Nell’effettuare lo studio di una funzione con asintoto obliquo rivedremo le regole generali sugli asintoti obliqui. In più presenteremo una procedura semplificata che si adatta a particolari funzioni razionali.
Come sempre, l’obiettivo finale dello studio di funzione è quello di disegnare il grafico della funzione stessa. Per risolvere il problema utilizzeremo quanto appreso nelle lezioni sulle derivate relative alla teoria dello studio di funzione. Ovviamente, a ciò aggiungeremo quanto sappiamo sugli asintoti in modo da capire come si esegue lo studio di una funzione con asintoto obliquo.
Vediamo allora subito come effettuare lo studio di una funzione con asintoto obliquo. 🙂
Studio di una funzione con asintoto obliquo
Disegnare il grafico della funzione
\[ f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-4} \]
Siamo nel caso di una funzione razionale, ovvero di una funzione che contiene sia a numeratore, sia a denominatore dei polinomi.
Osserviamo che il grado del polinomio al numeratore si ottiene aggiungendo \( 1 \) al grado del polinomio al denominatore. Questo è un caso notevole che come vedremo rende più immediato lo studio degli asintoti obliqui.
Dominio della funzione
Ogni polinomio è definito per tutti i reali. Così entrambi il numeratore e il denominatore hanno senso per ogni valore reale. Tuttavia, il denominatore non può essere nullo. Diversamente, l’espressione che rappresenta la funzione perderebbe di significato.
I valori della \( x \) che appartengono al dominio della funzione devono essere tali da non annullare il denominatore. Imponiamo allora la condizione:
\[ x^2-4 \neq 0 \]
Escludiamo allora dal dominio della funzione le soluzioni dell’equazione \( x^2-4=0 \). Le soluzioni sono \( x_{1,2} = -2, \: 2 \). Così il dominio della funzione è:
\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,2 \} \]
NOTA: il dominio è simmetrico rispetto all’origine (i valori \( -2 \) e \( 2 \) sono equidistanti dall’origine) e quindi la funzione potrebbe essere pari oppure dispari. In particolare otteniamo che la funzione è dispari:
\[ f(-x)=-f(x) \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2-4}=-\dfrac{x^3}{x^2-4} \quad \text{vero} \]
Di conseguenza, il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’origine ed è possibile studiare la funzione nella sola parte positiva (o negativa) del dominio. Tuttavia, procederemo senza tenere conto di questo in modo da presentare il metodo di studio delle funzioni nel caso più generale di funzione né pari né dispari.
Studio degli asintoti
Per quanto detto è evidente che \( x=-2 \) e \( x = 2 \) sono due punti di discontinuità per la funzione, ovvero punti nei quali la funzione non è definita. E’ importante allora studiare cosa succede in questi punti: potremmo avere degli asintoti verticali.
Consideriamo i limiti sinistro e destro per ciascun punto. Cominciamo dal punto \( x = -2 \). Per il limite sinistro si ha:
\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{x^3}{x^2-4}=-\infty \]
mentre per il limite destro:
\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x^3}{x^2-4}=+\infty \]
Per comprendere i risultati, è importante osservare che per \( x \to -2^{-} \) la \( x \) assume valori in modulo maggiori di \( 2 \). Il denominatore della funzione sarà di conseguenza positivo (\( x^2-4 \) è positivo se il valore assoluto di \( x \) è maggiore di \( 2 \)).
Così, il limite sinistro ha come risultato meno infinito. Infatti, mentre il denominatore tende ad una quantità molto prossima a zero e positiva, il numeratore tende ad un valore negativo (al numeratore abbiamo infatti una funzione potenza con esponente dispari).
Per il limite destro, il denominatore della funzione tende ad una quantità molto prossima a zero ma negativa. Infatti stavolta poiché \( x \to -2^{+} \), la \( x \) assume valori in modulo minori di \( 2 \). Così il polinomio \( x^2-4 \) risulta negativo. Il numeratore tende anch’esso ad una quantità negativa, per cui il risultato del limite è più infinito.
Così per i risultati ottenuti abbiamo che \( x=-2 \) è asintoto verticale per la funzione. Inoltre, in un intorno sinistro di \( -2 \) la funzione diverge a meno infinito, mentre in un intorno destro diverge a più infinito.
Ora vediamo i limiti sinistro e destro relativamente al punto \( x=2 \). Si ha per il limite sinistro:
\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^3}{x^2-4}=-\infty \]
E per il destro:
\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^3}{x^2-4}=+\infty \]
I risultati si giustificano con considerazioni del tutto simili a quelle fatte per i limiti precedenti.
Così anche \( x=2 \) è asintoto verticale per la funzione, ed abbiamo che in un intorno sinistro del punto la funzione diverge a meno infinito, mentre in un intorno destro diverge a più infinito.
Oltre ad avere due punti di discontinuità, il dominio presenta anche la particolarità di essere illimitato sia superiormente, sia inferiormente. Infatti, l’insieme dei numeri reali può essere visto come un intervallo che ha per estremi meno infinito e più infinito. Dobbiamo allora vedere cosa succede quando \( x \to \pm \infty \).
Calcoliamo il limite:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3}{x^2-4}=-\infty \]
e il limite:
\[ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{x^2-4}=+\infty \]
La funzione diverge in entrambi i casi ad infinito (più infinito e meno infinito rispettivamente). Per cui, in teoria potremmo avere almeno un asintoto obliquo.
Un asintoto obliquo è una retta di equazione:
\[ y=mx + q \]
Proviamo a ricercare i coefficienti \( m \) e \( q \) nei due distinti casi di \( x \to -\infty \) e \( x \to +\infty \). Si ha:
\[ m_1 = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\dfrac{x^3}{x^2-4}}{x}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3}{x^3-4x}=1 \]
Il risultato discende da quanto sappiamo sul confronto tra infiniti. Il limite restituisce un numero per cui il coefficiente \( m_1 \) è pari al numero ottenuto, ovvero \( 1 \). Per il termine noto \( q_1 \):
\[ q_1 = \lim_{x \to -\infty}\left[ f(x)-m_1 x\right] = \lim_{x \to -\infty} \left[\dfrac{x^3}{x^2-4}-1 \cdot x \right]=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^3-x^3+4x}{x^2-4}=0 \]
Di conseguenza \( q_1 = 0 \) e quindi per \( x \to -\infty \) abbiamo un asintoto obliquo di equazione \( y=m_1 x + q_1 \), ovvero \( y = x \).
Ora dobbiamo determinare i coefficienti \( m_2 \) e \( q_2 \) relativi al caso \( x \to +\infty \), in modo del tutto simile a quanto appena fatto. Si ha:
\[ m_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^3}{x^2-4}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{x^3-4x}=1 \]
e:
\[ q_2 = \lim_{x \to +\infty}\left[ f(x)-m_1 x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{x^3}{x^2-4}-1 \cdot x \right]=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^3-x^3+4x}{x^2-4}=0 \]
Così ritroviamo l’asintoto obliquo \( y=x \) anche per \( x \to +\infty \). E questo è l’unico asintoto obliquo per la funzione.
Abbiamo così studiato gli asintoti obliqui con il metodo più generale. Nel caso particolare in esame, tuttavia, esiste una scorciatoia. Come abbiamo detto all’inizio, stiamo studiando una funzione razionale ove il grado del polinomio a numeratore è pari al grado del polinomio a denominatore aumentato di \( 1 \). In questo particolare caso la funzione solitamente ammette un asintoto obliquo, la cui espressione in funzione di \( x \) è data dal quoziente della divisione tra il numeratore e il denominatore della funzione. Il risultato va comunque verificato con la procedura che vedremo tra un istante.
Eseguiamo allora la divisione tra polinomi:
\[ x^3 : (x^2-4) \]
Si ha:
Il quoziente \( Q(x) \) rappresenta l’espressione del possibile asintoto obliquo: \( y=x \). Già sappiamo che il risultato è questo, ma per verificarlo con questo metodo dobbiamo controllare che sia nullo il seguente limite:
\[ \lim_{x \to -\infty}\left[f(x)-(mx+q) \right] = \lim_{x \to -\infty} \left[\dfrac{x^3}{x^2-4} – x \right]=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^3-x^3+4x}{x^2-4}=0 \]
Ciò equivale a dire che, all’infinito, la differenza tra il valore assunto dalla funzione e quello della funzione che rappresenta la retta dell’asintoto obliquo deve essere nulla.
Osserviamo che con \( mx+q \) intendiamo l’espressione del possibile asintoto obliquo, che in questo caso è \( x \) (il quoziente della divisione).
Poiché il limite è nullo, effettivamente per \( x \to -\infty \) il grafico della funzione si confonde con quello della retta \( y=x \), che di conseguenza è asintoto obliquo.
Per quanto visto in precedenza, anche per \( x \to +\infty \) ci aspettiamo lo stesso risultato:
\[ \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(mx+q) \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\dfrac{x^3}{x^2-4} – x \right]=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^3-x^3+4x}{x^2-4}=0 \]
Così possiamo dire che \( y=x \) è asintoto obliquo per la funzione data sia per \( x \to -\infty \), sia per \( x \to + \infty \). In questo modo abbiamo ottenuto con meno calcoli lo stesso risultato del metodo generale per la determinazione degli asintoti obliqui. Sottolineiamo che questo metodo è valido solo nel caso di funzione razionale con numeratore di grado \( n \) e denominatore di grado \( n-1 \).
Per comprendere perché il quoziente fra il numeratore e il denominatore della funzione rappresenta proprio l’espressione del possibile asintoto obliquo, osserviamo che in generale per la divisione \( A(x):B(x) \) si ha:
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{B(x)} \]
E poiché nel nostro caso \( f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)} \), possiamo scrivere:
\[ f(x)=x+\dfrac{4x}{x^2-4} \]
In altre parole, grazie alla divisione tra polinomi possiamo esprimere la funzione come somma di un termine lineare (di primo grado) e un termine con grado del numeratore inferiore a quello del denominatore.
Per il confronto tra infiniti, il termine \( \dfrac{4x}{x^2-4} \) per \( x \) che tende ad infinito tende a zero. Ciò significa che all’infinito il termine \( \dfrac{4x}{x^2+4} \) “sparisce” e la funzione rimane soltanto con il termine lineare. Così, all’infinito il grafico della funzione si confonde con quello di una retta. E tale retta rappresenta proprio il possibile asintoto obliquo. 😉
Studio del segno della funzione
Vediamo per quali intervalli la funzione è positiva o nulla:
\[ \dfrac{x^3}{x^2-4} \geq 0 \]
Includiamo il simbolo di uguaglianza in modo da individuare anche i punti di intersezione del grafico con l’asse delle \( x \). Effettuiamo lo studio del segno:
La funzione è positiva negli intervalli \( ]-2,0[ \) e \( ]2, +\infty[ \). E’ negativa nella rimanente parte del dominio della funzione.
Inoltre, la funzione si annulla per \( x = 0 \). Dunque il grafico della funzione passa per il punto \( (0,0) \), ovvero l’origine.
Punti di intersezione con l’asse y
Poniamo la condizione \( x = 0 \). Otteniamo \( f(0)= 0 \), il che conferma che la funzione passa per l’origine, come ci aspettavamo.
ricerca dei punti critici
Calcoliamo anzitutto la derivata prima della funzione:
\[ \dfrac{d}{dx}\dfrac{x^3}{x^2-4}=\dfrac{3x^2(x^2-4)-x^3 \cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}=\dfrac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2} \]
Imponiamo la derivata prima uguale a zero, in modo da ricercare i punti critici (possibili massimi e minimi locali, possibili flessi a tangente orizzontale):
\[ \dfrac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}=0 \]
Poiché cerchiamo le soluzioni nel dominio della funzione, possiamo cancellare il denominatore senza alcuna discussione (questo infatti si annulla per valori della \( x \) che non appartengono al dominio della funzione). Si ha:
\[ x^2(x^2-12)=0 \]
Da cui:
\[ x = 0 \quad \vee \quad x^2-12=0 \]
Così intanto abbiamo individuato un primo punto critico, dato da \( x=0 \). Per l’altra equazione:
\[ x^2-12=0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=-\sqrt{12}, \:\sqrt{12} \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = -2\sqrt{3}, \: 2\sqrt{3} \]
Ora, per capire se questi punti sono di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale dobbiamo studiare il segno della derivata prima.
Studio del segno della derivata prima
Effettuiamo lo studio del segno come al solito per via grafica:
Abbiamo così i seguenti punti:
-
\[ (-2\sqrt{3}, -3 \sqrt{3}) \quad \rightarrow \quad \text{massimo locale;} \]
-
\[ (2\sqrt{3}, 3 \sqrt{3}) \quad \rightarrow \quad \text{minimo locale;} \]
- il punto \( (0,0) \) che è flesso a tangente orizzontale. Infatti per \( x = 0 \) la derivata prima è nulla, inoltre in un intorno di \( x = 0 \) la funzione risulta strettamente decrescente, sia nell’intorno sinistro, sia nel destro. E poiché la funzione è in tale intorno strettamente decrescente, il flesso è discendente.
Studio della concavita’
Cominciamo calcolando la derivata seconda (derivata della derivata prima). Osserviamo che conviene utilizzare la derivata prima nella forma non scomposta in fattori. Ciò consente di semplificare i calcoli. Si ha:
\[ \begin{align}&\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}= \\ \\ & = \dfrac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2-\left[(x^4-12x^2)\cdot2\cdot(x^2-4)\cdot2x \right]}{(x^2-4)^4}= \\ \\ & = \dfrac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2-\left[(x^4-12x^2)\cdot4x\cdot(x^2-4) \right]}{(x^2-4)^4}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{(x^2-4)}\left[(4x^3-24x)(x^2-4)-(x^4-12x^2)\cdot4x \right]}{(x^2-4)^{\cancel{4}^{\small \displaystyle3}}} = \\ \\ & = \dfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x-(4x^5-48x^3)}{(x^2-4)^3}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{4x^5}-40x^3+96x-\cancel{4x^5}+48x^3}{(x^2-4)^3}= \\ \\ & = \dfrac{8x^3+96x}{(x^2-4)^3} = \dfrac{8x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}\end{align} \]
Studio della concavita’
Disponendo dell’espressione della derivata seconda possiamo studiarne il segno in modo da ottenere informazioni sulla concavità del grafico della funzione.
Il grafico della funzione presenta concavità rivolta verso l’alto negli intervalli \( ]-2, 0[ \) e \( ]2, +\infty[ \). Nella restante parte del dominio il grafico presenta invece concavità rivolta verso il basso.
Osserviamo che, percorrendo l’asse \( x \) in senso positivo, passando per il punto \( x= 0 \) assistiamo ad un cambio di concavità. Ciò conferma che in \( x = 0 \) abbiamo un punto di flesso, come del resto già sappiamo dallo studio della derivata prima.
Anche nei punti \( x = -2 \) e \( x= 2 \) assistiamo ad un cambio di concavità, ma tali punti non appartengono al dominio della funzione. Di conseguenza, non sono punti di flesso. Quindi, se anche in un punto abbiamo un cambio di concavità, questo non è necessariamente un flesso. Del resto, già sappiamo che in corrispondenza di tali punti abbiamo degli asintoti verticali.
Grafico della funzione
Disponiamo a questo punto di tutti gli elementi per disegnare il grafico della funzione. Cominciamo riportando i punti che conosciamo e rappresentando gli asintoti:
Procediamo sbarrando le aree nelle quali siamo sicuri che non ci sarà il grafico della funzione: basta controllare i risultati dello studio del segno della funzione.
A questo punto possiamo tracciare il grafico. Uniamo i punti che conosciamo, tenendo conto degli asintoti, della crescenza/decrescenza della funzione, della sua concavità. Ricordiamo inoltre che per \( x = 0 \) abbiamo un flesso a tangente orizzontale.
Concludiamo osservando che la funzione non presenta massimi o minimi assoluti. Infatti, la funzione diverge sia a più infinito, sia a meno infinito.
NOTA: poiché la funzione è dispari il grafico risulta simmetrico rispetto all’origine.
Per quanto riguarda lo studio di una funzione con asintoto obliquo è tutto. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂