Presentiamo in questa lezione degli esercizi sulle frazioni equivalenti. Avremo così occasione di vedere sul lato pratico i concetti presentati nella lezione teorica. Ricordiamo brevemente che due o più frazioni si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso rapporto. Questa è la definizione a mio avviso più adatta sul piano pratico.
Cominciamo subito questi esercizi sulle frazioni equivalenti. Via! 🙂
Esercizio 1
Considerate le seguenti frazioni equivalenti, scritte secondo una certa regola a partire dalla frazione \( \dfrac{1}{6} \):
\[ \dfrac{1}{6},\quad \dfrac{2}{12},\quad \dfrac{3}{18},\quad \dfrac{4}{24}, \quad \dfrac{5}{30},\quad \dfrac{6}{36} \]
scrivere allo stesso modo un gruppo di frazioni equivalenti per ciascuna delle seguenti frazioni:
\[ \dfrac{1}{5}, \quad \dfrac{3}{8},\quad \dfrac{4}{5}, \quad \dfrac{19}{20}, \quad \dfrac{3}{13} \]
Cominciamo. 🙂
Osserviamo anzitutto l’esempio dato. Con un po’ di attenzione ci accorgiamo che ciascuna frazione viene scritta rispettivamente moltiplicando per due, per tre, per quattro, per cinque e per sei il numeratore e il denominatore della frazione di partenza. Così per la prima frazione assegnata scriveremo il gruppo di frazioni:
\[ \dfrac{1}{5}, \quad \dfrac{2}{10}, \quad \dfrac{3}{15}, \quad \dfrac{4}{20}, \quad \dfrac{5}{25}, \quad \dfrac{6}{30} \]
Per meglio capire come abbiamo costruito queste frazioni, osserviamo ad esempio che
\[ \dfrac{2}{10}= \dfrac{1 \times 2}{5 \times 2}, \quad \dfrac{3}{15}=\dfrac{1\times3}{5\times3}, \quad \dots \]
Scriviamo i rimanenti gruppi di frazioni equivalenti:
\[ \dfrac{3}{8}, \quad \dfrac{6}{16}, \quad \dfrac{9}{24}, \quad \dfrac{12}{32}, \quad \dfrac{15}{40}, \quad \dfrac{18}{48} \]
\[ \dfrac{4}{5} \quad \dfrac{8}{10}, \quad \dfrac{12}{15}, \quad \dfrac{16}{20}, \quad \dfrac{20}{25}, \quad \dfrac{24}{30} \]
\[ \dfrac{19}{20},\quad \dfrac{38}{40}, \quad \dfrac{57}{60}, \quad \dfrac{76}{80}, \quad \dfrac{95}{100}, \quad \dfrac{114}{120} \]
\[ \dfrac{3}{13}, \quad \dfrac{6}{26}, \quad \dfrac{9}{39}, \quad \dfrac{12}{52}, \quad \dfrac{15}{65}, \quad \dfrac{18}{78} \]
Esercizio 2
Inserire al posto della \( x \) il numeratore o il denominatore tale per cui le frazioni di ciascuna uguaglianza siano tra loro equivalenti.
\[ \dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{28}; \quad \dfrac{3}{13}=\dfrac{12}{x}; \quad \dfrac{3}{x}=\dfrac{21}{70} \]
Il trucco sta nel capire in che rapporto stanno tra loro i numeratori o i denominatori noti delle frazioni.
Ad esempio, nell’uguaglianza:
\[ \dfrac{2}{7}= \dfrac{x}{28} \]
Osserviamo che il rapporto del denominatore della seconda con il numeratore della prima è pari a \( 28:7=4 \). Di conseguenza, il numeratore \( x \) sarà pari al prodotto del numeratore noto (\( 2 \)) per il quoziente appena trovato (\( 4 \)). Così avremo \( x=2 \times4 = 8 \) e scriveremo:
\[ \dfrac{2}{7}= \dfrac{8}{28} \]
Procediamo allo stesso modo per le altre uguaglianze.
\[ \dfrac{3}{13}=\dfrac{12}{x} \]
Si ha che \( 12:3 = 4 \). Si ha così \( x=13 \times 4 \) e quindi:
\[ \dfrac{3}{13}=\dfrac{12}{ 52} \]
Consideriamo l’ultima uguaglianza.
\[ \dfrac{3}{x}=\dfrac{21}{70} \]
Si ha \( 21:3=7 \) e quindi \( x=70:7=10 \). Così:
\[ \dfrac{3}{10}=\dfrac{21}{70} \]
Esercizio 3
Scrivere le prime cinque frazioni della classe di equivalenza \( \dfrac{2}{3} \).
Ricordiamo che la classe di equivalenza di una frazione si ottiene scrivendo frazioni aventi ciascuna numeratore e denominatore ottenibili moltiplicando per uno stesso numero intero il numeratore e il denominatore della frazione data. Per convenzione si scrive ciascuna classe di equivalenza a partire da una frazione ad essa appartenente ridotta ai minimi termini.
Osserviamo intanto che la frazione data, cioè \( \dfrac{2}{3} \), individua secondo la convenzione stabilita una classe di equivalenza poiché sia il numeratore, sia il denominatore sono numeri primi. La frazione è dunque per certo ridotta ai minimi termini. Essa costituisce la prima frazione del gruppo di cinque frazioni che stiamo cercando.
Così, moltiplicando numeratore e denominatore della frazione \( \dfrac{2}{3} \) prima per due, poi per tre, poi per quattro e infine per cinque otterremo le rimanenti frazioni cercate.
Abbiamo quindi:
\[ \dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{4}{6}, \quad \dfrac{6}{9}, \quad \dfrac{8}{12}, \quad \dfrac{10}{15} \]
Per questi esercizi sulle frazioni equivalenti direi che è tutto. Un caro saluto e buono studio a tutti con Altramatica. Ciao! 🙂