Ed eccoci alla prima lezione sugli esponenziali e i logaritmi, dedicata alle funzioni esponenziali. Le funzioni esponenziali costituiscono di solito uno dei primi esempi di funzioni non algebriche o funzioni trascendentali.
Ciò che differenzia le funzioni esponenziali rispetto alle funzioni algebriche è il fatto che nell’espressione della funzione l’incognita si trova all’esponente. Le funzioni algebriche sono invece caratterizzate da espressioni che contengono operazioni algebriche di base e nelle quali gli esponenti sono numeri. Un tipico esempio di funzione algebrica è ad esempio una funzione avente per espressione un polinomio.
Introdurremo le funzioni esponenziali distinguendole in due categorie. Diciamo fin da subito che nelle funzioni esponenziali l’esponente è variabile ma la base è costante. E a seconda del valore assunto dalla base cambia l’andamento della funzione esponenziale. Come vedremo, esistono dei campi di valori per la base di un’esponenziale che individuano degli andamenti tipici. Su questo ci baseremo per classificare le funzioni esponenziali.
Per proseguire la lezione è utile conoscere le definizioni di base sulle funzioni, grafico di una funzione e proprietà.
Vediamo allora subito le funzioni esponenziali esaminando i relativi grafici e proprietà. 🙂
Forma generica di una funzione esponenziale
Una generica funzione esponenziale ha forma:
\[ f(x)=a^x \qquad \text{con} \quad a>0, \quad a \neq 1 \]
E’ importante sottolineare che la base \( a \) deve essere positiva non nulla e diversa da \( 1 \). Ciò fa parte della definizione di funzione esponenziale, e limitarsi ad indicare una funzione esponenziale semplicemente come \( f(x)=a^x \) senza fornire alcuna condizione sulla base \( a \) è un errore.
Quindi, possiamo affermare che la base delle funzioni esponenziali può essere un qualsiasi numero reale positivo non nullo e diverso da \( 1 \).
L’esponente \( x \) può assumere qualsiasi valore reale. Di conseguenza, il dominio di una qualunque funzione esponenziale è dato da tutto l’insieme dei numeri reali.
NOTA: il fatto che sia \( a \neq 0 \) ci salvaguarda dall’eventualità che si possa ricadere nella forma non ammessa \( 0^{0} \). Per questo la \( x \) può assumere un qualsiasi valore reale, zero compreso.
Veniamo ora al codominio (l’insieme di arrivo). Osserviamo anzitutto che la quantità \( a^x \) non potrà mai essere negativa. Infatti, per definizione la base \( a \) deve essere non negativa. E, per la definizione di potenza, elevando un numero non negativo ad un qualsiasi esponente otteniamo sempre un numero positivo.
Ciò si giustifica immediatamente per gli esponenti naturali. Infatti, considerando l’espressione \( a^n, \quad n \in \mathbb{N} \), questa può essere riscritta come il prodotto di \( n \) fattori \( a \). E poiché ciascun fattore \( a \) è positivo, anche il prodotto dei fattori sarà positivo.
Si può dimostrare che il discorso è valido anche per esponenti reali qualsiasi. In particolare, in caso di esponenti negativi abbiamo \( a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} \), quantità che è sempre positiva per le ipotesi su \( a \).
Così, sappiamo per certo che l’insieme delle immagini di una qualunque funzione esponenziale è dato da \( \mathbb{R}^{+} \), cioè dall’insieme dei numeri reali positivi, escluso lo zero poiché \( a \) non può essere nulla per definizione. In parole povere, per ogni \( x \) abbiamo che il corrispondente valore \( f(x) \) è sempre positivo non nullo.
Ora, come vedremo ci ritroveremo con la necessità di voler definire la funzione inversa delle funzioni esponenziali. Per fare questo, come sappiamo dalla teoria sulle funzioni inverse, dovremo per forza avere che una qualsiasi funzione esponenziale sia biiettiva, ovvero contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
L’iniettività ci è garantita dal fatto che una funzione esponenziale è sempre strettamente crescente o sempre strettamente decrescente (ciò sarà evidente tra un attimo osservando i grafici). Per avere la suriettività, ci basterà prendere come codominio per una generica funzione esponenziale il suo insieme delle immagini, ovvero i reali positivi privi dello zero.
Così possiamo definire in modo più preciso una generica funzione esponenziale indicandone anche il dominio e il codominio, come segue:
\[ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \quad \text{t.c.} \qquad f(x)=a^x, \quad \text{con} \quad a>0, \quad a \neq 1 \]
Ora, in teoria per ogni possibile valore della base otteniamo una differente funzione esponenziale. Tuttavia, ciò che è interessante fare è dividere le funzioni esponenziali in due grandi categorie:
- funzioni esponenziali con base \( a \) compresa fra 0 e 1 (estremi esclusi);
- funzioni esponenziali con base \( a \) maggiore di 1.
Funzioni esponenziali con \( 0 < a < 1 \)
Per una funzione esponenziale con \( 0<a<1 \) otteniamo il seguente grafico:
Intuitivamente possiamo giustificare l’andamento del grafico della funzione osservando che se moltiplichiamo un dato numero per un secondo numero positivo e minore di uno otteniamo come risultato un numero più piccolo del numero di partenza (basta una semplice calcolatrice per convincersene).
Così, considerando esponenti naturali, l’espressione \( a^n \) equivale a moltiplicare i fattori \( a \) tra di loro \( n \) volte. Ad esempio, per \( n=3 \), dobbiamo eseguire la moltiplicazione \( a \cdot a \cdot a \).
Ricordando sempre che abbiamo \( 0<a<1 \), possiamo ragionare così. Dato il numero di partenza \( a \), moltiplicandolo per \( a \) otteniamo un numero più piccolo. Moltiplicando il risultato ancora per \( a \), otteniamo un numero ancora più piccolo. Così, è intuitivo che al crescere di n otterremo un risultato per l’espressione \( a^n \) sempre più piccolo.
Le considerazioni fatte si possono estendere agli esponenti reali, e di qui capiamo l’andamento decrescente della funzione \( a^x \) al crescere di \( x \), ovviamente sempre per \( 0<a<1. \) Praticamente, fissata una \( x \), l’ordinata di ciascun punto della funzione rappresenta il valore che si ottiene moltiplicando \( a \) per sé stessa \( x \) volte. E per quanto detto il valore dell’ordinata ottenuto sarà di volta in volta più piccolo al crescere della \( x \).
Funzioni esponenziali con \( a>1 \)
Nel caso in cui sia \( a > 1 \) otteniamo una funzione esponenziale con il seguente andamento:
Poiché la base è stavolta maggiore di \( 1 \), al crescere dell’esponente \( x \) otteniamo in modo intuitivo valori della funzione sempre più grandi.
Esponenziale naturale
Un particolare caso di funzione esponenziale è dato dalla funzione esponenziale naturale. In essa, la base è un numero irrazionale compreso tra \( 2 \) e \( 3 \) detto numero di Nepero ed indicato con \( e \):
\[ f(x)=e^x \]
Per il numero di Nepero possiamo fornire l’approssimazione \( e=2,71828 \).
La funzione esponenziale naturale viene anche detta funzione esponenziale con base \( e \). L’andamento del grafico è chiaramente simile a quello di una generica funzione esponenziale con \( a>1 \).
Considerazioni per i grafici delle funzioni esponenziali e loro proprietà
Osserviamo che per tutti i valori ammissibili per la base la funzione esponenziale è comunque iniettiva. Infatti, in entrambi i casi relativi alla base compresa fra 0 e 1 e alla base maggiore di 1 una qualunque retta orizzontale interseca il grafico della funzione in un solo punto.
In altre parole, una generica funzione esponenziale è sempre strettamente crescente oppure strettamente decrescente e pertanto non assume mai lo stesso valore due volte. Da ciò abbiamo che:
\[ a^{u}=a^{v} \quad \Rightarrow \quad u=v \]
Ovvero, se per due esponenti apparentemente differenti la funzione esponenziale assume lo stesso valore, allora i due esponenti devono necessariamente essere uguali.
Un’altra importante osservazione. I grafici di due differenti funzioni esponenziali si intersecano soltanto in corrispondenza di \( x=0 \). Infatti, per \( x=0 \) tutte le funzioni esponenziali assumono lo stesso valore 1. Ciò deriva dal fatto che un qualsiasi numero non nullo se elevato alla \( 0 \) fornisce come risultato sempre \( 1 \). Quindi, indicate con \( a \) e \( b \) due differenti basi, per \( x = 0 \) abbiamo \( a^x=b^x = 1 \).
Quindi, escluso il caso \( x=0 \), possiamo scrivere:
\[ a^x = b^x, \quad x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a = b \]
ovvero, se due funzioni esponenziali hanno lo stesso esponente non nullo e basi apparentemente differenti, se i corrispondenti valori delle funzioni esponenziali per quella \( x \) risultano uguali, allora devono essere necessariamente uguali le basi.
Questa lezione sulle funzioni esponenziali termina qui. Grazie alle due proprietà che abbiamo introdotto alla fine della lezione, abbiamo già gli strumenti per poter risolvere delle semplici equazioni esponenziali. Nella prossima lezione cominceremo ad introdurre le equazioni esponenziali elementari. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂