La verifica di un limite infinito di una funzione per x che tende ad infinito si effettua in modo simile alle altre verifiche di limiti che abbiamo visto 🙂 Il concetto è sempre lo stesso: controllare i requisiti della definizione formale e fare dei calcoli per vedere quando tali requisiti sono soddisfatti.
Esempio 1
Verificare che:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2 =+\infty \]
Ricordate la definizione? Dire che esiste tale limite equivale a dire che:
\[ \forall \: M>0 \: \exists \: k_M > 0 \quad \text{t. c.} \quad \forall \: x \in D_f \:\: \text{t.c.} \: x> k_{M} \quad \text{si ha} \quad f(x)>M \]
La definizione richiede inoltre che la funzione sia definita in \( D_f \) illimitato superiormente. Nel nostro caso ci siamo, poiché \( f(x) = x^2 \) è definita in tutti i reali 😉 Quindi, detta in soldoni la funzione è definita per x grandi quanto vogliamo.
Ora, le condizioni appena espresse in linguaggio matematico cosa significano? Equivalgono semplicemente a richiedere che la disequazione \( f(x) > M \) abbia almeno una soluzione del tipo \( x>k_{M} \). Tale disequazione dovrà cioè essere soddisfatta per x maggiore di una certa quantità dipendente da M.
Ci chiediamo dunque quando:
\[ x^2>M \]
Non ci resta che risolvere rispetto ad x la disequazione (trattando la M come un numero) e vedere se fra le soluzioni c’è un intervallo del tipo \( ]k_M, \: +\infty[ \).
La precedente disequazione equivale a:
\[ x^2-M > 0 \]
L’equazione di secondo grado associata è:
\[ x^2-M = 0 \]
ed ammette le soluzioni:
\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{M} \]
La disequazione si può a questo punto risolvere col metodo della parabola 😉 La parabola corrispondente alla funzione \( y=x^2-M \) ha concavità verso l’alto (coefficiente della \( x^2 \) positivo) e la disequazione è dunque risolta per valori esterni agli zeri (le soluzioni dell’associata).
Quindi, l’insieme delle soluzioni della disequazione è:
\[ S = ]-\infty, \: -\sqrt{M}[ \quad \cup \quad ]\sqrt{M}, \: +\infty[ \]
E’ di nostro interesse il secondo intervallo dell’insieme delle soluzioni, cioè la soluzione:
\[ x>\sqrt{M} \]
A questo punto siamo arrivati, perché abbiamo trovato ciò che volevamo. Infatti, la condizione \( f(x)>M \) è rispettata per tutti gli \( x > \sqrt{M} \). Abbiamo dunque il nostro \( k_M \), che è proprio \( \sqrt{M} \) 🙂
Il limite è dunque verificato 😉
Esempio 2
Verificare:
\[ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^2-3}{x}=+\infty \]
Si tratta di verificare che la disequazione:
\[ \dfrac{x^2-3}{x}>M \qquad 1) \]
sia soddisfatta per:
\[ x>k_{M} \]
Analogamente a prima, vediamo se riusciamo a trovare il \( k_M \) che soddisfa la relazione appena scritta.
Sviluppiamo la disequazione 1:
\[ \dfrac{x^2-3}{x}>M \]
\[ \dfrac{x^2-3}{x}-M>0 \]
\[ \dfrac{x^2-3-Mx}{x}>0 \]
Siamo di fronte ad una disequazione fratta. Come nel primo esempio, dobbiamo risolvere in \( x \) trattando \( M \) come un numero. Studiamo il segno della frazione guardando quando numeratore e denominatore sono positivi o negativi.
Chiediamoci quando il numeratore è positivo, cioè quando:
\[ x^2-Mx-3 > 0 \quad \text{?} \]
Risolviamo la equazione associata:
\[ x^2-Mx-3=0 \]
Questa ha soluzioni:
\[ x_1 = \dfrac{1}{2}(M-\sqrt{M^2+12}), \qquad x_2 = \dfrac{1}{2}(M+\sqrt{M^2+12}) \]
Lo studio del segno del denominatore è banale. Infatti, sarà positivo semplicemente se \( x>0 \).
Ora, per disegnare il diagramma dello studio dei segni, dobbiamo sapere se \( x_1 \) e \( x_2 \) sono positivi o negativi. Siccome questi dipendono da \( M \) non possiamo dirlo senza un ragionamento 😉
Sappiamo dalla definizione di limite del caso in esame che \( M>0 \). Dunque, \( x_2 \) è sempre positivo.
Ci rimane da studiare il segno di \( x_1 \). Qui è meno ovvio, perché anche l’informazione \( M>0 \) non ci dice nulla di certo sul segno di \( x_1 \), data la presenza di un segno meno prima della radice.
Vediamo che \( x_1 \) è il prodotto di due fattori. Il fattore \( \dfrac{1}{2} \) è ovviamente sempre positivo. Dobbiamo vedere come si comporta l’altro fattore, e cioè \( M-\sqrt{M^2+12} \).
Proviamo a vedere quando è positivo:
\[ M-\sqrt{M^2+12}>0 \]
\[ -\sqrt{M^2+12}>-M \]
\[ \sqrt{M^2+12} \: < M \: \]
\[ M^2+12 < M^2 \qquad \text{(ricordiamo che M > 0)} \]
Questo non si verifica evidentemente mai, per cui sicuramente il termine \( M-\sqrt{M^2+12} \) è sempre negativo. Di conseguenza, \( x_1 \) è sempre negativo.
Possiamo ora disegnare il diagramma dello studio dei segni della frazione, certi di posizionare correttamente i termini \( x_1 \) e \( x_2 \) rispetto allo zero.
Le soluzioni della disequazione fratta sono dunque:
\[ S = ]x_1, 0[ \quad \cup \quad ]x_2, \: +\infty[ \]
La soluzione che ci interessa è il secondo intervallo. Possiamo esprimere questo insieme come:
\[ x > x_2 \]
Possiamo dunque affermare che la relazione:
\[ f(x) > M \]
è soddisfatta per ogni \( x > k_\epsilon \), prendendo \( k_\epsilon = x_2 \).
Il limite è dunque verificato. 🙂
Lavoriamo ora sempre con questa funzione e come ulteriore esercizio dimostriamo che:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2-3}{x}=-\infty \]
Prendiamo come al solito un arbitrario \( M > 0 \). Dimostrare l’esistenza del limite equivale a dimostrare che la relazione \( \dfrac{x^2-3}{x}< \: M \: \) sia verificata per tutti i valori della \( x \) minori di un certo \( k_M>0 \) dipendente da \( M \).
Dando un’occhiata allo studio dei segni fatto in precedenza, vediamo subito che la funzione è negativa per:
\[ x < \dfrac{1}{2}(M-\sqrt{M^2+12} ) \]
e per:
\[ 0<x<\dfrac{1}{2}(M+\sqrt{M^2+12}) \]
Il secondo intervallo di soluzioni non ci dice niente per la verifica del limite. E’ invece il primo intervallo ciò che ci interessa per poter verificare il limite 🙂 Esso infatti ci permette di dire che abbiamo trovato il \( k_\epsilon \) cercato. Infatti, possiamo dire che la condizione di limite è rispettata per ogni \( x \) minore di \( k_\epsilon = \dfrac{1}{2}(M-\sqrt{M^2+12}) \).
A questo punto c’è una bella notizia: abbiamo completato tutti i tipi di verifiche dei limiti, per cui d’ora in poi potrete verificare tutti i limiti che volete 🙂
Non perdetevi la prossima lezione, nella quale introdurremo il concetto di limite destro e sinistro 🙂
Buono studio con Altramatica, a presto!