Per il calcolo dei limiti con radici ci occuperemo dei seguenti tre casi:
- limite di una funzione con radice al numeratore o al denominatore;
- limite della radice di un rapporto tra polinomi;
- limiti con radici che richiedono l’uso delle tecniche di razionalizzazione.
Per quanto riguarda il primo caso utilizzeremo per il calcolo dei limiti le tecniche di confronto degli ordini di infinitesimo ed infinito o eventualmente dei raccoglimenti a fattore comune.
Nel secondo caso (limite della radice di un rapporto tra polinomi) sfrutteremo convenientemente uno dei teoremi sulle operazioni con i limiti (regola del limite della funzione potenza). Mostreremo inoltre che è del tutto equivalente in questo caso ragionare con il teorema del limite della funzione composta.
Nel terzo caso calcoleremo i limiti con radici utilizzando le tecniche di razionalizzazione che abbiamo visto nello studio dei radicali. Applicheremo tali tecniche non solo al denominatore della funzione all’interno del limite ma anche al numeratore, a seconda delle necessità.
In tutti e tre i casi l’idea è quella di liberarci dalle forme indeterminate che possono presentarsi nei limiti con radici utilizzando gli strumenti dell’algebra e le conoscenze sugli ordini di infinitesimo ed infinito.
Fatte le dovute premesse vediamo subito le principali tecniche per il calcolo dei limiti con radici.
Esercizi sui limiti con radici
Negli esercizi a seguire sui limiti con radici indicheremo la forma indeterminata accanto al testo del limite, entro le parentesi quadre. Nel risolvere gli esercizi forniremo come sempre i richiami teorici necessari, rimandando comunque alle lezioni correlate per eventuali ulteriori approfondimenti.
Esercizi con funzioni aventi radici al numeratore o al denominatore
Esercizio 1
Calcolare:
\[ \lim_{x \to + \infty} \dfrac{6x-5}{\sqrt{25x^2+1}} \qquad \left[\dfrac{\infty}{\infty} \right] \]
Possiamo ragionare utilizzando le tecniche di isolamento della parte principale di infiniti. In particolare, la costante a numeratore all’infinito può essere trascurata. Inoltre, ragionando allo stesso modo per l’argomento della radice a denominatore, anche in questo caso possiamo trascurare la costante. Così il limite dato equivale a:
\[ \lim_{x \to + \infty} \dfrac{6x}{\sqrt{25x^2}}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x}{5|x|} \]
E’ importante ricordarsi qui le proprietà dei radicali, e in particolare che in generale si ha \( \sqrt{x^2}= |x| \) e non semplicemente \( x \). A questo punto però, ricordando le proprietà del valore assoluto, poiché nel limite la \( x \) tende a più infinito, e quindi è positiva, possiamo in questo particolare caso sostituire a \( |x| \) la quantità \( x \). Di conseguenza:
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x}{5|x|}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x}{5x}=\dfrac{6}{5} \]
ed abbiamo terminato. 😉
Piuttosto che isolare direttamente le parti principali degli infiniti come sin qui fatto, è in alternativa possibile procedere per via algebrica utilizzando dei raccoglimenti. Ripartendo dal limite inizialmente dato, si ha:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to + \infty} \dfrac{6x-5}{\sqrt{25x^2+1}}= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x\left(6-\dfrac{5}{x} \right)}{\sqrt{x^2 \left(25+\dfrac{1}{x^2} \right)}} = \\ \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim _{x \to + \infty}x \cdot \lim_{x \to +\infty}\left(6-\dfrac{5}{x} \right) }{\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sqrt{x^2} \cdot \lim_{x \to +\infty} \sqrt{25+\dfrac{1}{x^2}}}=\end{align} \]
e tenendo conto del fatto che \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x^n}=0, \quad n> 0 \) proseguendo i passaggi otteniamo:
\[ = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{|x|}\cdot \dfrac{6}{\sqrt{25}}=\dfrac{6}{5} \]
Abbiamo così ritrovato il precedente risultato, utilizzando dei raccoglimenti per evidenziare in modo esplicito il comportamento al limite della funzione. 😉
Può essere utile osservare che nei precedenti passaggi abbiamo anche utilizzato la regola del limite del prodotto di funzioni (vedi operazioni sui limiti).
Esercizio 2
Calcolare:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2-1}} \qquad \left[\dfrac{\infty}{\infty} \right] \]
Il metodo da adottare è del tutto simile a quello utilizzato nell’esercizio precedente. Così, isolando la parte principale negli infiniti a numeratore e denominatore o comunque effettuando i raccoglimenti a fattore comune si dimostra che il limite di partenza equivale a:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{|x|} \]
Osserviamo che poiché la \( x \to -\infty \) la quantità \( |x| \) può essere sostituita con \( -x \). Ciò deriva dal fatto che la funzione valore assoluto restituisce per definizione un valore sempre positivo. Di conseguenza, se la \( x \) è negativa il termine \( -x \) è ovviamente positivo. Così possiamo scrivere in conclusione:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{|x|}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3\cancel{x}}{-\cancel{x}}=-3 \]
Il limite è così calcolato. 😉
Osserviamo che a partire dal limite:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{|x|} \]
è possibile arrivare al risultato in modo più semplice tenendo conto che \( |x| \) è sempre positivo e che quindi il segno è determinato dal termine \( 3x \) a numeratore. Poiché la \( x \) tende a meno infinito allora il numeratore sarà per forza negativo, e dall’algebra dei segni discende il risultato finale.
Esercizio 3
Vediamo un ulteriore limite con radici nel caso di termine con radice al numeratore. Il procedimento come sarà immediato notare è del tutto simile a quello dei due esercizi precedenti.
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \qquad \left[\dfrac{\infty}{\infty} \right] \]
Isolando la parte principale degli infiniti a numeratore e a denominatore possiamo vedere che il limite dato equivale a:
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{|x|}{x}=1 \]
e siamo arrivati.
In alternativa, possiamo anche in questo caso effettuare i raccoglimenti a fattore comune piuttosto che isolare direttamente le parti principali degli infiniti. Così abbiamo il seguente procedimento alternativo:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 \left(1+\dfrac{1}{x^2} \right)}}{x\left(1+\dfrac{1}{x} \right)}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{x \cdot \left(1+\dfrac{1}{x} \right)}= \\ \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to +\infty}|x| \cdot \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} }{\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x \cdot \lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x} \right) }= \lim _{x \to +\infty} \dfrac{|x|\cdot 1}{x \cdot 1 }=1\end{align} \]
Come al solito abbiamo qui ragionato utilizzando anche le proprietà delle operazioni sui limiti e il fatto che \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}\dfrac{1}{x^n}=0, \quad n> 0 \).
Esercizi sui limiti con radici (radice di un rapporto tra polinomi)
Esercizio 4
Calcolare:
\[ \lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}} \qquad \left[\dfrac{\infty}{\infty} \right] \]
Osserviamo che per le proprietà dei radicali si ha:
\[ \lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}}=\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}\right)^{\frac{1}{3}} \]
ci siamo così ricondotti al caso del limite di una potenza di una funzione, che equivale alla potenza del limite della funzione stessa:
\[ \lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{27x^3-1}{x^3+2} \right)^{\frac{1}{3}}= \]
Ci ritroviamo a questo punto con un semplice limite di rapporto tra polinomi. Proseguendo i passaggi, ad esempio isolando le parti principali degli infiniti a numeratore e denominatore:
\[ =\left( \lim_{x \to +\infty} \dfrac{27x^3}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3 \]
e abbiamo terminato. 🙂
Per risolvere l’esercizio è anche possibile, in via più generale, ragionare con il teorema del limite della funzione composta. In particolare, partendo dal limite:
\[ \lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}} \]
basta osservare che la funzione all’interno del limite è una funzione composta data dalla funzione esterna \( f(x)=\sqrt{x} \) e dalla funzione interna \( g(x)=\dfrac{27x^3-1}{x^3+2} \). Così, omettendo per brevità la verifica delle ipotesi di applicabilità del teorema del limite della funzione composta, possiamo porre:
\[ t=\dfrac{27x^3-1}{x^3+2} \]
e quindi scrivere:
\[ \lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}}=\lim_{t \to l}\sqrt[3]t \]
ove:
\[ l = \lim_{x \to + \infty} {\dfrac{27x^3-1}{x^3+2}}=27 \]
e in conclusione, proseguendo i passaggi:
\[ \lim_{t \to l}\sqrt[3]t \stackrel{\begin{align}l=27 \\ \\ \end{align}}{=}\lim_{t \to 27} \sqrt[3]t=\sqrt[3]{27}=3 \]
Così, anche se in modo più complicato, abbiamo comunque ritrovato il risultato finale. E’ dunque conveniente ragionare direttamente con la regola del limite della funzione potenza, tenendo in ogni caso sempre a mente che tale regola è una diretta conseguenza del teorema del limite della funzione composta. 😉
Esercizi sui limiti con radici con le razionalizzazioni
Esercizio 5
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \qquad \left[\infty – \infty \right] \]
Per liberarci della forma indeterminata razionalizziamo la quantità di cui calcolare il limite. Si ha:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+3}-\sqrt{x}=\lim_{x \to +\infty}\left(\overbrace{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}^{a-b} \cdot \dfrac{\overbrace{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}}^{a+b}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}} \right) = \\ \\ & = \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\overbrace{x+3-x}^{a^2-b^2}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{3}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x}}=0 \end{align} \]
Il risultato finale discende dal fatto che per l’algebra degli infiniti il limite del rapporto tra una costante e una quantità che tende ad infinito è pari a zero.
Osserviamo che nell’effettuare la razionalizzazione abbiamo utilizzato, come evidenziato nei passaggi, il prodotto notevole della somma per la differenza:
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]
Esercizio 6
Calcolare:
\[ \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{x+x^2}} \qquad \left[\infty-\infty \right] \]
Cominciamo razionalizzando il denominatore dell’espressione all’interno del limite:
\[ \small \begin{align}&\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{x+x^2}}=\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{3x}{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{x+x^2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2}} \right) = \\ \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x \left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2} \right)}{3+x^2-(x+x^2)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x \left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2} \right)}{3-x} = \\ \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{3-x} \cdot \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2}\right) = \\ \\ & = -3 \cdot \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{x+x^2}\right) = -\infty \end{align} \]
Osserviamo che l’ultimo passaggio si regge sul fatto che la forma \( \infty + \infty \) non è indeterminata, e si ha in particolare per l’algebra degli infiniti ed infinitesimi \( +\infty + (+\infty) = +\infty \). E così in conclusione sempre per l’algebra degli infiniti ed infinitesimi abbiamo che \( -3 \cdot + \infty = – \infty \).
Esercizio 7
Veniamo all’ultimo di questi esercizi sui limiti con radici. Siamo nel caso più complicato ove è necessario razionalizzare due volte.
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-\sqrt{x^2+3}}{x-\sqrt{x^2+x-3}} \qquad \left[\infty – \infty \right] \]
Cominciamo razionalizzando ad esempio il numeratore dell’espressione all’interno del limite:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-\sqrt{x^2+3}}{x-\sqrt{x^2+x-3}}=\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x-\sqrt{x^2+3}}{x-\sqrt{x^2+x-3}} \cdot \dfrac{x+\sqrt{x^2+3}}{x+\sqrt{x^2+3}} \right)= \\ \\ & = \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2-x^2-3}{\left(x-\sqrt{x^2+x-3} \right)\cdot \left(x+\sqrt{x^2+3} \right)} = \\ \\ \end{align} \]
A questo punto utilizziamo i teoremi sulle operazioni tra limiti in modo da ricondurci ad un prodotto tra limiti in cui un limite non corrisponda ad una forma indeterminata. Proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-3}{x+\sqrt{x^2+3}}\cdot \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+x-3}}= \\ \\ & = 0 \cdot \overbrace{\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+x-3}}}^{\text{forma indet.}} =\end{align} \]
Per liberarci di questa ulteriore forma indeterminata dobbiamo ancora utilizzare una razionalizzazione. Proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&= 0 \cdot {\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+x-3}}}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x^2+x-3}}{x+\sqrt{x^2+x-3}} = \\ \\ & = 0 \cdot\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+\sqrt{x^2+x-3}}{x^2-x^2-x+3} = \\ \\ & =0 \cdot \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x+\sqrt{x^2+x-3}}{-x+3} = 0\end{align} \]
Il risultato ottenuto si giustifica osservando che:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x+\sqrt{x^2+x-3}}{-x+3}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+\sqrt{x^2}}{-x}= \\ \\ & =\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+|x|}{-x}= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{-x}=-2 \end{align} \]
I passaggi appena scritti sono conseguenza della tecnica di isolamento della parte principale di infiniti e del confronto tra infiniti.
Ulteriori risorse
Per questa scheda di esercizi sui limiti con radici è tutto. Per ulteriori esercizi sui limiti con radici è disponibile la scheda: limiti con raccoglimenti e razionalizzazioni (esercizi dal n. 4 in poi).
Vi ricordiamo inoltre il tool per il calcolo dei limiti online. In tal modo potrete verificare i risultati dei vostri esercizi. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂