Le equazioni goniometriche riconducibili ad elementari per sostituzione o per confronto vengono risolte effettuando un cambio di variabile nell’argomento della funzione trigonometrica presente, oppure eguagliando tra loro gli argomenti delle funzioni trigonometriche (nel caso in cui compaia nell’equazione, per non più di due volte, la stessa funzione trigonometrica con argomenti diversi). Con questi metodi, le equazioni assegnate risultano immediatamente riconducibili ad equazioni goniometriche elementari o ad equazioni algebriche e possono essere risolte con metodi a noi già noti.
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari per sostituzione dell’argomento
Sono equazioni del tipo:
\[ \begin{align} & sen (hx) = m \\ \\ & cos (hx) = m \\ \\ & tg (hx) = m \\ \\ & ctg (hx) = m \end{align} \]
In tutti i casi indicati, \( h \in \mathbb{R} \).
Supponiamo ad esempio di avere l’equazione:
\[ sen3x = \frac{1}{2} \]
Se poniamo:
\[ z = 3x \]
possiamo ricondurre l’equazione assegnata all’equazione:
\[ sen z = \frac{1}{2} \]
Ci ritroviamo quindi con un’equazione goniometrica elementare nella variabile \( z \) che sappiamo risolvere 😉
Risolviamo rapidamente l’equazione. Questa equazione elementare in \( z \) ci chiede di determinare gli angoli corrispondenti ai punti sulla circonferenza goniometrica aventi ordinata \( \dfrac{1}{2} \) (questo, per la definizione di seno di un angolo). Sappiamo che \( \dfrac{1}{2} \) è il valore del seno dell’angolo \( \dfrac{\pi}{6} \). Dagli archi associati, angoli supplementari, sappiamo che \( sen \left(\pi – \dfrac{\pi}{6} \right ) = sen \left( \dfrac{\pi}{6} \right ) \). Per cui, anche l’angolo \( \dfrac{5}{6}\pi \) è soluzione dell’equazione assegnata.
Le soluzioni dell’equazione elementare, che in alternativa avremmo potuto determinare con dei metodi grafici, sono dunque:
\[ z = \dfrac{\pi}{6} + 2 k \pi, \qquad z = \dfrac{5}{6}\pi + 2 k \pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Ora, ricordiamoci che \( z = 3x \), per cui le soluzioni espresse in \( x \) sono:
\[ 3x = \dfrac{\pi}{6} + 2 k \pi, \qquad 3x = \dfrac{5}{6}\pi + 2 k \pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
e quindi, risolvendo rispettivamente le equazioni:
\[ 3x = \dfrac{\pi}{6} + 2 k \pi \]
e:
\[ 3x = \dfrac{5}{6}\pi + 2 k \pi \]
otteniamo le soluzioni dell’equazione assegnata:
\[ x = \dfrac{\pi}{18} + \dfrac{2}{3} k \pi, \qquad x = \dfrac{5}{18}\pi + \dfrac{2}{3} k \pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Nota: detto \( \overline{\alpha} \) un angolo il cui valore è noto, equazioni del tipo:
\[ sen(hx+\overline{\alpha}) =m \]
cioè simili alle precedenti ma con argomento \( hx+\overline{\alpha} \) si risolvono con lo stesso procedimento che abbiamo appena visto. Si dovrà quindi porre \( z = hx+\overline{\alpha} \) e risolvere l’equazione elementare \( sen(z)=m \), ricavando poi le soluzioni in funzione di \( x \). Niente di nuovo 😉
Esempio.
Determinare le soluzioni dell’equazione:
\[ cos \left( \dfrac{\pi}{12}-x \right)= 1 \]
Poniamo
\[ z = \dfrac{\pi}{12}-x \]
Dobbiamo dunque risolvere l’equazione elementare:
\[ cos(z)=1 \]
la quale ha come soluzioni:
\[ z = 2k\pi \]
Ricordandoci che avevamo posto \( z = \dfrac{\pi}{12}-x \), la precedente sarà uguale a:
\[ \dfrac{\pi}{12}-x = 2 k \pi \]
Risolvendo in \( x \) otteniamo:
\[ x = \dfrac{\pi}{12} + 2 k \pi , \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Equazioni goniometriche risolvibili per confronto tra gli argomenti
Sono equazioni del tipo:
\[ \begin{align} & sen (hx) = sen(qx) \\ \\ & cos (hx) = cos(qx) \\ \\ & tg (hx) = tg(qx) \\ \\ & ctg (hx) = ctg(qx)\end{align} \]
nelle quali \( h, \: q \in \mathbb{R} \).
Nota: anche in questo caso, gli argomenti potranno anche essere della forma \( hx + \overline{\alpha} \) oppure \( qx + \overline{\alpha} \), il metodo risolutivo non cambia 😉
Come vedremo fra un attimo, queste equazioni si risolvono confrontando tra loro gli argomenti che compaiono in esse e risolvendo rispetto ad \( x \) le equazioni algebriche ottenute.
Vediamo i vari casi.
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari risolvibili per confronto dell’argomento contenenti le funzioni seno
Considerata l’equazione:
\[ senhx = sen qx \]
risolverla significa determinare per quali valori di \( x \in \mathbb{R} \) l’uguaglianza è verificata. Per trovare le soluzioni in tutto \( \mathbb{R} \) dobbiamo tenere conto della periodicità della funzione seno e delle uguaglianze che derivano dagli archi associati.
Dunque, affinché sia verificata l’equazione assegnata dovrà essere:
\[ sen(hx) = sen(qx+2k\pi) \]
E poiché per gli archi associati, angoli supplementari, \( sen(qx)=sen(\pi-qx) \)dovrà anche essere:
\[ sen(hx)=sen[(\pi-qx)+2k\pi] \]
Poiché in entrambe le equazioni compare in ciascun membro la sola funzione seno, ciascuna equazione sarà verificata solo se gli argomenti delle funzioni a primo e secondo membro sono tra loro uguali. Per cui dovrà essere:
\[ hx = qx + 2k\pi \]
e:
\[ hx = \pi-qx + 2 k \pi \]
Le soluzioni dell’equazione assegnata sono quindi:
\[ hx=qx+2k\pi \: \vee \: hx = \pi – qx + 2 k \pi , \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Tali soluzioni andranno esplicitate in \( x \).
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari risolvibili per confronto dell’argomento (funzione coseno)
Consideriamo ora un’equazione del tipo:
\[ cos(hx) = cos(qx) \]
Tenendo conto della periodicità della funzione coseno e del fatto che \( cos(qx)=cos(-qx) \) (archi associati, angoli opposti), dovremo avere che:
\[ cos(hx) = cos(qx+2k\pi) \]
e che:
\[ cos(hx)=cos(-qx + 2k \pi) \]
Confrontando ancora gli argomenti delle equazioni avremo, rispettivamente:
\[ hx = qx + 2k \pi \: \vee \: hx = -qx + 2 k \pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari per confronto dell’argomento (con funzioni tangente e cotangente)
Per le equazioni di questo tipo contenenti la tangente e la cotangente il discorso è più semplice. Infatti, l’equazione:
\[ tg(hx)=tg(qx) \]
avrà soluzioni in \( \mathbb{R} \) che si ottengono risolvendo la sola equazione:
\[ tg(hx)=tg(qx+ k\pi) \]
La quale confrontando gli argomenti ci porterà a scrivere che:
\[ hx = qx + k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Soluzione che andrà poi esplicitata in \( x \).
Infine per l’equazione:
\[ ctg(hx)=ctg(qx) \]
il metodo risolutivo è del tutto analogo a quello della tangente.
Per le funzioni tangente e cotangente abbiamo anche il problema dello studio del campo di esistenza. In particolare, per la funzione tangente dovremo avere che l’argomento sia diverso da \( \dfrac{\pi}{2}+k \pi \), mentre per la cotangente l’argomento dovrà essere diverso da \( k \pi \). Quindi, dovremo verificare che le soluzioni ottenute nel caso delle equazioni contenenti la tangente e la cotangente rispettino queste condizioni.
Esempio 1
Risolvere l’equazione:
\[ ctg \left (4x + \dfrac{\pi}{5} \right)=ctg \left (3x -\dfrac{\pi}{6} \right) \]
L’equazione si risolve uguagliando gli argomenti e tenendo conto del periodo della funzione cotangente. Quindi:
\[ 4x+\dfrac{\pi}{5} = 3x – \dfrac{\pi}{6}+k\pi \]
Risolvendo la precedente in \( x \) otteniamo le soluzioni dell’equazione assegnata:
\[ 4x-3x = -\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{\pi}{6}+k \pi \]
\[ x = \left( -\dfrac{1}{5} – \dfrac{1}{6} \right) \pi +k\pi = -\dfrac{11}{30}\pi + k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Per verificare le soluzioni ottenute basta sostituire il valore \( -\dfrac{11}{30}\pi \) in uno dei due argomenti e verificare che il valore ottenuto sia diverso da \( \pi \). Abbiamo ad esempio:
\[ 3x-\dfrac{\pi}{6}=3 \cdot \left(-\dfrac{11}{30} \pi \right) – \dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{11}{10}\pi-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{19}{15}\pi \neq \pi \]
In conclusione le soluzioni ottenute sono accettabili.
Esempio 2
Risolvere l’equazione:
\[ cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)=cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) \]
Ricordiamoci che il periodo della funzione coseno è \( 2\pi \). Utilizzando la formula degli archi associati (angoli opposti) e lavorando sul secondo membro, possiamo scrivere le equazioni:
\[ cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)=cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right) \]
\[ cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)=cos\left(-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right) \]
Ora, uguagliamo gli argomenti delle funzioni coseno di ciascuna equazione:
\[ 2x-\dfrac{\pi}{12}= x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \]
\[ 2x-\dfrac{\pi}{12}=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \]
Esprimiamo ora le soluzioni in funzione di \( x \) ricavando la \( x \) stessa da ciascuna equazione. Cominciamo dalla prima:
\[ \begin{align} & 2x-\dfrac{\pi}{12}= x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \\ \\ & x = \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}+2k\pi \\ \\ & x = \dfrac{5}{12}+2k\pi\end{align} \]
Veniamo ora alla seconda:
\[ \begin{align} & 2x-\dfrac{\pi}{12}=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \\ \\ & 3x = \dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \\ & x = -\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2}{3}k\pi\end{align} \]
Le soluzioni dell’equazione assegnata sono dunque:
\[ x = \dfrac{5}{12}\pi +2k\pi \: \vee \: x = – \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2}{3}k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari per confronto ed archi associati
Talvolta, non è possibile risolvere direttamente un’equazione goniometrica per confronto tra gli argomenti. Ad esempio, non possiamo subito confrontare gli argomenti della seguente disequazione poiché il primo e il secondo membro sono discordi (hanno cioè segno opposto):
\[ sen(4x)=-senx \]
Possiamo però ricordarci dalle formule degli archi associati che \( -senx=sen(-x) \), quindi possiamo riscrivere la precedente equazione come:
\[ sen(4x)=sen(-x) \]
A questo punto le funzioni hanno segno tra loro concorde e possiamo risolvere l’equazione per confronto. ; )
E’ bene tenere presente questo esempio. Nell’applicare il metodo risolutivo del confronto tra gli argomenti delle due funzioni, queste non devono soltanto essere le stesse funzioni, ma devono anche avere lo stesso segno.
Precisato questo, non è detto però che se le due funzioni siano diverse non si riesca in qualche modo a renderle uguali, almeno in certi casi. Consideriamo ad esempio la seguente equazione:
\[ sen(2x)=cos(6x) \]
Così come è formulata non permette di confrontare gli argomenti. Ma, sempre dagli archi associati (angoli complementari) abbiamo che \( cos(6x)=sen\left(\dfrac{\pi}{2}-6x\right) \). Di conseguenza, possiamo riscrivere l’equazione data come:
\[ sen2x=sen\left(\dfrac{\pi}{2}-6x\right) \]
Ora è possibile risolvere l’equazione confrontando gli argomenti, poiché abbiamo le stesse funzioni con lo stesso segno 😉
Per quanto riguarda le equazioni goniometriche riconducibili ad elementari è tutto. Nella prossima lezione vedremo le equazioni goniometriche risolvibili per cambio di variabile. Un saluto a tutti e buono studio! 🙂