Per chi già ha una buona conoscenza del minimo comune multiplo tra numeri, questa lezione sul mcm tra polinomi non introdurrà gran che di nuovo. Diversamente, sarà sicuramente consigliabile un piccolo ripasso.. che comunque faremo in questo lezione. 😉
Vediamo allora cosa si intende per minimo comune multiplo tra polinomi e, non meno importante, come si calcola.
Dal mcm tra numeri al minimo comune multiplo tra polinomi
Assegnati due o più numeri, il primo passo per determinare il loro minimo comune multiplo è scomporre i numeri dati in fattori primi.
Fatto questo, si tratterà di prendere i fattori comuni e non comuni dei numeri di partenza, presi con il loro massimo esponente. Tali fattori, moltiplicati tra loro, forniscono il minimo comune multiplo cercato. Questo rappresenta il più piccolo numero che può essere diviso per ciascuno dei numeri di partenza, ottenendo sempre resto zero.
Vediamo un rapido esempio. Troviamo il minimo comune multiplo tra i numeri \( 12, 6 \) e \( 32 \).
Scomponiamo prima di tutto ciascun numero in fattori primi:
\[ 12 = 2^2 \cdot 3 \]
\[ 6 = 3 \cdot 2 \]
\[ 32 = 2^5 \]
I fattori comuni e non comuni presi con il massimo esponente sono \( 2^5 \) e \( 3 \). Così avremo in conclusione:
\[ \text{mcm}(12,6,32)= 2^5 \cdot 3 = 32\cdot 3 = 96 \]
Osserviamo che è possibile dividere \( 96 \) per ciascun numero di partenza, ottenendo sempre resto zero. Il risultato trovato è il più piccolo numero ad avere questa proprietà per i numeri dati.
Ora, la definizione di minimo comune multiplo tra polinomi è del tutto simile. Assegnati dei polinomi, il loro minimo comune multiplo sarà il polinomio di grado più piccolo possibile tale da essere multiplo di tutti i polinomi di partenza.
Con il termine “di più piccolo grado possibile” esprimiamo, in linguaggio rigoroso, il concetto intuitivo ma non del tutto esatto di “polinomio più piccolo possibile”.
Al pari del caso numerico, sarà possibile dividere il polinomio ottenuto per ciascuno dei polinomi di partenza ottenendo sempre resto zero. Tuttavia, quello che si troverà non sarà l’unico polinomio ad avere questa proprietà.
Un primo esempio
Consideriamo ad esempio i seguenti polinomi, per comodità già scomposti in fattori:
\[ x+1; \qquad (x+1)^2; \qquad (x+1)\cdot(x+7) \]
Il loro minimo comune multiplo sarà un polinomio dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni presi dai polinomi di partenza con il massimo esponente col quale compaiono.
Così avremo nel nostro caso come minimo comune multiplo \( (x+1)^2 \cdot (x+7) \). Infatti, abbiamo preso il fattore comune \( x+1 \) con il massimo esponente \( 2 \), e abbiamo anche preso il fattore non comune \( x+7 \), sempre con il massimo esponente (in questo caso, \( 1 \)).
Osserviamo che è possibile dividere il minimo comune multiplo trovato per ciascun polinomio di partenza, ottenendo sempre resto zero.
Tuttavia, esso non è l’unico polinomio di grado più piccolo possibile a presentare questa proprietà. Infatti, anche il polinomio \( 2 \cdot(x+1)^2 \cdot (x+7) \) può essere diviso per ciascun polinomio di partenza, fornendo resto zero. E come è immediato osservare, questo polinomio ha lo stesso grado del minimo comune multiplo trovato inizialmente.
Sono pertanto valide le stesse considerazioni fatte sulla divisibilità tra polinomi nel caso del massimo comune divisore tra polinomi.
Come ulteriore esempio, consideriamo i seguenti polinomi (ancora una volta, già scomposti in fattori):
\[ 4(x+3); \qquad 12(x+3)^2; \qquad 3(x+5) \]
Possiamo prendere come minimo comune multiplo sicuramente il polinomio:
\[ (x+3)^2 \cdot (x+5) \]
ma possiamo anche considerare come mcm il polinomio:
\[ 12 \cdot (x+3)^2 \cdot(x+5) \]
nel quale abbiamo come fattore numerico il minimo comune multiplo tra i rispettivi fattori numerici di ciascun polinomio.
E, sorprendentemente, anche il polinomio:
\[ 50 \cdot (x+3)^2 \cdot(x+5) \]
è comunque un minimo comune multiplo accettabile per i polinomi dati.
Come procediamo allora? Teoricamente, è possibile attribuire una qualunque costante moltiplicativa e di conseguenza i minimi comuni multipli che possiamo ottenere sono infiniti.
Di fatto, è buona prassi utilizzare come fattore numerico del risultato, ove possibile, il minimo comune multiplo dei fattori numerici presenti nelle scomposizioni dei polinomi di partenza. Questo lo si fa, di solito, quando i fattori numerici presenti nelle scomposizioni sono numeri interi. In presenza di frazioni e/o numeri irrazionali, conviene prendere come fattore numerico del minimo comune multiplo semplicemente \( 1 \).
Esempi sul calcolo del minimo comune multiplo tra polinomi
Esempio 1
Determinare il minimo comune multiplo tra i polinomi:
\[ 3x+6a; \qquad x^2-4a^2; \qquad 4x-8a \]
Cominciamo anzitutto a scomporre in fattori ciascun polinomio. Per il primo polinomio si tratta di eseguire un raccoglimento a fattore comune:
\[ 3x+6a = 3(x+2a) \]
Nel secondo polinomio riconosciamo una differenza tra quadrati:
\[ x^2-4a^2=(x-2a)(x+2a) \]
Nel terzo polinomio si tratta ancora di effettuare un raccoglimento totale:
\[ 4x-8a=4(x-2a) \]
Individuiamo il fattore non comune \( x-2a \), il fattore non comune \( x+2a \) e i fattori numerici non comuni \( 3 \) e \( 4 \). Così, avremo come minimo comune multiplo il termine:
\[ 12(x-2a)(x+2a) \]
Esempio 2
\[ a^2-4a-5; \qquad 4a^2+8a+4; \qquad a^2-7a+10 \]
Scomponiamo i polinomi in fattori. Per il primo polinomio, utilizziamo la regola del trinomio caratteristico:
\[ a^2-4a-5=(a-5)(a+1) \]
Veniamo al secondo polinomio:
\[ 4a^2+8a+4=4(a^2+2a+1)=4(a+ 1)^2 \]
Qui si è trattato di eseguire un raccoglimento totale per poi riconoscere il quadrato di un binomio.
Per il terzo polinomio dobbiamo ancora usare il metodo di scomposizione del trinomio caratteristico:
\[ a^2-7a+10=(a-5)(a-2) \]
Individuiamo i fattori comuni e non comuni presi con il massimo esponente, e moltiplichiamoli tra loro:
\[ 4(a-5)(a+1)^2(a-2) \]
Questo è il minimo comune multiplo cercato. 😉
Per quanto riguarda il minimo comune multiplo tra polinomi è tutto. Vi ricordo che qui su Altramatica è disponibile il pratico tool minimo comune multiplo tra polinomi online, con il quale potrete verificare in un attimo i vostri esercizi. 😉
Dalla prossima lezione cominceremo lo studio delle frazioni algebriche.
Un saluto a tutti voi! 🙂