Per introdurre la definizione di grado di un polinomio è fondamentale ricordare la definizione di grado di un monomio. Le definizioni di grado complessivo di un polinomio e grado rispetto ad una lettera di un polinomio sono infatti costruite a partire dalle analoghe definizioni relative ai monomi.
Ricordiamo, molto brevemente, che il grado complessivo di un monomio ci dice, in soldoni, il numero di fattori letterali che sono presenti nel monomio stesso. Così, è chiaro che il monomio \( 3x^2y^3 \) è di quinto grado poiché contiene cinque fattori letterali. Infatti, il monomio può essere riscritto come \( 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \), e come possiamo vedere chiaramente i fattori letterali sono esattamente \( 5 \). Con una semplice regola, il grado di un monomio si ottiene sommando tutti gli esponenti delle lettere del monomio. Ciò deriva, come sappiamo, dalle proprietà delle potenze.
Invece, il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente di quella lettera.
Entrambe le definizioni date valgono solo con l’ipotesi, ovviamente, che il monomio sia ridotto in forma normale. 😉
Vediamo ora come diventano queste definizioni nel caso dei polinomi.
Grado di un polinomio (grado complessivo)
Sia anzitutto assegnato un polinomio ridotto a forma normale, cioè somma algebrica di monomi tutti ridotti a forma normale e non simili.
Si dice grado di un polinomio (o grado complessivo del polinomio) il massimo tra i gradi dei monomi (termini) che lo compongono.
Così, per determinare il grado di un polinomio, dovremo semplicemente:
- determinare il grado di ciascun monomio presente nel polinomio;
- stabilire quale è fra questi il grado più grande: questo sarà il grado (complessivo) del polinomio.
Tutto qui. 🙂 Proviamo ora a determinare insieme il grado del seguente polinomio:
\[ x^2y^3+7xy^2+9xy+44 \]
Ragioniamo su ciascun monomio che lo compone:
- \( x^2y^3 \) è di quinto grado poiché la somma degli esponenti delle lettere del monomio è \( 2+3=5 \);
- \( 7xy^2 \) è di terzo grado in quanto la somma degli esponenti delle lettere del monomio è \( 1+2=3 \);
- \( 9xy \) è di secondo grado poiché la somma degli esponenti è \( 1+1=2 \). Più semplicemente, è di secondo grado poiché abbiamo due fattori letterali nel monomio;
- \( 44 \) è di grado zero poiché la parte letterale “non c’è” (o meglio, le lettere sono tutte elevate a zero, pertanto pari ad \( 1 \) e quindi non indicate).
Ora, tra tutti i gradi dei monomi il più alto è il quinto grado, pertanto il polinomio sarà di quinto grado (complessivo).
Grado di un polinomio rispetto ad una lettera
Assegnato ancora un polinomio ridotto a forma normale, si dice grado di un polinomio rispetto ad una lettera il più grande esponente con il quale figura la lettera stessa nel polinomio.
Così, riprendendo di nuovo il polinomio:
\[ x^2y^3+7xy^2+9xy+44 \]
diremo che questo è di secondo grado rispetto alla \( x \) e di terzo grado rispetto alla \( y \). Infatti, l’esponente più grande con il quale figura la lettera \( x \) è \( 2 \) e l’esponente più grande con il quale figura la lettera \( y \) è \( 3 \).
Polinomi omogenei
La definizione di grado di un monomio ci permette di individuare anche una particolare categoria di polinomi: i polinomi omogenei.
Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado (complessivo).
Così il polinomio:
\[ 2x^2+3xy+y^2 \]
è omogeneo poiché ciascun monomio che lo compone è di secondo grado (complessivo).
Per questa lezione direi che è tutto. Le definizioni introdotte possono apparire un po’ noiose, ma hanno almeno il vantaggio che con un po’ di pazienza si imparano agevolmente e sono una risorsa in più da far valere alle interrogazioni. 🙂
Inoltre, è importante per il prosieguo dei vostri studi scientifici avere ben presenti queste definizioni. In tal modo, potrete ad esempio capire al volo di che grado è un’equazione da risolvere, e potrete riconoscere con sicurezza ad esempio un’equazione omogenea. Conoscere le definizioni relative ai polinomi è dunque importante in moltissimi casi per sapere che tipo di problema abbiamo davanti a noi e come risolverlo.
Nella prossima lezione, introdurremo il concetto di polinomio completo. Ciao a tutti e buono studio! 🙂