternativi. Vedrete come al raffinarsi della tecnica lo svolgimento diventa sempre più agile.
| Relazioni trigonometria | Limiti notevoli | Equivalenze asintotiche |
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Limiti risolvibili con le tecniche di isolamento della parte principale e confronto di infinitesimi ed infiniti
Limiti risolvibili con il metodo di sostituzione (cambio di variabile) e/o limiti notevoli (con equivalenze asintotiche)
Ulteriori esercizi
A seguire riportiamo ulteriori esercizi relativi a funzioni espresse come rapporti tra polinomi e funzioni razionali.
- Esercizi con raccoglimenti e razionalizzazioni.
- Limiti con radici (esercizi sui limiti di funzioni irrazionali).
Per gli studenti universitari e studenti delle scuole superiori molto volenterosi, sono disponibili inoltre esercizi relativi all’esame di Analisi Matematica.
Vi ricordo inoltre che qui su Altramatica è anche presente un comodo risolutore che si avvale del potente motore matematico Wolfram Alpha. In questo modo, potrete verificare facilmente i risultati dei problemi da voi svolti.
Il risolutore permette di inserire la funzione della quale calcolare il limite, il valore al quale tende la variabile e anche la variabile utilizzata. In questo modo, sarà ancora più pratico verificare i propri passaggi anche quando si effettuano dei cambi di variabile. 😉