Il concetto di relazione binaria è importante poiché costituisce la premessa per poter poi affrontare lo studio delle funzioni. Per ben comprendere il concetto di relazione è importante conoscere almeno le definizioni più essenziali relative alla teoria degli insiemi e alla logica. In particolare, è necessario aver presenti le nozioni di prodotto cartesiano e di proposizione aperta.
Definizione di relazione binaria
Consideriamo una proposizione aperta in due variabili, cioè una proposizione del tipo \( p(x,y) \). Il suo valore di verità potrà essere determinato soltanto una volta assegnate entrambe le variabili \( x \) e \( y \). Le variabili \( x \) e \( y \) possono essere elementi di uno stesso insieme oppure appartenere ad insiemi differenti. Considereremo per ora il caso che \( x \in A \), \( y \in B \).
Definiamo la proposizione \( p(x,y) \) ad esempio come:
\[ p(x,y):”x\text{ e’ maggiore di }y” \quad \text{con} \: x \in A, \quad y \in B \]
ovvero, in termini simbolici:
\[ p(x,y):”x > y” \qquad \text{con} \: x \in A, \quad y \in B \]
In questo caso diciamo che gli insiemi \( A \) e \( B \) sono in relazione tra loro, cioè esiste una relazione binaria che associa a certi elementi dell’insieme \( A \) certi elementi dell’insieme \( B \). La relazione è detta binaria poiché associa di volta in volta tra loro due elementi degli insiemi. Ciò corrisponde ovviamente al fatto che la proposizione \( P(x,y) \) ha proprio due variabili 😉
Costruendo una tale relazione binaria, otteniamo come risultato un insieme di coppie ordinate \( (a,b) \) che rendono vera la proposizione aperta \( P(x,y) \). Il risultato dell’operazione è un insieme \( R \) costituito da tali coppie ordinate. Talvolta, l’insieme \( R \) viene anch’esso definito come relazione, poiché risultato della relazione stabilita fra gli insiemi \( A \) e \( B \). Per evitare ambiguità, qui in Altramatica indicheremo l’insieme che si ottiene mediante la relazione con il termine di “insieme relazione”.
Ora, l’insieme relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( A \times B \). Infatti, l’operazione di prodotto cartesiano ha come risultato un insieme che contiene tutte le coppie ordinate \( (a,b) \). Invece, l’insieme \( R \) sarà costituito soltanto dalle coppie \( (a,b) \) che soddisfano la proposizione \( p(x,y) \) che costituisce la particolare relazione definita.
Brevemente, diremo che due elementi \( x \) e \( y \) sono in relazione tra loro se soddisfano la relazione \( \mathcal{R} \), cioè se verificano la proposizione \( p(x,y) \) associata alla relazione. In simboli:
\[ x \: \mathcal{R} \: y \]
L’insieme relazione \( R \) sarà dato da:
\[ R=\{(x,y) \in A \times B \quad \text{t. c.} \quad x > y\} \subseteq A \times B \]
Se due elementi \( x, y \) non sono in relazione fra loro scriveremo invece:
(cioè useremo una erre sbarrata).
Possiamo indicare in generale una relazione tra insiemi con:
\[ x \: \mathcal{R}\: y \iff P(x,y) \qquad x \in A, y \in B \]
intendendo che si ha una relazione tra i due elementi solo se questi rendono vera la proposizione \( P(x,y) \). Per l’esempio fatto all’inizio così scriveremo:
\[ x \: \mathcal{R}\: y \iff “x > y” \qquad x \in A, y \in B \]
e in tal caso l’insieme \( \mathcal{R} \) sarà costituito dalle coppie \( (x,y) \) per le quali si verifica che \( x > y \).
Rappresentazione grafica di una relazione
Come sappiamo il prodotto cartesiano può essere rappresentato nel diagramma cartesiano. Poiché l’insieme \( R \) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano, una relazione può essere rappresentata graficamente evidenziando le coppie del prodotto cartesiano che soddisfano la relazione.
Poiché una tale rappresentazione sia possibile, gli insiemi \( A \) e \( B \) tra i quali è definita la relazione devono essere insiemi finiti. Consideriamo ad esempio gli insiemi:
\[ A = \{1,2,3,4,5\}; \qquad B =\{10,20,70,40,55\} \]
Sia data la relazione:
\[ a \: \mathcal{R} \:b: “a = \dfrac{b}{10}” \qquad a \in A, b \in B \]
che associa ad ogni elemento di \( A \) un elemento di \( B \) dieci volte più grande.
Tale relazione si può rappresentare graficamente come segue:
Come possiamo vedere, sono evidenziate (in blu) solo le coppie di elementi \( (a \in A, b \in B) \) nelle quali l’elemento di \( a \) è \( 1/10 \) dell’elemento \( b \).
NOTA: a rigore non ha nessuna importanza l’ordine nel quale vengono elencati gli elementi in ciascun insieme \( A \) e \( B \). Infatti, a prescindere dall’ordine di elencazione comunque le coppie ordinate che formeranno l’insieme \( R \) saranno sempre le stesse. Tuttavia, la rappresentazione grafica cambia. La convenzione che si segue solitamente è quella di ordinare gli elementi degli insiemi dal più piccolo al più grande prima di rappresentare graficamente la relazione. Ciò è stato fatto come avrete notato per l’insieme \( B \). Con questa convenzione, le coppie dell’insieme \( R \) costituiscono il grafico della relazione.
Vediamo ora la relazione:
\[ a \: \mathcal{R} \:b: “a > b” \qquad a \in A, b \in B \]
con gli insiemi \( A=\{1,2,7,10\} \) e \( B=\{1,3,7,30\} \)
L’insieme \( R \) è dato da tutte le coppie ordinate \( (a,b) \) per le quali si ha che \( a > b \). Graficamente abbiamo:
Per questa lezione introduttiva sulle relazioni binarie è tutto. Nella prossima lezione vedremo i concetti di dominio e insieme delle immagini di una relazione. Impareremo anche cos’è una relazione inversa. Buono studio a tutti con Altramatica! 🙂