\[ a \cos x + b \sin x = c, \quad \text{con } a,b,c \in \mathbb{R}, \quad a, b \neq 0 \]
Il termine \( c \) può anche essere nullo, per cui il metodo risolutivo proposto non è legato strettamente alle equazioni goniometriche lineari ma riguarda anche le equazioni goniometriche omogenee di primo grado, ovvero le equazioni goniometriche nella forma:
\[ a \cos x + b \sin x = 0 \]
Il metodo non è applicabile invece per equazioni goniometriche omogenee di grado superiore al primo.
Vediamo allora questo metodo alternativo per risolvere le equazioni goniometriche lineari senza utilizzare le formule parametriche razionali. 🙂
Procedimento alternativo per risolvere le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno
Data un’equazione goniometrica nella forma:
\[ a \cos x + b \sin x = c \]
con \( a,b,c \) reali e \( a,b \) non nulli, questa può essere risolta dividendo entrambi i membri per il termine \( \sqrt{a^2+b^2} \). In tal modo, grazie alle formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, è possibile trasformare il primo membro dell’equazione data in un termine del tipo \( \cos(x +\alpha) \) oppure \( \sin (x + \alpha) \). Si ottiene così un‘equazione goniometrica riconducibile ad elementare per sostituzione dell’argomento.
Vediamo subito un esempio. 🙂
Esempio 1
Risolvere l’equazione:
\[ \sin x + \cos x = 1 \]
Abbiamo \( a=1 \) e \( b = 1 \). Di conseguenza \( \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2} \). Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per la quantità ottenuta:
\[ \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}+\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Poiché \( \sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) e pure \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) possiamo riscrivere l’equazione come:
\[ \sin x \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right)+ \cos x \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Il primo membro ha la stessa struttura del risultato della formula di sottrazione del coseno. In particolare si ha \( \sin x \cdot \sin \dfrac{\pi}{4}+\cos x \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right) \). Di conseguenza, possiamo sostituire il primo membro dell’equazione con il termine \( \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right) \). Scriviamo quindi:
\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
NOTA: in base alla formula di sottrazione del coseno avremmo potuto sostituire il primo membro dell’equazione anche con il termine \( \cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \). Osserviamo che ciò sarebbe stato del tutto equivalente, poiché per gli archi associati abbiamo in generale \( \cos(x) = \cos(-x) \), e quindi nel nostro caso \( \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)= \cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \). 😉
A questo punto ci siamo ricondotti ad una equazione goniometrica quasi elementare, riconducibile ad una elementare sostituendo l’argomento. Poniamo:
\[ t = \dfrac{\pi}{4}-x \]
Si tratta ora di risolvere la seguente equazione elementare nella variabile \( t \):
\[ \cos t = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Risolviamola graficamente sulla circonferenza goniometrica:
L’equazione ha soluzioni:
\[ t_1 = \dfrac{\pi}{4}+2k\pi, \quad t_2 = \dfrac{7}{4}\pi + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ora non ci resta che esplicitare le soluzioni rispetto ad \( x \). Abbiamo:
\[ t_1 = \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\pi}{4}-x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \]
E quindi:
\[ x_1 = 2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Abbiamo inoltre:
\[ t_2 = \dfrac{7}{4}\pi + 2k \pi \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\pi}{4}-x=\dfrac{7}{4}\pi+2k \pi \]
Da cui:
\[ x_2 = -\dfrac{3}{2}\pi + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
o equivalentemente:
\[ x_2 = \dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Le soluzioni trovate sono proprio le soluzioni dell’equazione goniometrica lineare assegnata. 🙂
Esempio 2
Risolvere:
\[ \sqrt{3}\sin x + \cos x = 2 \]
Abbiamo \( a=\sqrt{2} \) e \( b=1 \). Così \( \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+1}=2 \). Dobbiamo quindi dividere entrambi i membri dell’equazione data per \( 2 \):
\[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+ \dfrac{1}{2}\cos x =\dfrac{2}{2} \]
Osservando che \( \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) e che \( \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2} \) possiamo riscrivere l’equazione come:
\[ \sin \left(\dfrac{\pi}{3} \right)\sin x + \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \right)\cos x= 1 \]
Ancora, per la formula di sottrazione del coseno, l’equazione diventa:
\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{3}-x \right)=1 \]
Poniamo
\[ t=\dfrac{\pi}{3}-x \]
Si tratta così di risolvere la disequazione goniometrica elementare:
\[ \cos t = 1 \]
Avente le soluzioni:
\[ t= 2 k \pi \]
Esplicitando le soluzioni in \( x \), otteniamo le soluzioni per l’equazione goniometrica assegnata:
\[ x=\dfrac{\pi}{3}+2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Esempio 3
Il metodo mostrato funziona benissimo anche per le equazioni goniometriche omogenee di primo grado. Proviamo a risolverne una. 😉
\[ \sin x + \cos x = 0 \]
Abbiamo \( a=1 \) e \( b=1 \). Di conseguenza \( \:\sqrt{a^2+b^2}=2 \). Dividiamo ciascun membro dell’equazione per \( 2 \) (al secondo membro avremo ovviamente \( 0:2=0 \)):
\[ \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}+\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}=0 \]
Poiché \( \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right) \) e inoltre poiché \( \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right) \) l’equazione diventa:
\[ \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin x + \cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right) \cos x = 0 \]
Applicando la formula di sottrazione del coseno:
\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)=0 \]
Risolvendo tale equazione goniometrica mediante sostituzione dell’argomento otteniamo dopo passaggi del tutto simili a quelli svolti nei precedenti esempi:
\[ x = -\dfrac{\pi}{4}+k \pi \]
Queste sono le soluzioni dell’equazione goniometrica assegnata.
Osserviamo che risolvendo l’equazione data con la usuale regola per le equazioni omogenee otteniamo ovviamente le stesse soluzioni. Infatti:
\[ \begin{align} &\sin x + \cos x = 0 \\ \\ &\dfrac{\sin x}{\sin x}+ \dfrac{\cos x }{\sin x } = 0 \\ \\ & 1 + \cot x = 0 \\ \\ &\cot x = -1 \end{align} \]
Dobbiamo così risolvere l’equazione goniometrica elementare:
\[ \cot x = – 1 \]
Risolvendo l’equazione elementare con la circonferenza goniometrica otteniamo:
\[ x = \dfrac{3 \pi}{4} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ovvero:
\[ x = -\dfrac{\pi}{4}+k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ritroviamo così il precedente risultato. 🙂
Per concludere: quale metodo scegliere per svolgere gli esercizi sulle equazioni goniometriche lineari in seno e coseno? Diciamo che l’uso delle formule parametriche razionali è sicuramente il metodo risolutivo più classico, anche se algebricamente un po’ scomodo. Il metodo presentato in questa lezione è forse più comodo dal punto di vista algebrico ma richiede una certa dimestichezza con le formule di addizione e sottrazione. Per cui, non lascio che a voi (e al vostro insegnante) la scelta del metodo migliore.
Qui termina questa lezione su come risolvere le equazioni goniometriche lineari senza le formule parametriche. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂