Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty}x \left[\log(x+3)-\log(x+1) \right] \]
Nota: i logaritmi sono intesi nel testo in base e.
Il primo passo da fare è quello di riscrivere l’espressione all’interno del limite in una forma ad essa equivalente sfruttando le proprietà dei logaritmi.
Ricordiamo che in generale si ha:
\[ \log a – \log b=\log\left(\dfrac{a}{b}\right) \]
cioè la differenza tra due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto dei rispettivi argomenti.
Possiamo dunque riscrivere il limite assegnato come:
\[ \lim_{x \to +\infty}x \left[\log(x+3)-\log(x+1) \right]= \lim_{x \to +\infty}x\left[\log \left( \dfrac{x+3}{x+1} \right)\right] \]
Ora risolviamo l’esercizio utilizzando il metodo di sostituzione. Poniamo:
\[ t=\dfrac{x+3}{x+1} \]
da cui risulta:
\[ x = \dfrac{3-t}{t-1}, \quad t \neq 1 \]
Per \( x \to +\infty \), la variabile \( t \) tende a \( 1 \) poiché:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x+3}{x+1}=1 \]
Possiamo dunque riscrivere il limite nella variabile \( t \):
\[ \lim_{t \to 1} \dfrac{3-t}{t-1}\log t=\lim_{t \to 1}(3-t)\cdot \lim_{t \to 1}\dfrac{\log t}{t-1}=2 \lim_{t \to 1}\dfrac{\log t}{t-1} \]
Ora, abbiamo bisogno di un trucco che ci permetta di ritrovare il limite notevole del logaritmo:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\log_e(1+x)}{x}=1 \]
Poiché nell’espressione all’interno del nostro limite abbiamo il termine \( \log(t) \), noi desideriamo fare un cambio di variabile di modo che per la nuova variabile \( k \to 0 \) si abbia il termine \( \log(k+1) \). Per poter fare questo è sufficiente porre:
\[ k=t-1 \]
In questo modo, per \( t \to 1 \) la nuova variabile \( k \to 0 \), inoltre \( t=k+1 \) come desideravamo 😉
E ora ci siamo ragazzi, perché possiamo riscrivere il limite assegnato come:
\[ 2 \lim_{t \to 1}\dfrac{\log t}{t-1}=2\lim_{k \to 0}\dfrac{\log (k+1)}{k}=2 \]
E l’esercizio relativo ad un limite con differenza di logaritmi è così terminato 😉
Ricordo ancora agli studenti universitari che va aggiunta le verifica delle ipotesi del teorema del limite della funzione composta.
In particolare, per la prima sostituzione (nella variabile \( t \)), il teorema è applicabile poiché \( g(x)=\log(x) \) è continua in \( l=1 \).
Per la seconda sostituzione nella variabile \( k \), il teorema è applicabile poiché anche se \( g(x)=\log x \) non è continua in \( l=0 \), comunque \( f(x)=t-1 \) è sempre diversa da \( l=0 \) in un intorno bucato di \( t_0=1 \) (ciò è ovvio poiché \( f(x) \) è lineare).