Nelle precedenti lezioni abbiamo visto come riconoscere la funzione che ha l’ordine di infinitesimo o di infinito maggiore nel caso di limiti di rapporti tra funzioni elementari. Ora, vogliamo imparare a muoverci in quei casi ove si abbiano limiti di rapporti tra somme di funzioni elementari. E, per fare questo, è anzitutto necessario capire come riconoscere la parte principale di infiniti o di infinitesimi ad esempio nel caso di somme (algebriche) di funzioni elementari.
La prima domanda che vi starete ponendo in questo momento sarà sicuramente: che cosa si intende per parte principale di infiniti o di infinitesimi? Ad esempio, data una somma di infiniti, quale è la sua parte principale? E, cosa ancor più importante, a cosa ci serve?
Supponiamo di avere un limite del rapporto di somme di funzioni. L’idea è quella di ricondurci al rapporto di funzioni elementari e in questo modo poter risolvere il limite utilizzando i concetti che già conosciamo. Sia ad esempio da calcolare:
\[ \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)+g(x)}{h(x)+i(x)} \]
e le funzioni elementari \( f(x), \: g(x),\: h(x) \: \text{ e } \: i(x) \) siano ad esempio tutte infinite per \( x \to x_0 \). L’idea è quella di individuare, a numeratore e a denominatore, una funzione che sia, come “comportamento”, rappresentativa di tutte le funzioni presenti. E nel caso degli infiniti, come vedremo tra poco, questa sarà la funzione di ordine di infinito superiore rispetto a tutte le altre.
Ad esempio, se \( f(x) \) è infinita di ordine superiore rispetto a \( g(x) \), e \( h(x) \) è infinita di ordine superiore rispetto a \( i(x) \), potremo dire che:
\[ \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)+g(x)}{h(x)+i(x)}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{h(x)} \]
e dunque il limite assegnato potrà essere calcolato semplicemente come limite di un rapporto di funzioni elementari, utilizzando le tecniche di confronto tra infiniti che abbiamo già visto 🙂
Dopo esserci pregustati questa anticipazione, vediamo di illustrare le regole da usare nei vari casi. Seguiranno vari esercizi svolti in modo da fissare bene i concetti 😉
NOTA: osserviamo che qui come “comportamento” delle funzioni intendiamo semplicemente il loro tendere più o meno velocemente a 0 od ad infinito per \( x \) che tende ad uno stesso \( x_0 \).
Riconoscere la parte principale di infiniti o di infinitesimi
Vediamo ora come riconoscere la parte principale di infiniti o infinitesimi. Cominceremo col vedere il caso delle somme di funzioni. Sarà poi immediato estendere il discorso al caso di rapporti di somme di funzioni.
Partiamo dal caso degli infiniti poiché è quello più intuitivo.
Parte principale di infiniti
Supponiamo di avere la seguente somma di funzioni elementari (o comunque funzioni facilmente riconducibili ad elementari):
\( x^2+3x+2 \)
Rispettivamente abbiamo la somma di una funzione potenza (\( y=x^2 \)), la funzione identità moltiplicata per una costante (\( y=3x \)) e una funzione costante (\( y=2 \)). Ora, supponiamo di voler calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2+3x+2 \]
Sappiamo già calcolare un limite come questo con i teoremi delle operazioni sui limiti e con l’algebra degli infiniti ed infinitesimi, ma vogliamo seguire un approccio diverso.
Osserviamo che \(y= x^2 \) è di ordine di infinito superiore rispetto a \( y = 3x \). \( y=2 \) è invece una funzione costante, e non è quindi un infinito. Tuttavia, è possibile trascurare questo termine nel limite. Infatti, per quanto la \( x \) possa crescere addirittura tendendo ad infinito, il termine \( 2 \) rimarrà ovviamente costante. E una qualsiasi quantità costante è certamente trascurabile rispetto ad infinito 😉
Per individuare la parte principale tra infiniti, prendiamo l’infinito di ordine superiore rispetto a tutti gli altri e trascuriamo termini costanti ed infinitesimi eventualmente presenti.
Quindi, nel nostro caso prendiamo come parte principale degli infiniti il termine \( x^2 \). Di conseguenza, poiché \( x^2 \) è l’infinito principale della somma di funzioni assegnata, potremo scrivere:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2+3x+2=\lim_{x \to +\infty}x^2 \]
In questo modo ci siamo ricondotti al calcolo del limite di una funzione elementare. Si ha, ovviamente:
\[ \lim_{x \to +\infty}x^2=+\infty \]
Abbiamo risolto l’esercizio assegnato semplicemente calcolando il limite di una sola tra le funzioni presenti. Non male vero? Si ha in conclusione:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2+3x+2=+\infty \]
Supponiamo ora di voler calcolare il:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^3-2x+8+\dfrac{1}{x} \]
Ora abbiamo anche un infinitesimo. L’infinito principale si ottiene prendendo l’infinito di ordine superiore rispetto a tutti gli altri e trascurando il termine costante (\( 8 \)) e il termine infinitesimo (\( \dfrac{1}{x} \)). Quindi:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^3-2x+8+\dfrac{1}{x}= \lim_{x \to +\infty}x^3=+\infty \]
La funzione \( y=x^3 \) rappresenta cioè il comportamento all’infinito della somma di tutte le funzioni originariamente assegnate.
Parte principale di infinitesimi
Supponiamo di dover calcolare:
\[ \lim_{x \to 0}x^3+x^2+2x \]
Osserviamo che abbiamo una somma di funzioni tutte infinitesime per il limite dato. Nel caso degli infinitesimi la regola si rovescia, attenzione: dobbiamo prendere l’infinitesimo di ordine più piccolo. Dobbiamo cioè prendere la funzione che tende a 0 più lentamente.
In questo caso dunque, l’infinitesimo di ordine inferiore rispetto a tutti gli altri è \( 2x \).
Il termine \( 2x \) è perciò il termine che per \( x \to 0 \) costituisce l’infinitesimo di ordine principale e che rappresenta al limite il comportamento dell’intera somma di funzioni. Per cui:
\[ \lim_{x \to 0}x^3+x^2+2x=\lim_{x \to 0}2x=0 \]
Osserviamo che per poter isolare un infinitesimo principale, cioè per poter affermare che esso rappresenti il comportamento al limite dell’intera somma di funzioni, questa deve essere costituita esclusivamente da infinitesimi.
Ad esempio, per calcolare il limite:
\[ \lim_{x \to 0}x^3+2x+7 \]
non possiamo applicare il metodo di ricavare l’infinitesimo principale, poiché la funzione costante \( y=7 \) non è un infinitesimo. Essa, infatti, mantiene il suo valore a prescindere dal fatto che la \( x \) tenda a 0.
Dunque, se abbiamo una somma di funzioni non tutte infinitesime non possiamo identificare un infinitesimo principale e sarà necessario applicare un altro metodo per risolvere il limite.
L’esempio appena dato è piuttosto semplice, e sarà comunque possibile calcolare il limite per sostituzione diretta, poiché l’argomento del limite (\( x^3+2x+7 \)) è una somma di funzioni continue:
\[ \lim_{x \to 0}x^3+2x+7=0+0+7=7 \]
In generale, vediamo che se non è possibile isolare un infinitesimo molto spesso è comunque possibile risolvere il limite ricorrendo all’algebra degli infiniti ed infinitesimi 😉 Tenete presente che generalmente la tecnica che si rivela di gran lunga più utile negli esercizi è comunque quella di isolare l’infinito principale.
Grazie alle regole sin qui mostrate possiamo calcolare moltissimi limiti, considerando anche limiti di rapporti tra somme di funzioni. Sarà infatti sufficiente individuare l’infinito/infinitesimo principale a numeratore e denominatore, e quindi procedere al calcolo del limite di un rapporto tra funzioni elementari 🙂
I seguenti esempi mostrano come applicare queste regole. E mostrano anche quando esse non possono essere applicate.
Esempio 1
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^3+1}{3x^3-4x+1} \]
Osserviamo che le funzioni \( y=2x^3+1 \) e \( y=3x^3-4x+1 \) sono entrambe infinite per \( x \to +\infty \). Ci ritroviamo dunque con la forma indeterminata \( \dfrac{+\infty}{+\infty} \). Per risolvere l’esercizio dobbiamo isolare gli infiniti principali a numeratore e a denominatore riconducendoci così al limite del rapporto di funzioni elementari.
Per il numeratore individuiamo come infinito principale il termine \( 2x^3 \). Infatti, abbiamo preso l’infinito di ordine superiore (scelta facile, è solo lui!) trascurando il termine costante.
Al denominatore osserviamo che abbiamo la somma (algebrica) di due funzioni infinite e un termine costante. Tra i due termini infiniti scegliamo \( 3x^3 \) poiché è quello di ordine superiore. Infatti, per \( x \to +\infty \), la funzione \( y=3x^3 \) tende a infinito, come valore assoluto, più rapidamente di \( y=-4x \). Il termine costante va trascurato.
In definitiva, possiamo scrivere per il limite assegnato:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^3+1}{3x^3-4x+1}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^3}{3x^3} \]
Vediamo che ci ritroviamo ora con un rapporto di funzioni elementari infinite dello stesso ordine, per cui:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^3}{3x^3}=\dfrac{2}{3}\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^3}{x^3}=\dfrac{2}{3} \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{4x+x^4} \]
Osserviamo che siamo in presenza di un rapporto tra infiniti, e quindi della forma indeterminata \( \dfrac{\infty}{\infty} \). L’esercizio si risolve tuttavia agevolmente osservando che è possibile isolare l’infinito di ordine superiore sia al numeratore, sia al denominatore. Ricordiamo che il termine costante a numeratore viene semplicemente trascurato. Si ottiene quindi:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2+2x+3}{4x+x^4}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2}{x^4}=0\]
Esempio 3
Calcolare:
\[ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^3+4}{x^2-7} \]
E’ qui molto agevole ricavare gli infiniti principali poiché si tratta semplicemente di trascurare i termini costanti. Si ha:
\[ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^3+4}{x^2-7}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3}{x^2}=-\infty \]
Abbiamo ottenuto un segno meno per il risultato poiché, per l’algebra degli infiniti e infinitesimi:
\[ \dfrac{(-\infty)^3}{(-\infty)^2}=-\infty \]
Abbiamo semplicemente usato la solita regola dei segni nel caso del rapporto tra due quantità 😉 Ricordiamoci che la potenza dispari di una quantità negativa restituisce sempre un risultato negativo (ciò vale anche per gli infiniti, per cui \( (-\infty)^3=-\infty \)).
Esempio 4
Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{3x^2}+7}{x+x^2} \]
Osserviamo che nel termine \( \dfrac{1}{x^3} \) abbiamo una potenza dispari, di conseguenza:
\[ \lim_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x^3}=-\infty; \qquad \lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x^3}=+\infty \]
Quindi dobbiamo considerare separatamente i limiti destro e sinistro per questo esercizio, e vedere se questi limiti sono eventualmente uguali. Se sono uguali, diremo che la funzione ammette limite (bilatero). Diversamente, diremo che il limite (bilatero) non esiste. Serve un ripasso? 😉
Per \( x \to 0^+ \) le funzioni al numeratore \( \dfrac{1}{x^3} \) e \( \dfrac{1}{3x^2} \)sono infinite (tendono a più infinito), mentre le funzioni al denominatore sono infinitesime (tendono a zero).
Per il numeratore, avendo due infiniti e un termine costante, dovremo prendere l’infinito di ordine superiore fra tutti quelli presenti, trascurando il termine costante. L’infinito principale del numeratore è \( \dfrac{1}{x^3} \). Infatti, \( x^3 \) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \( x^2 \), per \( x \to 0 \). Quindi, il denominatore di \( \dfrac{1}{x^3} \) si annulla più rapidamente del denominatore di \( \dfrac{1}{3x^2} \). Di conseguenza, sapendo dall’algebra degli infiniti e degli infinitesimi che \( \dfrac{1}{0^+}=+\infty \), è abbastanza immediato convincersi che il reciproco di una quantità che tende più rapidamente a zero tenderà più rapidamente anche ad infinito 😉
Per il denominatore, abbiamo due infinitesimi (entrambi i termini per \( x \to 0 \) tendono a zero). Per isolare l’infinitesimo principale, dobbiamo prendere quello di ordine inferiore tra i due. Dobbiamo scegliere tra le due funzioni al denominatore, cioè, quella che tende a zero più lentamente. La funzione \( y=x \) è infinitesima di ordine inferiore rispetto a \( y=x^2 \), poiché tende a zero più lentamente per \( x \to 0 \).
Ricapitolando tutte le considerazioni fatte, possiamo scrivere che:
\[ \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{3x^2}+7}{x+x^2}=\lim_{x \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{x^3}}{x}=\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x^3}\cdot \dfrac{1}{x}=\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x^4}=+\infty \]
Osserviamo che sarà chiaramente anche:
\[ \lim_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x^4}=+\infty \]
poiché al denominatore abbiamo una potenza con esponente pari (\( x^4 \)). Non è dunque necessario valutare il limite sinistro sin dall’inizio 😉
In definitiva, siccome i limiti destro e sinistro coincidono, abbiamo come risultato dell’esercizio:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{3x^2}+7}{x+x^2}=+\infty \]
NOTA: avremmo potuto risolvere l’esercizio con molti meno ragionamenti riconducendoci per manipolazione algebrica ad un’espressione più semplice. Tuttavia, abbiamo seguito questo approccio per meglio illustrare le regole di individuazione degli infinitesimi ed infiniti principali 😉
NOTA: a denominatore, avremmo potuto procedere in modo più sbrigativo senza nemmeno considerare gli ordini di infinitesimo. Basta infatti osservare che a denominatore abbiamo una quantità infinitesima poiché:
\[ \lim_{x \to 0} x+x^2=0+0=0 \]
Esempio 5
Calcolare:
\[ \lim_{x \to -2}\dfrac{x^3+8}{x^2+x-2} \]
Non è possibile risolvere il limite per sostituzione diretta in quanto le funzioni \( y=x^3+8 \) e \( y=x^2+x-2\) si annullano in corrispondenza del valore \( x_0=-2 \) e siamo quindi in presenza della forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \).
Pur trattandosi del limite di un rapporto tra infinitesimi, le singole funzioni elementari a numeratore e denominatore non sono infinitesimi.
L’esercizio va risolto scomponendo numeratore e denominatore. Al numeratore, per la regola della scomposizione della somma di potenze di uguale esponente osserviamo che:
\[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) \]
Al denominatore possiamo usare la regola di scomposizione del trinomio caratteristico. Abbiamo quindi:
\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1) \]
Serve un ripasso? Tecniche di scomposizione dei polinomi 😉
Di conseguenza:
\[ \lim_{x \to -2}\dfrac{x^3+8}{x^2+x-2}=\lim_{x \to -2}\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x+2)(x-1)} \]
Per \( x \neq -2 \) si ha:
\[ \dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{x^2-2x+4}{x-1} \]
Osserviamo che nel processo di limite nulla importa di cosa succede nel punto \( x_0 \), per cui possiamo tranquillamente dire che:
\[ \lim_{x \to -2}\dfrac{x^3+8}{x^2+x-2} =\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2-2x+4}{x-1}=\dfrac{12}{-3}=-4 \]
Esempio 6
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x+\arctan x}{2x+1} \]
La chiave per risolvere l’esercizio è osservare l’andamento della funzione \( y=arctan(x) \). In particolare, si ha:
\[ \lim_{x \to +\infty} \arctan(x)=\dfrac{\pi}{2} \]
Quando dobbiamo isolare l’infinito di ordine superiore tra una funzione che tende ad infinito e una funzione che tende ad un valore finito, ricordiamoci sempre che la funzione tendente ad un valore finito si può considerare come una funzione costante. Possiamo quindi facilmente isolare l’infinito di ordine superiore al numeratore semplicemente trascurando la funzione arcotangente. Isolare l’infinito al denominatore è ormai banale (trascuriamo il termine 1 poiché costante). Otteniamo così:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x+\arctan x}{2x+1}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{x}=\dfrac{1}{2} \]
Esempio 7
Calcolare:
\[ \lim_{x \to 3^+}\dfrac{x^2-5x+6}{(x-3)^2} \]
Notiamo che siamo in presenza di una forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \), poiché sia numeratore, sia denominatore si annullano per \( x \to 3^+ \).
Non lasciamoci trarre in inganno dal fatto che abbiamo a numeratore e denominatore due polinomi entrambi di secondo grado. Il grado di un polinomio è una cosa ben differente dall’ordine di infinitesimo. Quindi, non facciamo conclusioni affrettate dicendo che ci aspettiamo un limite finito, come il caso del limite del rapporto tra infinitesimi dello stesso ordine 😉
Osserviamo che il numeratore può essere scomposto, guardandolo come trinomio caratteristico, ottenendo:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Si ha dunque per il limite assegnato:
\[ \lim_{x \to 3^+}\dfrac{x^2-5x+6}{(x-3)^2}=\lim_{x \to 3^+}\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-3)^2}=\lim_{x \to 3^+}\dfrac{x-2}{x-3}=\lim_{x \to 3^+}\dfrac{1}{0}=+\infty \]
Osserviamo che è stato possibile effettuare una semplificazione dividendo numeratore e denominatore per \( x-3 \), poiché non è rilevante per il limite ciò che accade in \( x_0 \). Dunque se il termine \( x-3 \) si annulla per \( x=3 \) poco ci importa 😉
Esempio 8
Calcolare:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x + \sin x}{x^3+2} \]
L’esercizio sarebbe abbastanza agevole se non fosse per la presenza del termine \( \sin x \) al numeratore. La funzione \( \sin x \) oscilla indefinitamente (cioè per sempre) tra i valori -1 e 1. Di conseguenza, non esiste il suo limite per \( x \) che tende a più infinito:
\[ \nexists \: \lim_{x \to +\infty}sinx \]
Tuttavia, la funzione \( \sin x \) ha la proprietà di essere una funzione limitata. Ciò significa che assume valori sempre compresi in un dato intervallo. Tale oscillazione di valori è finita, e dunque trascurabile rispetto ad una quantità infinita. Quindi, per \( x \to \infty \) la funzione \( \sin x \) rispetto ad una funzione infinita si comporta, a lato pratico, come un termine costante.
Ora, nel numeratore, possiamo isolare l’infinito di ordine superiore (c’è solo \( x \)) trascurando quindi il termine \( \sin x \).
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x + \sin x}{x^3+2}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{x^3+2}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{x^3}=0 \]
Dunque, nonostante la non esistenza del \( \lim_{x \to +\infty}\sin x \) abbiamo comunque potuto risolvere l’esercizio 😉
Ricordiamoci per lo svolgimento degli esercizi che il discorso è ovviamente valido anche per la funzione \( y=\cos x \) e in generale per tutte le funzioni limitate.
Qui termina la lezione sul riconoscimento della parte principale di infiniti e infinitesimi. Come avete visto, con qualche semplice regola è possibile risolvere numerosi esercizi 😉
Nella prossima lezione, vedremo come applicare i concetti riguardanti il confronto tra infiniti al caso particolare dei limiti di polinomi e di rapporti tra polinomi per \( x \) che tende a infinito. Non aggiungeremo nulla di nuovo in realtà, ma introdurremo delle semplici regole che possono costituire un riferimento in più nella risoluzione degli esercizi.
Nella lezione ancora successiva tratteremo i limiti notevoli e la loro applicazione pratica negli esercizi.
Buono studio a tutti con Altramatica, ciao!