Ci occupiamo ora di come risolvere delle semplici equazioni esponenziali elementari. Per i metodi risolutivi ci baseremo sulle proprietà delle funzioni esponenziali introdotte nella precedente lezione.
In particolare, abbiamo visto due proprietà fondamentali per risolvere le equazioni esponenziali elementari.
La prima proprietà afferma che se una funzione esponenziale assume lo stesso valore per due esponenti apparentemente diversi, allora i due esponenti sono in realtà uguali:
\[ a^u=a^v \quad \Rightarrow \quad u=v \]
Per cui la proprietà ci consente in determinati casi di risolvere le equazioni esponenziali elementari uguagliando tra loro gli esponenti che compaiono nell’equazione. La proprietà risulta in particolare utile per il caso più ricorrente di equazioni esponenziali elementari: quello relativo ad equazioni nelle quali l’incognita compare all’esponente almeno una volta.
La seconda proprietà afferma che se due funzioni esponenziali con basi apparentemente diverse assumono per un comune esponente lo stesso valore, allora le due basi sono in realtà uguali:
\[ \begin{align} &a^x=b^x, \quad x \neq 0 \\ \\ &\Rightarrow a=b\end{align} \]
Questa seconda proprietà ci è utile nel più raro caso ove l’incognita compaia nelle basi almeno una volta.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito come utilizzare queste importanti proprietà per risolvere delle semplici equazioni esponenziali elementari.
Primi esercizi sulle equazioni esponenziali elementari
Cominciamo subito a vedere a lato pratico le conseguenze delle proprietà delle funzioni esponenziali risolvendo insieme alcune semplici equazioni esponenziali elementari.
Esercizio 1
Risolvere l’equazione esponenziale elementare:
\[ 3^{12}=3^{6x} \]
Al primo e al secondo membro dell’equazione abbiamo due funzioni esponenziali aventi la stessa base (3). Tra parentesi, osserviamo che al primo membro abbiamo una funzione costante poiché l’esponente è un numero.
L’idea è allora quella di utilizzare la prima proprietà, uguagliando tra loro gli esponenti:
\[ 12=6x \]
Risolvendo questa semplicissima equazione di primo grado otteniamo:
\[ x=\dfrac{12}{6}=2 \]
E questa è la soluzione dell’equazione esponenziale elementare data. 🙂
Esercizio 2
\[ 2^8=(x-1)^8 \]
In questo caso abbiamo due funzioni esponenziali (quella a primo membro è costante) aventi lo stesso esponente. L’idea è allora quella di uguagliare tra loro le basi, sfruttando la seconda proprietà. Si ha:
\[ 2=x-1 \]
Risolvendo l’equazione di primo grado otteniamo:
\[ x=3 \]
che è soluzione anche dell’equazione esponenziale elementare di partenza.
Esercizio 3
\[ 3^{3x}=9^{x-1} \]
Apparentemente qua siamo bloccati, poiché abbiamo sia basi sia esponenti differenti tra loro. Come facciamo?
L’idea è anzitutto quella di riscrivere la base \( 9 \) come \( 3^2 \). Questo risultato discende dalle potenze e in particolare si ottiene semplicemente scomponendo \( 9 \) in fattori primi.
Ora, riprendiamo l’equazione e sostituiamo al posto della base \( 9 \) di partenza la nuova base \( 3^2 \) appena ottenuta:
\[ 3^{3x}=(3^2)^{x-1} \]
Ora, ci ritroviamo al secondo membro con una potenza di potenza. Abbiamo gli esponenti \( 2 \) e \( x-1 \), che per le proprietà delle potenze di potenze dobbiamo moltiplicare tra loro. Otteniamo:
\[ 3^{3x}=3^{2x-2} \]
Infatti \( (3^2)^{x-1}=3^{2 \cdot (x-1)}=3^{2x-2} \).
Ma a questo punto guardando bene l’equazione ci rendiamo conto che al primo e al secondo membro abbiamo due funzioni esponenziali aventi la stessa base. A questo punto possiamo utilizzare la prima proprietà e uguagliare gli esponenti tra loro. Si ha:
\[ 3x=2x-2 \]
Risolvendo l’equazione di primo grado otteniamo:
\[ x = -2 \]
E questa è anche la soluzione dell’equazione esponenziale di partenza.
Esercizio 4
\[ 2^8=2^{x+2} \]
Qui le basi sono uguali, per cui si tratta di uguagliare tra loro gli esponenti. Si ha
\[ 8=x+2 \quad \Rightarrow \quad x=6 \]
Vediamo ora un ultimo esempio per questa lezione relativo alle equazioni esponenziali elementari.
Esercizio 5
\[ 8^{x+5}=2 \]
Siamo nel caso di basi ed esponenti diversi. Osserviamo però che si ha \( 8=2^3 \). Possiamo così riscrivere l’equazione di partenza come:
\[ \left(2^3 \right)^{x+5}=2 \]
Applichiamo la proprietà delle potenze di potenze. Otteniamo:
\[ 2^{3x+15}=2 \]
Osserviamo infine che \( 2=2^1 \):
\[ 2^{3x+15}=2^1 \]
A questo punto ci ritroviamo nel caso di basi uguali. Eguagliamo allora gli esponenti tra loro:
\[ 3x+15=1 \]
Otteniamo in conclusione:
\[ x=-\dfrac{14}{3} \]
Ed ecco che abbiamo risolto anche l’ultima di questa serie di equazioni esponenziali elementari. 🙂
La necessità di un’inversa per una funzione esponenziale
In questa lezione abbiamo considerato i casi più semplici di equazioni esponenziali elementari. Infatti, qui abbiamo ottenuto come soluzioni unicamente numeri interi o al più razionali. In generale però un’equazione esponenziale può avere anche soluzioni irrazionali.
Consideriamo ad esempio la seguente equazione:
\[ 3^x=8 \]
Scomponendo il secondo membro in fattori otteniamo:
\[ 3^x=2^3 \]
In questo caso pur avendo scomposto in fattori una base, ci ritroviamo comunque con basi diverse nei due membri. Le conoscenze che abbiamo al momento non ci consentono dunque di risolvere l’equazione.
Quello che ci occorre per risolvere l’equazione è una funzione che sia l’inversa dell’esponenziale \( 3^x \). Infatti, il nostro obiettivo è isolare la \( x \) al primo membro. Ma per quanto sappiamo sulle funzioni inverse, se ad una funzione applichiamo la sua inversa otteniamo un’identità. Quindi, in generale abbiamo \( f^{-1}(f(x))=x \). Così, detta \( g \) la funzione inversa dell’esponenziale \( 3^x \) abbiamo:
\[ g(3^x)=x \]
Così l’idea è quella di applicare la funzione \( g \) ad entrambi i membri dell’equazione (riconsideriamo l’equazione nella forma iniziale):
\[ g(3^x)=g(8) \]
ovvero, per quanto detto:
\[ x=g(8) \]
Così, se \( g \) è la funzione inversa di \( f(x)=3^x \) l’equazione ammette la soluzione appena scritta.
Come vedremo, la funzione inversa della quale abbiamo bisogno si chiama “logaritmo in base 3 di \( x \)”. Ma di questo ci occuperemo nella prossima lezione dedicata alle funzioni logaritmiche e ai logaritmi. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂