In questa scheda ci occupiamo di risolvere alcuni esercizi sulle equazioni esponenziali. In questo modo vedremo ulteriori esercizi che si aggiungono a quelli visti nella lezione teorica sulle equazioni esponenziali.
Qui vedremo esercizi sulle equazioni esponenziali di vari livelli di difficoltà e che richiedono l’uso dei vari metodi risolutivi visti nella lezione teorica.
E’ bene tener presente che per svolgere gli esercizi sulle equazioni esponenziali è importante avere un’ottima dimestichezza con le proprietà delle potenze e conoscere i logaritmi e le loro proprietà.
In questa scheda presentiamo esercizi di livello intermedio fino a salire verso il livello avanzato. Per esercizi più semplici, utili per chi ancora non conosce per niente le equazioni esponenziali, sono disponibili le seguenti lezioni:
Vediamo allora subito questi esercizi sulle equazioni esponenziali. Via! 🙂
Esercizi svolti sulle equazioni esponenziali
Esercizio 1
Risolvere l’equazione esponenziale:
\[ 2^{\frac{x+9}{1-x}}=\dfrac{1}{4} \]
Qui dobbiamo cercare di avere la stessa base per le potenze a primo e secondo membro. Scomponiamo in fattori il denominatore della frazione a secondo membro:
\[ 2^{\frac{x+9}{1-x}}=\dfrac{1}{2^2} \]
Per le proprietà degli esponenti negativi, si ha \( \dfrac{1}{2^2}=2^{-2} \). Per l’equazione abbiamo quindi:
\[ 2^{\frac{x+9}{1-x}}=2^{-2} \]
Ora le basi a primo e secondo membro sono uguali e possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ \dfrac{x+9}{1-x}=-2 \]
Ora ci ritroviamo con un’equazione fratta di primo grado. Mettiamo i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{x+9}{1-x}=\dfrac{-2(1-x)}{1-x} \]
E’ possibile eliminare il denominatore comune ponendolo diverso da zero:
\[ \dfrac{x+9}{\cancel{1-x}}=\dfrac{-2(1-x)}{\cancel{1-x}}, \qquad x \neq 1 \]
Abbiamo:
\[ x+9=-2+2x \]
Risolvendo questa semplice equazione di primo grado otteniamo la soluzione:
\[ x = 11 \]
La soluzione rispetta la precedente condizione \( x \neq 1 \), per cui è accettabile per l’equazione fratta ed è anche soluzione dell’equazione esponenziale di partenza.
Esercizio 2
\[ \left(2^{x+3} \right)^{x-4}=1 \]
Qui dobbiamo anzitutto utilizzare al primo membro la proprietà delle potenze di potenze. Si ha:
\[ 2^{(x+3)(x-4)}=1 \]
Svolgiamo il prodotto all’esponente:
\[ 2^{x^2-x-12}=1 \]
Ora, per ricondurci al caso di potenze con la stessa base nei due membri ci basta osservare che \( 1=2^0 \). Così possiamo scrivere:
\[ 2^{x^2-x-12}=2^0 \]
Adesso è possibile uguagliare tra loro gli esponenti:
\[ x^2-x-12=0 \]
Possiamo risolvere l’equazione di secondo grado ad esempio scomponendo il polinomio a primo membro. Osserviamo che si tratta di un trinomio caratteristico. Si ha \( x^2-x-12=(x+3)(x-4) \). Così possiamo riscrivere l’equazione come:
\[ (x+3)(x-4)=0 \]
Ora dobbiamo porre ciascun fattore uguale a zero e considerare l’unione delle soluzioni ottenute (legge di annullamento del prodotto):
\[ \begin{align}& x+3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=-3 \\ \\ &x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x=4\end{align} \]
Le soluzioni ottenute per l’equazione di secondo grado sono anche le soluzioni per l’equazione di partenza.
Esercizio 3
\[ 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x}+15 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{-x}=19 \]
Sfruttando la regola per gli esponenti negativi abbiamo:
\[ 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x}+\dfrac{15}{\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x}}=19 \]
Portiamo il termine noto a primo membro:
\[ 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x}+\dfrac{15}{\left(\dfrac{3}{2} \right)^{x}}-19=0 \]
Moltiplichiamo tutti i termini dell’equazione per \( \left( \dfrac{3}{2}\right)^x \). Ciò è lecito poiché si tratta di una quantità sempre diversa da zero.
\[ 4 \left(\dfrac{3}{2} \right)^{3x}+15-19\left(\dfrac{3}{2} \right)^x=0 \]
Per meglio capire quello che abbiamo scritto, diamo uno sguardo al primo termine dell’equazione. Osserviamo che si ha \( 4 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x} \cdot \left( \dfrac{3}{2}\right)^x=4 \cdot \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2x+x}=4 \cdot \left( \dfrac{3}{2}\right)^{3x} \).
A questo punto possiamo utilizzare il metodo per sostituzione. Poniamo
\[ t=\left(\dfrac{3}{2} \right)^x \]
Effettuando la sostituzione nell’equazione ci riconduciamo alla seguente equazione algebrica:
\[ 4t^3+15-19t=0 \]
Ordinando i termini:
\[ 4t^3-19t+15=0 \]
Si tratta di un’equazione di terzo grado che possiamo risolvere scomponendo il polinomio a primo membro e quindi applicando la legge di annullamento del prodotto.
Per scomporre il polinomio possiamo utilizzare la regola di Ruffini. Sono anche disponibili i tool:
- regola di Ruffini online, con passaggi;
- zeri di un polinomio, col quale otteniamo direttamente le soluzioni razionali dell’equazione.
Con la regola di Ruffini otteniamo la scomposizione:
\[ 4t^3-19t+15=(t-1)(4t^2+4t-15) \]
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto. Per il fattore di primo grado:
\[ t-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t=1 \]
Per il fattore di secondo grado abbiamo invece:
\[ 4t^2+4t-15=0 \]
Si tratta di un’equazione di secondo grado, che conviene risolvere con la formula risolutiva. Per semplificarci la vita possiamo dividere tutti e tre i termini dell’equazione per \( 4 \) (secondo principio di equivalenza). Si ha:
\[ t^2+t-\dfrac{15}{4}=0 \]
Applichiamo la formula risolutiva:
\[ x_{1,2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2+4 \cdot 1 \cdot \dfrac{15}{4}}}{2}= \dfrac{-1 \pm 4}{2}=\begin{cases} -\dfrac{5}{2} \\ \\ \dfrac{3}{2} \end{cases} \]
Ora, ricordiamo che abbiamo posto la sostituzione
\[ \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=t \]
Per ciascun valore della \( t \) otteniamo una corrispondente equazione esponenziale elementare. Le soluzioni di ciascuna equazione saranno anche soluzioni dell’equazione esponenziale di partenza.
Per \( t \) avevamo ottenuto i valori \( 1, \: -\dfrac{5}{2}, \: \dfrac{3}{2} \). Risolviamo le corrispondenti equazioni esponenziali elementari:
\[ \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=-\dfrac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad \text{impossibile} \]
L’equazione è impossibile poiché il termine noto è negativo (al primo membro abbiamo una funzione esponenziale che è sempre positiva).
\[ \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=1 \quad \Rightarrow \quad x=0 \]
Il risultato si giustifica osservando che \( 1 = \left(\dfrac{3}{2} \right)^0 \), e quindi \( \left(\dfrac{3}{2} \right)^x=1 \iff \left(\dfrac{3}{2} \right)^x= \left(\dfrac{3}{2}\right)^0 \), da cui discende uguagliando gli esponenti \( x=0 \).
Veniamo all’ultima equazione esponenziale elementare:
\[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\dfrac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x=1 \]
Qui basta osservare che \( \dfrac{3}{2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^1 \).
In conclusione abbiamo ottenuto per l’equazione esponenziale di partenza le soluzioni \( x = 0 \) e \( x = 1 \).
Esercizio 4
\[ 3 \cdot 3^{2x}+7^{2x+1}=3^{2x+2}+7^{2x} \]
Si tratta di un’equazione esponenziale tra le più generali, ove abbiamo esponenti in \( x \) che sono anche polinomi. Per cavarcela dobbiamo anzitutto applicare la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base, ma in senso inverso. Ad esempio:
\[ 7^{2x+1}=7 ^{2x}\cdot 7 ^1= 7^{2x}\cdot7 \]
Ci si convince facilmente di quanto scritto applicando la proprietà in senso diretto al risultato:
\[ 7 ^{2x}\cdot 7 ^1=7^{2x+1} \]
Ragionando in questo modo l’equazione può essere riscritta come:
\[ 3 \cdot 3^{2x}+7^{2x}\cdot7 =3^{2x} \cdot 3^2+7^{2x} \]
Riordiniamo i fattori in modo da avere dei coefficienti a moltiplicare ciascun esponenziale:
\[ 3 \cdot 3^{2x}+7 \cdot 7^{2x}=3^2 \cdot 3^{2x}+7^{2x} \]
Portiamo tutti i termini esponenziali con base \( 3 \) al primo membro e tutti i termini esponenziali con base \( 7 \) al secondo membro:
\[ 3 \cdot 3^{2x}-3^2 \cdot 3^{2x}=1 \cdot 7^{2x}-7 \cdot 7 ^{2x} \]
ovvero:
\[ 3 \cdot 3^{2x}-9\cdot 3^{2x}=1 \cdot 7^{2x}-7 \cdot 7 ^{2x} \]
Osserviamo che in ciascun membro abbiamo termini esponenziali tra loro simili. Possiamo ragionare come per i monomi simili sommando i coefficienti dei termini simili. In alternativa, si tratta semplicemente di raccogliere al primo membro per \( 3^{2x} \), e nel secondo membro per \( 7^{2x} \). Ragionando in un modo o nell’altro otteniamo:
\[ (3-9) \cdot 3^{2x}=(1-7)\cdot7^{2x} \]
e quindi:
\[ 3^{2x}=7^{2x} \]
Ora, qui abbiamo basi diverse e ricondursi al caso di basi uguali è possibile ma non così intuitivo. Proviamo allora a ragionare con i logaritmi. Prendiamo il logaritmo in base \( 3 \) di entrambi i membri:
\[ \log_3 3^{2x}=\log_3 7^{2x} \]
Per la definizione di logaritmo, \( \log_3 3^{2x} = 2x \). Abbiamo quindi per l’equazione:
\[ 2x=\log_3 7 ^{2x} \]
Utilizzando la regola degli esponenti dei logaritmi al secondo membro:
\[ 2x = 2x \log_3 7 \]
Portiamo tutto a primo membro:
\[ 2x-2x \log_3 7 = 0 \]
Raccogliamo per \( 2x \):
\[ 2x (1-\log_3 7) = 0 \]
Otteniamo in conclusione:
\[ x = 0 \]
E questa è la soluzione dell’equazione esponenziale di partenza.
Veniamo al metodo alternativo. Riprendiamo l’equazione nella seguente forma:
\[ 3^{2x}=7^{2x} \]
Dividiamo entrambi i membri per \( 7^{2x} \) (non serve alcuna discussione poiché l’esponenziale non assume mai valore zero):
\[ \dfrac{3^{2x}}{7^{2x}}=1 \]
Grazie alla regola del rapporto tra potenze di uguale esponente applicata al primo membro, l’equazione diventa:
\[ \left(\dfrac{3}{7} \right)^{2x}=1 \]
Osserviamo che \( 1=\left(\dfrac{3}{7} \right)^0 \). Così abbiamo:
\[ \left(\dfrac{3}{7} \right)^{2x}=\left(\dfrac{3}{7} \right)^0 \]
Finalmente abbiamo la stessa base in entrambi i membri e possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
In questo modo abbiamo risolto l’equazione senza scomodare i logaritmi. 😉
Esercizio 5
\[ e^{2x}+e^x-2=0 \]
L’equazione si risolve per sostituzione, ponendo \( e^x=t \). Otteniamo in tal modo l’equazione algebrica:
\[ t^2+t-2=0 \]
Grazie alla regola del trinomio caratteristico possiamo scomporre il polinomio a primo membro ottenendo:
\[ (t+2)(t-1)=0 \]
Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo le soluzioni:
\[ t_1 = -2; \qquad t_2 = 1 \]
Ricordiamo che abbiamo posto \( e^x=t \). Dobbiamo quindi risolvere le equazioni esponenziali elementari corrispondenti a ciascun valore di \( t \). Si ha:
\[ e^x=t \quad \text{con} \quad t = -2 \quad \Rightarrow \quad e^x=-2 \quad \Rightarrow \quad \text{impossibile} \]
L’equazione è impossibile poiché il termine noto è negativo. Veniamo all’altra equazione:
\[ e^x=t \quad \text{con} \quad t = 1 \quad \Rightarrow \quad e^x=1 \]
ovvero:
\[ e^x = e^0 \]
Uguagliando gli esponenti otteniamo la soluzione:
\[ x = 0 \]
che è anche soluzione dell’equazione esponenziale di partenza.
Esercizio 6
\[ e^{\scriptsize \dfrac{3x+8}{2}}-e^{\scriptsize \dfrac{x+2}{2}}+e^{x+3}-1=0 \]
Utilizzando le proprietà delle potenze riconduciamoci a potenze aventi per esponenti dei monomi:
\[ e^{\scriptsize \dfrac{3x}{2}}\cdot e ^{\scriptsize \dfrac{8}{2}}-e^{\scriptsize \dfrac{x}{2}}\cdot e^{\scriptsize \dfrac{2}{2}}+e^x \cdot e^3-1=0 \]
Mettendo un po’ di ordine:
\[ e^4 \cdot e^{\scriptsize \dfrac{3}{2}x}-e \cdot e^ {\scriptsize \dfrac{x}{2}}+e^3 \cdot e^x-1=0 \]
A questo punto effettuiamo la sostituzione:
\[ e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=t \]
La convenienza della sostituzione è chiara se osserviamo che l’esponente del primo termine è \( \dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{2}x\cdot 3 \).
Ora, ragioniamo sul termine \( e^3 \cdot e^x \), che effettivamente potrebbe dare dei problemi per la sostituzione. Osserviamo che \( e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x \cdot 2}=e^x \), e poiché \( e ^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=t \), abbiamo che \( e^x = t^2 \). Per gli altri termini i ragionamenti sono invece ben più immediati.
Riconduciamo così l’equazione di partenza all’equazione algebrica:
\[ e^4 \cdot t^3-e \cdot t+e^3\cdot t^2-1=0 \]
Ordinando il polinomio al primo membro per potenze decrescenti rispetto a \( t \):
\[ e^4t^3+e^3t^2-et-1=0 \]
Qua dobbiamo cercare di scomporre il polinomio in modo da poter applicare la legge dell’annullamento del prodotto. Osserviamo anzitutto che \( e \) è una costante, per cui i termini in \( e \) vanno considerati semplicemente come dei coefficienti.
L’idea è quella di eseguire un raccoglimento parziale, seguito da un raccoglimento totale.
Ciò che vorremmo è eseguire un raccoglimento parziale di modo che possiamo ricondurre i primi due termini ad un prodotto che contenga il fattore \( -et-1 \). In tal modo, sarà poi possibile raccogliere in modo totale tale fattore, scomponendo così il polinomio.
Se raccogliamo i primi due termini per \( e^3t^2 \) (che altri non è che il primo termine del polinomio con ciascuna lettera abbassata di un grado) otteniamo:
\[ e^3t^2(et+1)-et-1 = 0 \]
Per trovarci meglio in seguito, conviene aggiungere un operatore di addizione prima degli ultimi due termini:
\[ e^3t^2(et+1)+(-et-1)=0 \]
Ci siamo quasi. Il problema è ora aggiustare i segni. Niente panico: è sufficiente invertire entrambi i fattori del primo termine:
\[ -e^3t^2 \cdot (-et-1)+(-et-1)=0 \]
Ora possiamo eseguire un raccoglimento totale con il termine \( -et-1 \), scomponendo il polinomio:
\[ (-et-1)(-e^3t^2+1)=0 \]
Finalmente possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto:
\[ (-et-1)(-e^3t^2+1)=0 \quad \Rightarrow \quad -et-1 = 0 \quad \vee \quad -e^3t^2+1=0 \]
Dalla prima equazione otteniamo:
\[ -et-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\dfrac{1}{e} \]
Dalla seconda equazione:
\[ -e^3t^2+1=0 \quad \Rightarrow \quad t^2 = \dfrac{-1}{-e^3} \quad \Rightarrow \quad t^2=\dfrac{1}{e^3} \]
Risolvendo l’equazione di secondo grado otteniamo:
\[ t_{1,2}=\pm \sqrt{\dfrac{1}{e^3}}=\begin{cases}+\sqrt{\dfrac{1}{e^3}} = \left(\dfrac{1}{e^3} \right)^{\frac{1}{2}} =\dfrac{1}{e^{3\cdot \frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{e^{ \frac{3}{2}} } \\ \\ -\sqrt{\dfrac{1}{e^3}}=-\dfrac{1}{e^{\frac{3}{2}}}\end{cases} \]
Ora poiché abbiamo posto \( e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=t \), risolviamo le equazioni esponenziali elementari che otteniamo da tale uguaglianza per ciascun valore della \( t \). Abbiamo:
\[ e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=-\dfrac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad \text{impossibile} \]
Per le soluzioni dell’equazione di secondo grado, scartiamo quella negativa poiché produrrebbe in modo del tutto simile un’equazione impossibile. Consideriamo allora l’equazione esponenziale che si ottiene dalla soluzione positiva:
\[ e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=\dfrac{1}{e^{\scriptsize \dfrac{3}{2}}} \]
Utilizzando le regole delle potenze per gli esponenti negativi:
\[ e^{\scriptsize \dfrac{1}{2}x}=e^{\scriptsize -\dfrac{3}{2}} \]
A questo punto poiché le basi sono uguali possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ \dfrac{1}{2}x = -\dfrac{3}{2} \]
Risolvendo l’equazione otteniamo la soluzione:
\[ x = -3 \]
che è anche soluzione dell’equazione esponenziale data. 🙂
Per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni esponenziali è tutto. Vi ricordo il tool di Altramatica per risolvere le equazioni di qualunque tipo, comprese le esponenziali: risolvere le equazioni online.
Buon proseguimento con Altramatica! 🙂