Nel definire la funzione arcoseno riprenderemo dunque le nostre conoscenze relative all’invertibilità delle funzioni e in particolare utilizzeremo la nozione di funzione inversa. Così, sarà possibile invertire la funzione seno soltanto imponendo delle condizioni per le quali essa risulti biiettiva (ovvero allo stesso tempo iniettiva e suriettiva).
Fatte le dovute premesse, vediamo subito come definire la funzione arcoseno. Via! 🙂
La funzione arcoseno è l’inversa della funzione seno
La funzione seno di un angolo è una funzione reale di variabile reale definita come:
\[ y=f(x)=\sin x \]
ed ha come dominio tutto l’insieme dei numeri reali e come insieme delle immagini l’intervallo \( [-1, \: 1] \).
Come sappiamo affinché una funzione sia invertibile, questa deve essere allo stesso tempo iniettiva e suriettiva.
Per l’iniettività richiediamo che l’uguaglianza:
\[ \sin(x_1)=\sin(x_2) \qquad (*)\]
sia verificata soltanto per \( x_1 = x_2 \). Ciò evidentemente non avviene considerando l’intero dominio della funzione seno. Infatti, la funzione è periodica con periodo \( 2 \pi \), di conseguenza scelto \( x_2 = x_1 + 2k\pi, \: k \in \mathbb{Z} \) avremo:
\[ \sin(x_1)=\sin(x_1+2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \]
per cui l’uguaglianza * risulta in pratica verificata anche per \( x_1 \neq x_2 \).
Tuttavia, restringendoci all’intervallo \( x \in [-\pi/2, \: \pi/2] \) la funzione seno diviene iniettiva. Infatti, considerando la seguente figura, all’interno del riquadro in rosso ciascuna retta orizzontale arancione interseca il grafico della funzione in un solo punto.
Veniamo ora alla suriettività. La funzione seno non è in generale suriettiva, poiché il suo codominio è l’insieme dei numeri reali ed esistono elementi del codominio che non hanno una controimmagine. Infatti, poiché l’insieme delle immagini della funzione seno è dato dall’intervallo \( [-1, \: 1] \), non esiste alcun angolo il cui seno valga ad esempio \( 2 \). Così diciamo più tecnicamente che l’elemento \( 2 \) del codominio è privo di controimmagine.
Per avere la suriettività dobbiamo allora fare coincidere il codominio della funzione seno con il suo insieme delle immagini.
In conclusione, per tutto quanto detto la funzione seno risulterà sia suriettiva, sia iniettiva (e quindi biiettiva) soltanto se consideriamo come dominio l’intervallo \( x \in [-\pi/2, \: \pi/2] \) e come codominio l’intervallo \( [-1, \: 1] \).
Sotto dette ipotesi la funzione seno è in conclusione invertibile ed è possibile stabilire la sua inversa, ovvero la funzione arcoseno:
\[ f(x)=\arcsin x \]
avente per dominio l’intervallo \( [-1, 1] \) e come codominio l’intervallo \( [-\pi/2, \: \pi/2] \). Così, ciascuna immagine della funzione arcoseno, ovvero ciascun valore da essa assunto, sarà l’angolo il cui valore del seno è pari a \( x \).
Osserviamo che la funzione seno è in generale iniettiva in qualsiasi intervallo del tipo \( [-\pi/2+2k\pi, \pi/2+2k\pi], \: k \in \mathbb{Z} \). Tuttavia, per convenzione scegliamo come detto l’intervallo \( [-\pi/2, \: \pi/2] \).
NOTA: riprendendo quanto visto nella lezione sulle funzioni inverse, se la funzione “diretta” è rappresentata in questo caso come:
\[ y=f(x)=\sin(x) \]
la corrispondente funzione inversa dovrebbe essere indicata, a rigore, come:
\[ x=f^{-1}(y)=\arcsin(y) \]
Tuttavia, in generale è possibile riferirsi alla funzione arcoseno a prescindere dal fatto che si tratta di una funzione inversa. Di conseguenza, è possibile utilizzare tranquillamente la scrittura \( y=f(x)=\arcsin(x) \).
Grafico della funzione arcoseno
Il grafico della funzione arcoseno è il seguente:
Valori corrispondenti agli angoli notevoli
A conclusione della lezione presentiamo una tabella che riporta gli angoli restituiti dalla funzione arcoseno (relativamente ad angoli notevoli).
Per quanto riguarda la funzione arcoseno è tutto. Nella prossima lezione vedremo la funzione inversa del coseno, ovvero la funzione arcocoseno. Buon proseguimento! 🙂