La conoscenza delle equazioni di primo grado permette di ricavare in modo rigoroso le formule inverse.
Ricordiamo che una formula è un’uguaglianza che esprime una proprietà o una regola di calcolo. La necessità di ricavare una o più formule inverse a partire da un’assegnata formula di partenza nasce fin dall’inizio dello studio della matematica.
Ad esempio, la conoscenza delle tabelline rende molto più facile eseguire delle semplici divisioni mentalmente. Poiché infatti \( 7 \times 3 = 21 \), sarà immediato dire che \( 21:3 = 7 \) e che \( 21:7= 3 \). In altre parole, poiché vediamo il numero \( 21 \) come prodotto dei fattori \( 3 \) e \( 7 \), ciascun fattore è chiaramente esprimibile come rapporto tra il prodotto dei fattori \( (21) \) e l’altro fattore.
Così, in generale, data la formula dell’area del rettangolo:
\[ A = b \times h \]
è immediato ricavare la base \( b \) o l’altezza \( h \) a partire dall’area \( A \). Il modo di ragionare è del tutto uguale al caso numerico presentato all’inizio. Poiché \( A \) è il prodotto di due fattori, ciascun fattore sarà dato dal rapporto tra \( A \) e l’altro fattore. Così, otteniamo agevolmente le due formule inverse:
\[ b=\dfrac{A}{h}; \qquad h= \dfrac{A}{b} \]
In questa lezione vedremo di applicare quanto appreso sulle equazioni di primo grado in modo da ricavare le formule inverse applicando i principi di equivalenza.
Ricavare le formule inverse con i principi di equivalenza (equazioni di primo grado)
Formula inversa per ricavare la base di un rettangolo a partire dall’area e dall’altezza
Sia data la formula:
\[ A=\dfrac{b \times h}{2} \]
che esprime l’area del triangolo.
Troviamo la formula inversa per ricavare la base \( b \). Per fare questo, dobbiamo vedere la \( b \) come se fosse la \( x \) (ovvero, l’incognita), e vedere le altre lettere come numeri che conosciamo. In questo modo, il problema equivale a risolvere un’equazione di primo grado. 😉
Applichiamo due volte il secondo principio di equivalenza, come segue, in modo da isolare la \( b \):
\[ \begin{align}A&=\dfrac{b \cdot h}{2} \\ \\ 2 \cdot A &= 2 \cdot \left( \dfrac{b\cdot h}{2}\right) \\ \\ 2 \cdot A &= \cancel{2} \cdot \left( \dfrac{b\cdot h}{\cancel{2}}\right) \\ \\2 \cdot A &= b \cdot h \\ \\ \dfrac{2 \cdot A}{h}& =\dfrac{b \cdot h}{h} \\ \\ \dfrac{2 \cdot A}{h}& =\dfrac{b \cdot \cancel{h}}{\cancel{h}} \\ \\ \dfrac{2 \cdot A}{h}&=b\end{align} \]
Otteniamo così la formula inversa per calcolare la base di un rettangolo, a partire dall’area e dall’altezza:
\[ b = \dfrac{2 \cdot A}{h} \]
Formula inversa per ricavare il raggio a partire dalla circonferenza
Ricordiamo la formula per calcolare la circonferenza di un cerchio di raggio \( r \):
\[ C=2\pi r \]
Supponiamo di non ricordarci la formula inversa per ricavare il raggio nota la circonferenza. Bene, ora abbiamo gli strumenti per poterla trovare pur non ricordandoci. 😉
Consideriamo la \( C \) come un numero (\( \pi \) è già di suo un numero), ed isoliamo la \( r \) (che è la nostra incognita). Applichiamo il secondo principio di equivalenza, ancora per due volte:
\[ \begin{align} C&=2\pi r \\ \\ \dfrac{C}{2}&=\dfrac{2\pi r }{2}\\ \\ \dfrac{C}{2}&=\pi r\\ \\ \dfrac{C}{2 \cdot \pi }&=\dfrac{\pi \cdot r}{\pi} \\ \\ \dfrac{C}{2\cdot \pi}&=r\end{align} \]
Otteniamo così la formula inversa cercata:
\[ r = \dfrac{C}{2\pi} \]
Prestiamo attenzione a come abbiamo operato da questo punto in poi:
\[ \dfrac{C}{2}=\pi \cdot r \]
Per applicare il secondo principio di equivalenza, abbiamo diviso entrambi i membri per \( \pi \). Per dividere la quantità \( \dfrac{C}{2} \) per \( \pi \) basta ricordare la regola per dividere due frazioni tra loro. Nel nostro caso consideriamo \( \pi \) come la frazione apparente \( \dfrac{\pi}{1} \). Così, per applicare il secondo principio di equivalenza, al primo membro abbiamo eseguito il seguente calcolo:
\[ \dfrac{C}{2}: \dfrac{\pi}{1}= \dfrac{C}{2}\cdot \dfrac{1}{\pi}=\dfrac{C}{2 \cdot \pi} \]
Poi, diventerà chiaro esercitandosi che per dividere una frazione per un numero, basterà semplicemente moltiplicare il denominatore della frazione per tale numero.
Per questa lezione su come ricavare le formule inverse con le equazioni di primo grado è tutto. Ciao a tutti e, come sempre, buono studio con Altramatica! 🙂