In questa scheda svolgeremo insieme degli esercizi sulle equazioni numeriche di primo grado a termini frazionari (con frazioni). Ci limiteremo a risolvere equazioni contenenti al denominatore esclusivamente numeri. Questa esercitazione è infatti pensata per gli studenti della scuola media. Se siete invece delle superiori e dovete risolvere le equazioni frazionarie, ci sono due lezioni per voi: equazioni di primo grado fratte e risolvere le equazioni frazionarie (fratte) polinomiali.
Per risolvere le equazioni di primo grado a termini frazionari (equazioni di primo grado con frazioni) utilizzeremo una regola che si fonda sul secondo principio di equivalenza. Consideriamo ad esempio l’equazione:
\[ \dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}-2x \]
Tale equazione di primo grado è a termini frazionari poiché in essa abbiamo termini costituiti da frazioni, ed inoltre un coefficiente della \( x \) è anch’esso una frazione .
In generale, quando in un’equazione di primo grado compare almeno una frazione, sia essa un termine a sé stante o un coefficiente della \( x \), l’equazione si dice a termini frazionari (o più semplicemente, con frazioni).
Osserviamo che nell’equazione data non abbiamo calcoli da sviluppare in nessuno dei membri. Quindi, è possibile procedere trasportando opportunamente i termini.
Tuttavia, prima di trasportare i termini, il passo da fare in equazioni di questo tipo è calcolare il minimo comune multiplo di tutti i denominatori presenti nell’equazione. Attenzione: tutti i denominatori, sia al primo membro, sia al secondo membro. 😉
Così nel nostro caso avremo:
\[ \text{mcm}(3,2,4)=12 \]
Se serve un ripasso: calcolo del minimo comune multiplo.
Ora, dobbiamo applicare il secondo principio di equivalenza, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo appena calcolato. Prestiamo attenzione ad utilizzare le parentesi come nel seguito:
\[ \mathbf{12} \cdot \left(\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{2} \right)=\mathbf{12}\cdot\left(\dfrac{3}{4}-2x \right) \]
A questo punto, applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione abbiamo:
\[ \mathbf{12} \cdot \dfrac{4}{3}x+\mathbf{12}\cdot \dfrac{1}{2}=\mathbf{12} \cdot \dfrac{3}{4}-\mathbf{12}\cdot 2x \]
In conclusione, possiamo direttamente moltiplicare ciascun termine della equazione di partenza per il minimo comune multiplo dei denominatori.
Ora, non ci resta che semplificare le frazioni:
\[ \cancel{12}^{\small \displaystyle4} \cdot \dfrac{4}{\cancel{3}}x+\cancel{12}^{\small \displaystyle6}\cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}=\cancel{12}^{\small \displaystyle3} \cdot \dfrac{3}{\cancel{4}}-24\cdot x \]
Otteniamo così:
\[ 16x+6=9-24x \]
Come possiamo vedere, abbiamo ottenuto un’equazione a termini interi, ovvero nella stessa forma delle equazioni che già sappiamo risolvere. E l’equazione appena scritta è sicuramente equivalente a quella di partenza, poiché abbiamo applicato il secondo principio di equivalenza.
Diciamo così che abbiamo liberato l’equazione di partenza dai denominatori, ovvero che abbiamo riscritto l’equazione stessa in forma intera.
Mostreremo poi strada facendo negli svolgimenti a seguire come muoverci anche in casi leggermente meno immediati. 😉
Fatte le doverose premesse teoriche, passiamo agli esercizi sulle equazioni di primo grado a termini frazionari (equazioni di primo grado con frazioni), tarati per difficoltà crescente. 😉
Esercizi sulle equazioni di primo grado a termini frazionari (equazioni di primo grado con frazioni)
Esercizio 1 (esercizio sulle equazioni di primo grado a termini frazionari facile)
Risolvere l’equazione a termini frazionari di primo grado:
\[ \dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}+5 = x \]
Calcoliamo il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori presenti nell’equazione:
\[ \text{mcm}(3,4) = 12 \]
A questo punto, moltiplichiamo ciascun termine dell’equazione per l’mcm appena ottenuto, sia al primo membro, sia al secondo membro:
\[ \mathbf{12} \cdot \dfrac{x}{3}+ \mathbf{12} \cdot \dfrac{x}{4}+ \mathbf{12} \cdot 5 = \mathbf{12} \cdot x \]
Ora, dobbiamo ragionare come per il prodotto tra un numero e una frazione, operando le semplificazioni incrociate:
\[ \cancel{12}^{\small \displaystyle4}\cdot \dfrac{x}{\cancel{3}}+ \cancel{12}^{\small \displaystyle3} \cdot \dfrac{x}{\cancel{4}}+ 12 \cdot 5 = 12 \cdot x \]
Otteniamo così:
\[ 4x+3x+60=12x \]
Ora, ci ritroviamo con un’equazione a termini interi che possiamo risolvere con quanto appreso nelle precedenti lezioni. Trasportando opportunamente i termini e sommando i termini simili abbiamo:
\[-5x=-60 \]
ovvero:
\[ 5x=60 \]
L’equazione è ora nella forma normale \( ax=b \) e la soluzione sarà data da \( x=\dfrac{b}{a} \), ovvero:
\[ x = \dfrac{60}{5} \]
e riducendo la frazione apparente scriviamo in conclusione la soluzione:
\[ x= 12 \]
Esercizio 2 (esercizio più complesso ma con procedimento semplificato)
Risolvere l’equazione a termini frazionari di primo grado:
\[ \dfrac{x-4}{3}-1=\dfrac{x-2}{8} \]
Osserviamo che abbiamo termini frazionari particolari. Ovvero, frazioni ove ai numeratori abbiamo delle differenze indicate. Ad esempio, \( x-4 \) è una differenza indicata. Il termine “indicata” vuol dire che la differenza non può essere calcolata (i termini \( x \) e \( 4 \) non sono infatti simili).
Non esiste un solo metodo per risolvere questo tipo di equazioni. In questo esercizio utilizzeremo il metodo più elementare, che consente di ricondurre l’equazione data nella forma dell’esempio iniziale. Non sarà il metodo da usare abitualmente per svolgere gli esercizi, ma è senz’altro utile all’inizio per capire. 😉
Scegliamo in particolare di utilizzare la proprietà distributiva della divisione. Consideriamo ad esempio il termine frazionario al primo membro. Non dimentichiamo mai che una frazione rappresenta una divisione, ove il numeratore è il dividendo e il denominatore è il divisore. Per la proprietà distributiva della divisione si ha allora:
\[ \dfrac{x-4}{3}=(x-4):3=x:3-4:3=\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{3} \]
Ragionando in questo modo per tutti i termini frazionari dell’equazione di partenza, questa può essere riscritta come:
\[ \dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{x}{8}-\dfrac{2}{8} \]
Ci siamo così ricondotti ad una forma dell’equazione che ci consente di applicare la regola esposta in precedenza. 😉 Procediamo quindi calcolando il minimo comune multiplo di tutti i denominatori presenti nell’equazione:
\[ \text{mcm}(3,8)=24 \]
A questo punto moltiplichiamo ciascun termine al primo membro e al secondo membro per l’mcm appena ottenuto. Abbiamo:
\[ \mathbf{24} \cdot \dfrac{x}{3}-\mathbf{24} \cdot \dfrac{4}{3}-\mathbf{24} \cdot 1 =\mathbf{24} \cdot \dfrac{x}{8}-\mathbf{24} \cdot \dfrac{2}{8} \]
Operiamo le semplificazioni incrociate:
\[ \cancel{24}^{\small \displaystyle8}\dfrac{x}{\cancel{3}}-\cancel{24}^{\small \displaystyle8}\cdot\dfrac{4}{\cancel{3}}-24 \cdot 1 = \cancel{24}^{\small \displaystyle3} \cdot \dfrac{x}{\cancel{8}}- \cancel{24}^{\small \displaystyle3} \cdot \dfrac{2}{\cancel{8}} \]
E quindi:
\[ 8x-32-24=3x-6 \]
Trasportando opportunamente i termini otteniamo:
\[ 8x-3x=-6+32+24 \]
e quindi, sommando i termini simili:
\[ 5x=50 \]
Abbiamo così:
\[ x= \dfrac{50}{5}\]
e quindi, in conclusione:
\[ x = 10 \]
Il metodo che abbiamo utilizzato è piuttosto lento, ma a mio parere è molto utile quando si stanno muovendo i primi passi con le equazioni frazionarie. Infatti, con tale approccio è molto difficile sbagliare. In ogni caso, cominceremo già a scioglierci a partire dal prossimo esercizio. 😉
Esercizio 3 (esercizio sulle equazioni di primo grado a termini frazionari con svolgimento più rapido)
Risolvere:
\[ \dfrac{3x-1}{7}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3(2x+5)}{14}+\dfrac{x}{7} \]
Qui la prima cosa da fare è svolgere il prodotto al secondo membro. Abbiamo:
\[ \dfrac{3x-1}{7}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6x+15}{14}+\dfrac{x}{7} \]
A questo punto, per velocizzare le cose non utilizziamo la proprietà distributiva della divisione. Piuttosto, lasciamo i termini frazionari così come sono.
Così ad esempio, al primo membro avremo un termine frazionario pari a \( \dfrac{3x-1}{7} \) e un termine frazionario pari a \( \dfrac{1}{2} \). Quest’ultimo non ci dà problemi, è una normale frazione numerica. Osserviamo allora come è fatto il primo termine frazionario:
\[ \dfrac{3x-1}{7} \]
In pratica, abbiamo una frazione con numeratore \( 3x-1 \) e denominatore \( 7 \). Così, se dobbiamo moltiplicare una frazione di questo tipo per un numero, dobbiamo procedere come segue:
\[ 14 \cdot \dfrac{3x-1}{7}= \dfrac{14}{7} \cdot (3x-1)= \dfrac{\cancel{14}^{\small \displaystyle2}}{\cancel{7}} \cdot (3x-1) =2 \cdot (3x-1)=6x-2 \]
In modo più spedito, scriveremo i precedenti passaggi così:
\[ 14 \cdot \dfrac{3x-1}{7}=\cancel{14}^{\small \displaystyle2}\cdot \dfrac{3x-1}{\cancel{7}}=6x-2 \]
L’importante è osservare attentamente che dobbiamo moltiplicare il numero \( 2 \), ottenuto dalla semplificazione incrociata, per il binomio \( 3x-1 \) e non per il solo termine \( 3x \). Dobbiamo sempre stare attenti quando abbiamo un simbolo di moltiplicazione davanti ad una linea di fratto. In tal caso, la moltiplicazione va sempre eseguita tra il numero prima del simbolo di fratto e ciascun termine al numeratore della frazione.
Possiamo ora tornare all’ultimo passaggio scritto dell’equazione:
\[ \dfrac{3x-1}{7}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6x+15}{14}+\dfrac{x}{7} \]
Procediamo calcolando il minimo comune multiplo di tutti i denominatori presenti in entrambi i membri:
\[ \text{mcm}(7,2,14,7)=14 \]
Moltiplichiamo ciascun termine frazionario per \( 14 \):
\[ \mathbf{14} \cdot \dfrac{3x-1}{7}-\mathbf{14} \cdot \dfrac{1}{2}=\mathbf{14} \cdot \dfrac{6x+15}{14}+\mathbf{14} \cdot \dfrac{x}{7} \]
Eseguiamo i prodotti tra i numeri e i termini frazionari come spiegato:
\[ \cancel{14}^{\small \displaystyle2} \cdot \dfrac{3x-1}{\cancel{7}}-\cancel{14}^{\small \displaystyle7} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}=\cancel{14} \cdot \dfrac{6x+15}{\cancel{14}}+\cancel{14}^{\small \displaystyle2} \cdot \dfrac{x}{\cancel{7}} \]
I fratti se ne vanno e per quanto detto dobbiamo inserire delle parentesi:
\[ 2(3x-1)-7 =6x+15 + 2 \cdot x \]
e svolgendo i prodotti:
\[ 6x-2-7=6x+15+2x \]
Eliminiamo i due termini uguali presenti rispettivamente al primo e al secondo membro:
\[ \cancel{6x}-2-7=\cancel{6x}+15+2x \]
Abbiamo:
\[ -9=15+2x \]
e quindi:
\[ 2x=-15-9 \]
e in conclusione:
\[ x=-12 \]
Esercizio 4
Risolvere:
\[ \dfrac{4x-9}{2}-1=\dfrac{2(x-3)}{3}+\dfrac{x-3}{6}+\dfrac{1}{2} \]
Svolgiamo anzitutto il prodotto al secondo membro:
\[ \dfrac{4x-9}{2}-1=\dfrac{2x-6}{3}+\dfrac{x-3}{6}+\dfrac{1}{2} \]
Procediamo calcolando il minimo comune multiplo di tutti i denominatori presenti:
\[ \text{mcm}(2,3,6,2)=6 \]
Ora, moltiplichiamo ciascun termine frazionario per l’mcm ottenuto:
\[ \mathbf{6}\dfrac{4x-9}{2}+\mathbf{6} \cdot (-1)= \mathbf{6} \cdot \dfrac{2x-6}{3}+\mathbf{6} \cdot \dfrac{x-3}{6}+\mathbf{6} \cdot \dfrac{1}{2} \]
Eseguendo come negli altri esercizi le semplificazioni incrociate e le moltiplicazioni otteniamo:
\[ 12x-27-6=4x-12+x-3+3 \]
E, dopo pochi passaggi:
\[ 7x=21 \]
ovvero:
\[ x= \dfrac{21}{7} \]
e in conclusione:
\[ x=3 \]
Esercizio 5
Risolvere:
\[ \dfrac{3x-1}{2}-\dfrac{5}{9}= \dfrac{2(5x-2)}{3}+\dfrac{8x-1}{4}-\dfrac{3}{4} \]
Riportiamo i soli passaggi, tanto ormai il procedimento è chiaro 😉 Un consiglio: provate a svolgere da soli l’esercizio, per poi confrontare i passaggi.
Iniziamo:
\[ \begin{align}\dfrac{3x-1}{2}-\dfrac{5}{9}&= \dfrac{2(5x-2)}{3}+\dfrac{8x-1}{4}-\dfrac{3}{4} \\ \\ \dfrac{3x-1}{2}-\dfrac{5}{9}&= \dfrac{10x-4}{3}+\dfrac{8x-1}{4}-\dfrac{3}{4} \\ \\ 36 \cdot \dfrac{3x-1}{2}-36\cdot \dfrac{5}{9}&=12 \cdot \dfrac{10x-4}{3}+36 \cdot \dfrac{8x-1}{4}-36 \cdot \dfrac{3}{4} \\ \\ 54x-18-20&=120x-48+72x-9-27 \\ \\ 54x-120x-72x &= -48 -9-27+18+20 \\ \\ -192x+54x&=-46 \\ \\ -138x&=-46 \\ \\ 138x&=46 \\ \\ x &= \dfrac{46}{138} \\ \\ x &= \dfrac{1}{3}\end{align} \]
Si conclude così questa scheda di esercizi sulle equazioni numeriche di primo grado a termini frazionari.
Nella prossima lezione, vedremo come ricavare le formule inverse a partire da una data formula, proprio utilizzando le nostre conoscenze sulle equazioni di primo grado. Ciao a tutti e buono studio! 🙂