Calcolare il seguente limite con le relazioni goniometriche:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{3 \sin^2 x} \]
L’idea è quella di semplificare l’espressione all’interno del limite utilizzando una fra le varie relazioni goniometriche.
Per la relazione fondamentale della goniometria si ha:
\[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \]
Da tale relazione è possibile esprimere il seno in funzione del coseno:
\[ \sin^2x=1-\cos ^2 x \]
Possiamo dunque scrivere:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{3 \sin^2 x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3 (1 – \cos^2 x)} \]
Ora è possibile semplificare ulteriormente l’espressione poiché abbiamo tutti termini nei quali compare il solo coseno.
Si tratta ora di riconoscere al denominatore la differenza tra due quadrati:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3 (1 – \cos^2 x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3(1-\cos x)(1+\cos x)} \]
Ora, l’espressione all’interno del limite non è definita per \( x=0 \). Infatti, poiché \( \cos(0)=1 \) in tal caso si annulla il denominatore. Tuttavia, ciò non importa all’algoritmo di limite. Non è detto infatti che \( x_0 \) debba appartenere al domino della funzione, ma può essere per essa semplicemente punto di accumulazione. E’ dunque possibile semplificare i termini \( 1-\cos x \):
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3(1-\cos x)(1+\cos x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{3(1+\cos x)} \]
E’ infine possibile calcolare il limite per sostituzione diretta:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{3(1+\cos x)}=\dfrac{1}{6} \]
E’ stato dunque possibile calcolare il limite con le relazioni goniometriche. La relazione fondamentale della goniometria ci ha nello specifico permesso di esprimere l’argomento del limite nella sola funzione coseno. In questo modo è stato possibile semplificare l’espressione all’interno del limite.
In alternativa, è possibile risolvere l’esercizio anche utilizzando i limiti notevoli (metodo algebrico) o le equivalenze asintotiche che derivano dai limiti notevoli.