Forniamo in questa lezione una semplice introduzione al problema della funzione inversa. Quello che ci proponiamo è capire quando è possibile invertire una funzione. L’obiettivo è ottenere, a partire dalla funzione assegnata, una nuova funzione (la funzione inversa) che ai valori del codominio faccia corrispondere i valori del dominio.
Quello che vogliamo ottenere è cioè una corrispondenza inversa, ovvero una nuova funzione che a partire da elementi del codominio della funzione di partenza fornisca gli elementi del dominio.
Come vedremo, affinché una funzione sia invertibile esistono determinati prerequisiti.
Dopo aver visto nella scorsa lezione la nozione di funzione composta, cominciamo subito ad introdurre il problema della funzione inversa. 🙂
Definizione di funzione inversa
Consideriamo una funzione \( f \) biiettiva (o biunivoca):
\[ f:A \rightarrow B \]
Poiché la funzione è biiettiva siamo certi che ad ogni elemento del codominio \( B \) corrisponde una ed una sola controimmagine nel dominio \( A \). Ciò significa che non c’è nessun elemento del codominio privo di controimmagine e che non esiste inoltre alcun elemento del codominio che abbia più di una controimmagine.
Sotto l’ipotesi di funzione biiettiva è dunque possibile definire la funzione inversa:
\[ f^{-1}: B \rightarrow A \]
Tale funzione fa corrispondere a ciascun elemento \( b \) di \( B \) l’elemento \( a \) di \( A \) tale per cui \( f(a)=b \).
Osserviamo che se la funzione di partenza \( f \) non è biiettiva non è possibile definire la sua inversa.
Se ad esempio la funzione è soltanto iniettiva, esisterà sicuramente almeno un elemento del codominio che non ha controimmagine nel dominio. Di conseguenza, non sarà possibile valutare la funzione inversa in corrispondenza di tale elemento.
Se invece la funzione è soltanto suriettiva, esisterà almeno un elemento del codominio al quale corrispondono due o più controimmagini nel dominio. Di conseguenza, non sarà possibile stabilire una corrispondenza tra detto elemento del codominio ed un solo elemento del dominio.
Osserviamo che anche la funzione inversa è biiettiva. Così, è a sua volta possibile trovare l’inversa della funzione inversa, ottenendo di nuovo la funzione di partenza.
Inoltre, data la funzione \( f:A \rightarrow B, \quad \text{t.c.} \quad y=f(x) \) abbiamo:
\[ f \circ f^{-1} (y) = f(f^{-1}(y))=f(x)=y \]
Il risultato non cambia anche considerando l’altro ordine di composizione:
\[ f^{-1} \circ f(x) = f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \]
In altre parole, componendo secondo un qualsiasi ordine una funzione con la sua inversa otteniamo la funzione identità.
Ad esempio, data la funzione:
\[ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{t.c} \quad y=x^3 \]
e la sua inversa:
\[ f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x=\sqrt[3]{y} \]
Componendo le due funzioni otteniamo l’identità:
\[ f \circ f^{-1}(y)=f(f^{-1}(y))=f(\sqrt[3]y)=(\sqrt[3]y)^3=y \]
Determinare la funzione inversa di una data funzione
Per determinare la funzione inversa di una data funzione \( f:A \rightarrow B \) dobbiamo in primo luogo assicurarci che \( f \) sia biiettiva. Per fare questo, ci basterà sfruttare la definizione di funzione biiettiva. In particolare, una funzione è biiettiva se e solo se è sia iniettiva, sia suriettiva. Così, dovremo avere:
- iniettività: se consideriamo due valori \( x_1 \) e \( x_2 \) del dominio, l’equazione che uguaglia le corrispondenti valutazioni della funzione, cioè \( f(x_1)=f(x_2) \) dovrà essere soddisfatta solo per \( x_1 = x_2 \).
- suriettività: ciascun elemento \( y \) del codominio di \( f \) dovrà avere controimmagine. Ovvero: \( \forall \: y \in B \quad \exists \: x \in A \quad \text{t.c.} \quad f(x)=y \).
In altre parole, una volta verificato che la funzione di partenza è iniettiva, per ottenere la funzione inversa basterà ricavare la soluzione dell’equazione:
\[ f(x)=y \]
risolvendola rispetto a \( x \). Si dovrà infine controllare che la soluzione ottenuta abbia significato per un qualunque \( y \) (suriettività).
Esempio (trovare la funzione inversa)
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \text{t.c.} \quad y=2x+3 \]
Verifichiamo che la funzione sia iniettiva. Abbiamo:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Rightarrow \quad 2x_1+3=2x_2+3 \]
Risolviamo l’equazione:
\[ \begin{align}& 2x_1+3=2x_2+3 \\ \\ &2x_1+\cancel{3}=2x_2+\cancel{3} \\ \\ &2x_1=2x_2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2\end{align} \]
Otteniamo l’unica soluzione \( x_1=x_2 \) per cui la funzione è iniettiva.
Consideriamo ora l’equazione:
\[ f(x)=y \]
che nel nostro caso diviene:
\[ 2x+3=y \]
Risolviamola rispetto ad \( x \):
\[ x = \dfrac{y-3}{2} \]
La soluzione ha senso per ogni \( y \), per cui abbiamo in conclusione:
\[ f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2} \]
La funzione inversa trovata stabilisce una corrispondenza fra ciascun elemento \( y \in B \) e l’elemento \( x \in A \) che ne rappresenta la controimmagine attraverso \( f \).
Un esempio per concludere: quadrato e radice quadrata
Per quanto riguarda questa introduzione al concetto di funzione inversa è tutto. Molto spesso ci sarà utile considerare le funzioni inverse di funzioni elementari, e quindi ritroveremo in più di un’occasione i concetti presentati in questa lezione.
Come ultima precisazione, una funzione che non è biiettiva in tutto il suo dominio può comunque essere invertibile considerando un sottoinsieme del dominio nel quale questa sia biiettiva. Consideriamo ad esempio la funzione:
\[ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \quad y=x^2 \]
Osserviamo che la funzione è un caso particolare: non è né iniettiva né suriettiva. Possiamo vederlo immediatamente dal grafico:
Come è evidente abbiamo almeno una retta orizzontale che intersecandosi con la funzione individua due differenti punti. In particolare tali rette sono infinite. Ad esempio l’elemento \( y=2 \) è l’immagine di due differenti valori della \( x \). Infatti, la corrispondente retta orizzontale interseca il grafico in due punti. Di conseguenza, la funzione non è iniettiva.
La funzione inoltre non è suriettiva poiché alle \( y \) negative non corrisponde alcuna controimmagine nel dominio. Ciò è evidente osservando che il grafico della funzione si trova soltanto nel primo e secondo quadrante (ove le \( y \) sono positive). Per cui, abbiamo sicuramente almeno un elemento \( y \) privo di controimmagine nel dominio.
Tuttavia, possiamo definire la funzione nel dominio \( \mathbb{R_{0}}^{+} \), ovvero possiamo considerare soltanto le \( x \) positive o al più nulle.
Così, la nuova funzione \( f:\mathbb{R_{0}}^{+} \rightarrow \mathbb{R} , \quad y=x^2 \) risulterà stavolta iniettiva:
Come possiamo vedere, le rette orizzontali ora intersecano il grafico della funzione ciascuna in un solo punto.
Per poter avere l’invertibilità della funzione, dobbiamo anche fare in modo che questa sia suriettiva. Ma per rispettare questo, è sufficiente considerare come codominio l’insieme delle immagini. Abbiamo così:
\[ f:\mathbb{R_{0}}^{+} \rightarrow \mathbb{R_{0}}^{+} , \quad y=x^2 \]
Con le ipotesi introdotte la funzione è iniettiva ed è possibile considerare la funzione inversa. In particolare la funzione inversa sarà così definita:
\[ f^{-1}:\mathbb{R_{0}}^{+} \rightarrow \mathbb{R_{0}^{+}} \]
L’espressione si ricava risolvendo l’equazione:
\[ f(x)=y \]
ovvero:
\[ x^2=y \]
Mettiamo entrambi i membri dell’equazione sotto radice:
\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{y} \]
Per chi già conosce i radicali, abbiamo \( \sqrt{x^2}=|x| \). Per la definizione di modulo possiamo infine scrivere:
\[ x = \pm \sqrt{y} \]
Ora, ricordiamo che abbiamo scelto come dominio e codominio per \( f \) l’insieme \( \mathbb{R_{0}}^{+} \). Così, dovremo considerare soltanto i valori di \( y \) positivi. Scriveremo così:
\[ x = \sqrt{y} \]
e questa è l’espressione della funzione inversa cercata. Abbiamo in conclusione:
\[ f^{-1}:\mathbb{R_{0}}^{+} \rightarrow \mathbb{R_{0}}^{+}, \quad x = \sqrt{y} \]
Osserviamo che in questo modo abbiamo ad esempio che:
\[ \sqrt{25}=5 \qquad \text{e non} \qquad \sqrt{25} = \pm 5 \]
Infatti, per come abbiamo scelto il dominio e il codominio delle funzioni, dobbiamo considerare unicamente il risultato positivo. E questo è proprio il ragionamento generalmente utilizzato per la radice quadrata.
Per quanto riguarda la funzione inversa è tutto. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂