Ci occuperemo ora di particolari disequazioni di grado superiore al primo. Avremo a che fare cioè con disequazioni che possono essere risolte grazie alle sole conoscenze sulle disequazioni di primo grado e mediante l’uso della logica. Poi, per velocizzare i metodi risolutivi, passeremo dalla logica all’utilizzo di un metodo più rapido, basato sullo studio dei segni.
Quanto vedremo in questa lezione sulle disequazioni di grado superiore al primo costituirà una preparazione allo studio delle disequazioni fratte (frazionarie) e delle disequazioni di secondo grado, le quali vengono trattate nella loro generalità in altre lezioni.
Vediamo allora come affrontare la risoluzione di particolari disequazioni di grado superiore al primo. Per poter fare questo, è anzitutto utile capire come risolvere una disequazione di primo grado utilizzando la logica.
Risolvere una disequazione di primo grado con la logica
Una disequazione di primo grado può essere vista come una proposizione logica. L’insieme di verità di tale proposizione logica costituirà l’insieme delle soluzioni della disequazione data.
Così ad esempio la disequazione:
\[ x-5\geq0 \]
può essere riletta come una proposizione logica:
p(x): “x – 5 è maggiore o uguale a 0”
L’insieme di verità della proposizione è dato da tutti i valori della \( x \) per i quali la disuguaglianza risulta vera. Così, detto \( S \) tale insieme, si ha:
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \: \text{t.c.} \: x\geq5\} \]
Graficamente:
Risolvere le disequazioni di grado superiore al primo (disequazione di secondo grado)
Vediamo ora subito un primo esempio su come risolvere le disequazioni di grado superiore al primo. Consideriamo in particolare la disequazione:
\[ +x^2-x-2>0 \]
Scomponendo il polinomio al primo membro otteniamo:
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
Ci ritroviamo così con un prodotto tra due fattori che deve essere positivo.
Per l’algebra sappiamo che il prodotto tra due fattori è positivo se i due fattori sono concordi, ovvero se hanno lo stesso segno. Così, la disequazione avrà per soluzione l’insieme dei valori della \( x \) tali che entrambi i fattori siano contemporaneamente positivi oppure entrambi i fattori siano contemporaneamente negativi.
Il concetto di contemporaneamente si esprime con l’operatore di congiunzione logica \( \wedge \), mentre il concetto di oppure qui si esprime con l’operatore di disgiunzione inclusiva \( \vee \).
Così, la disequazione sarà soddisfatta dai valori della \( x \) che rendono vera la seguente espressione logica:
\[ \left( x-2 > 0 \quad \wedge \quad x+1 > 0\right) \quad \vee \quad \left(x-2<0 \quad \wedge \quad x+1<0 \right) \]
Risolviamo separatamente ciascuna disequazione. Cominciamo con quelle all’interno della prima coppia di parentesi:
\[ \begin{align}& x-2>0 \quad \Rightarrow \quad x>2 \\ \\ & x+1>0 \quad \Rightarrow \quad x>-1 \end{align} \]
Veniamo ora alle disequazioni nella seconda coppia di parentesi:
\[ \begin{align}& x-2<0 \quad \Rightarrow \quad x<2 \\ \\ &x+1<0 \quad \Rightarrow \quad x <-1 \end{align} \]
Sulla base dei risultati ottenuti, la precedente espressione logica diviene:
\[ \left( x>2 \quad \wedge \quad x>-1 \right) \quad \vee \quad \left(x<2 \quad \wedge \quad x<-1 \right) \]
Possiamo così trarre le seguenti conclusioni:
- un primo insieme delle soluzioni \( S_1 \) è dato dall’intersezione tra l’insieme delle soluzioni \( x>2 \) e l’insieme delle soluzioni \( x>-1 \);
- un secondo insieme delle soluzioni è dato dall’intersezione tra l’insieme delle soluzioni \( x<2 \) e l’insieme delle soluzioni \( x < -1 \):
- infine, l’insieme delle soluzioni \( S \) della disequazione di partenza è dato dall’unione degli insiemi \( S_1 \) ed \( S_2 \). Infatti, le \( x \) che soddisfano la disequazione sono quelle che appartengono ad \( S_1 \) oppure (disgiunzione logica inclusiva) ad \( S_2 \).
Le considerazioni appena esposte si reggono sul fatto che la congiunzione logica di due o più proposizioni ha come risultato l’intersezione dei rispettivi insiemi di verità, mentre la disgiunzione logica inclusiva di due o più proposizioni ha come risultato l’unione dei rispettivi insiemi di verità.
Ora, il problema è determinare gli insiemi \( S_1 \) ed \( S_2 \). Una comoda strada è data dall’utilizzo di metodi grafici. In particolare, l’idea è quella di rappresentare sotto la stessa retta reale le soluzioni di ciascuna singola disequazione, e quindi individuare l’insieme intersezione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna disequazione. Avremo così, rispettivamente:
\[ S_1 = \{x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x >2\} \]
Come possiamo vedere, l’insieme delle soluzioni \( S_1 \) è rappresentato graficamente da una semiretta costituita da punti che appartengono ad entrambe le semirette sovrastanti.
Procedendo allo stesso modo possiamo ricavare \( S_2 \):
\[ S_2 = \{x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x < -1\} \]
L’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza sarà dunque dato da:
\[ S = S_1 \cup S_2 \quad \Rightarrow \quad S = \{x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x <-1 \quad \vee \quad x > 2\} \]
Possiamo in conclusione rappresentare l’insieme \( S \) delle soluzioni della disequazione \( +x^2-x-2>0 \) come segue:
Ora, saper risolvere le disequazioni di grado superiore al primo utilizzando la logica è molto utile anche per poter poi meglio comprendere i sistemi di equazioni e disequazioni. A questo punto, per chi ha fretta è possibile a questo punto saltare direttamente alla spiegazione del più rapido metodo risolutivo che fa uso dello studio dei segni.
Chi vuole invece approfondire l’utilizzo della logica per risolvere le disequazioni può proseguire la lettura con il seguente paragrafo. 🙂
Disequazione di terzo grado
Veniamo ora ad una caso un po’ meno immediato, sempre riguardante le disequazioni di grado superiore al primo. Consideriamo la seguente disequazione:
\[ (x-3)(x+4)(x-7)<0 \]
Per comodità abbiamo già scomposto il polinomio a primo membro. Come possiamo vedere, abbiamo tre fattori il cui prodotto deve essere minore di zero.
Vediamo che qua è decisamente più difficile impostare il problema rispetto al caso precedente (precisiamo che il metodo dello studio dei segni semplifica moltissimo questo problema). La chiave per risolvere il problema con la logica è osservare che la quantità di fattori è dispari (tre fattori). E, se nel prodotto abbiamo che un numero dispari di fattori è negativo, allora il prodotto sarà negativo.
Così, per le regole dell’algebra, le considerazioni da fare sono queste:
- se tutti e tre i fattori sono negativi il prodotto è negativo (meno per meno dà più, e più per meno dà meno);
- se un fattore è negativo e gli altri due sono positivi, il prodotto è negativo (meno per più dà meno, e proseguendo meno per più dà meno).
La disequazione risulterà quindi verificata per i valori della \( x \) che soddisfano almeno una tra le seguenti condizioni:
\[ \begin{align} &1) \quad x-3 < 0 \quad \wedge \quad x+4 > 0 \quad \wedge \quad x-7>0 \\ \\ &2) \quad x-3>0 \quad \wedge \quad x+4>0 \quad \wedge \quad x-7<0 \quad \\ \\ &3) \quad x-3>0 \quad \wedge \quad x+4<0 \quad \wedge \quad x-7>0 \\ \\ &4) \quad x-3<0 \quad \wedge \quad x+4<0 \quad \wedge \quad x-7<0\end{align} \]
In altre parole, appartengono all’insieme delle soluzioni della disequazione data tutte le \( x \) che verificano la seguente espressione logica:
\[ 1) \quad \vee \quad 2) \quad \vee \quad 3) \quad \vee \quad 4)\]
ove ciascun numero rappresenta una delle precedenti condizioni.
Ora, un tale approccio appare piuttosto proibitivo. Si tratta infatti di dover determinare l’insieme di verità di tutte le singole espressioni logiche 1, 2, 3 e 4 e poi unire tra loro i rispettivi insiemi di verità, ottenendo l’insieme delle soluzioni della disequazione.
Riportiamo a seguire per completezza la procedura risolutiva, ma osserviamo immediatamente che in questi casi la tecnica più immediata da utilizzare è quella basata sullo studio del segno dei fattori (vedi paragrafo successivo).
Consideriamo separatamente i possibili casi:
L’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è dato dall’unione degli insiemi \( S_1 \), \( S_2 \), \( S_3 \) e \( S_4 \):
\[ S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4 = \left\{x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x < -4 \quad \vee \quad 3<x<7 \right\} \]
Il metodo qui presentato è molto laborioso ma niente panico: possiamo risolvere questa stessa disequazione molto più speditamente utilizzando lo studio dei segni.
Risolvere una disequazione con lo studio dei segni
I metodi precedentemente visti ci sono stati utili per comprendere i metodi risolutivi delle disequazioni da un punto di vista concettuale, utilizzando le operazioni logiche e quelle tra insiemi.
Vogliamo ora mostrare come risolvere una disequazione utilizzando lo studio dei segni. Questa tecnica permette di risolvere le disequazioni molto più rapidamente, specialmente in quei casi ove la disequazione ridotta a forma normale presenta diversi fattori al primo membro.
Partiamo dal caso più semplice. Consideriamo la prima disequazione tra quelle viste in precedenza:
\[ x-5 > 0 \]
Sappiamo che questa è risolta per \( x>5 \). Così, per \( x>5 \) possiamo affermare che il binomio \( x-5 \) è positivo.
Rappresentiamo graficamente il segno del binomio \( x-5 \) sulla retta reale, in modo da mostrare per quali valori della \( x \) è positivo e per quali è negativo. Per fare questo, indichiamo per convenzione con tratto continuo i punti per i quali il binomio \( x-5 \) è positivo, e con tratto discontinuo (tratteggiato) i punti per i quali il binomio stesso risulta negativo. Per mettere ancora più in evidenza i punti corrispondenti a valori negativi del binomio, qui utilizzeremo anche il colore rosso.
Infine, indicheremo con una linea di colore blu l’intervallo ove la disequazione è soddisfatta.
Abbiamo così la seguente rappresentazione:
Con quale ragionamento abbiamo disegnato il grafico? Ci siamo chiesti due cose:
- quando \( x-5 \) è maggiore di 0?
- quando \( x-5 \) è minore di 0?
Si ha \( x-5 > 0 \) per \( x>5 \). Così, il binomio è positivo per tutti i valori della \( x \) maggiori di \( 5 \). Quindi, da \( 5 \) in poi disegniamo nel grafico una linea a tratto continuo.
Poi, si ha \( x-5<0 \) per \( x<5 \). Così, il binomio è negativo per tutti i valori della \( x \) minori di \( 5 \). Di conseguenza, prima di \( 5 \) abbiamo una linea a tratto interrotto.
E’ importante osservare che nello studio del segno non ci interessa il simbolo di disuguaglianza nella disequazione di partenza. Per lo studio dei segni, ci chiediamo soltanto ove la quantità da studiare è positiva e ove è negativa. Solo una volta studiati i segni guarderemo l’operatore di disuguaglianza della disequazione, e in base a questo individueremo l’insieme delle soluzioni.
L’utilità dello studio dei segni è evidente nel caso in cui al primo membro abbiamo due o più fattori. Riprendiamo ad esempio la seguente disequazione:
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
L’idea è quella di studiare il segno di ciascun fattore, proprio come abbiamo fatto per il binomio \( x-5 \) del caso precedente. Cominciamo effettuando lo studio del segno dei due fattori su uno stesso grafico:
Come possiamo vedere, nel grafico risultano individuati tre intervalli:
Ora, per ciascun intervallo dobbiamo stabilire il segno del prodotto \( (x-2)\cdot (x+1) \).
Nel primo intervallo, osserviamo che il fattore \( x-2 \) è negativo, e lo è anche il fattore \( x+1 \). Così, il loro prodotto risulta positivo.
Nel secondo intervallo il fattore \( x-2 \) è negativo, mentre il fattore \( x+1 \) è positivo. Di conseguenza, il prodotto \( (x-2)\cdot (x+1) \) risulta negativo.
Infine, nel terzo intervallo entrambi i fattori sono positivi, e quindi risulta positivo anche il loro prodotto. Possiamo così rappresentare lo studio del segno del prodotto \( (x-2)(x+1) \) come segue:
Ora siamo quasi arrivati. 🙂 Ci manca soltanto da individuare l’insieme delle soluzioni della disequazione. Poiché la disequazione stessa richiede che il prodotto \( (x-2)(x+1) \) sia maggiore di zero, l’insieme delle soluzioni è dato di conseguenza dal primo e dal terzo intervallo:
Così abbiamo l’insieme delle soluzioni:
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x<-1 \quad \vee \quad x >2 \} \]
La tecnica risolutiva basata sullo studio dei segni è molto rapida. Per evidenziare questo, riprendiamo la precedente disequazione con tre fattori:
\[ (x-3)(x+4)(x-7)<0 \]
Studiamo il segno di ciascun fattore, e quindi determiniamo grazie all’algebra i segni del prodotto tra i fattori, in ciascun intervallo. Prenderemo come soluzione l’unione degli intervalli nei quali il prodotto \( (x-3)(x+4)(x-7) \) risulta negativo. Si ha così:
Come evidente, grazie alla tecnica dello studio dei segni abbiamo risolto la disequazione in modo molto più rapido rispetto al precedente metodo basato sull’utilizzo della logica.
Se preferite, è anche possibile indicare nel diagramma soltanto i segni assunti dal prodotto dei fattori in ciascun intervallo:
L’insieme delle soluzioni della disequazione è dato da:
\[ S = \{ x \in \mathbb{R} \quad \text{t.c.} \quad x < -4 \quad \vee \quad 3 < x < 7 \} \]
e ritroviamo il risultato ottenuto in precedenza con il metodo più laborioso.
Per questa lezione sulle disequazioni di grado superiore al primo è tutto. Qui ci siamo occupati soltanto di disequazioni che possono essere risolte riconducendosi a disequazioni di primo grado. Per i casi generali relativi alle disequazioni di secondo grado è disponibile questa lezione: risolvere le disequazioni di secondo grado. La lezione è destinata a chi già sa risolvere le equazioni di secondo grado.
Nella prossima lezione vedremo le disequazioni frazionarie (fratte).
Ciao! 🙂