Calcolare:
\[ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2-6}}{3x+9} \]
Il limite si presenta come forma indeterminata \( \left[\dfrac{\infty}{\infty}\right] \).
La presenza della radice al numeratore può rendere difficile, in apparenza, applicare le tecniche di confronto tra infiniti. Tuttavia, osserviamo che è comunque possibile isolare la parte principale degli infiniti nell’argomento della radice.
All’interno della radice abbiamo il termine \( 2x^2-6 \), che è una somma algebrica di un infinito e un termine costante. Sarà sufficiente trascurare il termine costante in modo da ottenere la parte principale degli infiniti.
A denominatore si procede trascurando il termine costante. Si ha dunque complessivamente:
\[ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2-6}}{3x+9}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2}}{3x} \]
Ora, lavoriamo sulla radice a numeratore. E’ possibile portare fuori il termine \( x^2 \) dalla radice, ottenendo:
\[ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2}}{3x}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{2}}{3x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{3} \]
Facciamo attenzione: \( |x| \) e non semplicemente \( x \). Infatti, il quadrato \( x^2 \) si può ottenere sia a partire da \( x \), sia a partire da \( -x \), tuttavia l’operazione radice quadrata è definita per termini soltanto positivi o al più nulli. Di qui la necessità della funzione modulo, la quale “forza” positivo il termine \( x \).
Osserviamo che la questione del modulo non è affatto un dettaglio. Se avessimo considerato erroneamente \( \sqrt{x^2}=x \) il risultato finale avrebbe avuto il segno sbagliato. Quindi, attenzione 😉
L’esercizio relativo ad un limite con radice al numeratore è dunque così terminato.
Può essere utile osservare a titolo di chiarimento che in generale si ha:
\[ \lim_{x \to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\lim_{x \to x_0}f(x)} \]
Questo è una logica conseguenza del fatto che \( \sqrt{f(x)} = f(x)^{\small \dfrac{1}{2}} \) e quindi, per la regola del limite della potenza di una funzione:
\[ \lim_{x \to x_0}(f(x))^{1/2}=\left( \lim_{x \to x_0}f(x)\right)^{1/2} \]
Questo giustifica il fatto di aver isolato l’infinito principale lavorando all’interno della radice.