Sono qui disponibili gli esercizi di riepilogo sugli insiemi. Gli esercizi sono svolti e commentati e coprono gli argomenti trattati nelle lezioni sugli insiemi.
Per svolgere questi esercizi di riepilogo sugli insiemi è importante ricordarsi tutte le definizioni introdotte nelle lezioni, in particolare conoscere le operazioni fra insiemi e le loro proprietà.
La maggior parte degli esercizi sugli insiemi qui presentati hanno risposte abbastanza immediate. Perciò, vi consiglio di provare a risolvere ciascun esercizio da soli e a confrontare il vostro svolgimento con quello di Altramatica soltanto in un secondo momento. In questo modo potrete cimentarvi fin da subito nell’applicare quanto appreso nelle lezioni 😉
Pronti? Cominciamo! 🙂
Esercizi di riepilogo sugli insiemi
Esercizio 1
Descrivere a parole il seguente insieme:
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \quad \text{t.c.} \quad x \geq 10\} \]
SOLUZIONE
\( A \) è l’insieme dei numeri naturali maggiori o uguali a \( 10 \).
Per la teoria, vedi: rappresentare gli insiemi.
Esercizio 2
L’insieme
\[ A = \{x \in \mathbb{N} \quad \text{t.c.} \quad 1\leq x < 3\} \]
è finito? Se sì, scriverne gli elementi con la rappresentazione esplicita (per elencazione).
Soluzione
Osserviamo che l’universo è dato dall’insieme dei numeri naturali. Infatti, l’esercizio specifica che \( x \in \mathbb{N} \). Ciò significa che la \( x \) può essere un numero naturale che rispetti la proprietà caratteristica indicata. Ora, \( 1 \) è compreso (abbiamo infatti il simbolo di minore o uguale), mentre il \( 3 \) è escluso (abbiamo solo il simbolo di minore). Quindi:
\[ A= \{1,2\} \]
L’insieme è finito poiché costituito da un numero finito di elementi. Per ulteriori dettagli: insiemi finiti e infiniti.
Esercizio 3
Dati gli insiemi:
\[ A=\{2,3,5\}; \qquad B=\{3,9 \} \]
determinare gli insiemi risultato delle seguenti operazioni:
\[ A \cup B; \qquad A \cap B; \qquad A \setminus B \]
e verificare che
\[ (A \setminus B ) \cap B = \emptyset \]
Verificare inoltre che:
\[ (A \setminus B)\cup B \neq A \]
Soluzione
Abbiamo:
\[ A \cup B = \{2,3,5,9\} \]
Attenzione: ricordarsi sempre che le ripetizioni non sono ammesse, quindi l’ipotetica risposta \( A \cup B = \{2,3,5,3,9\} \) è errata.
\[ A \cap B = \{3\} \]
Infatti \( 3 \) è l’unico elemento in comune tra gli insiemi.
Per la differenza tra \( A \) e \( B \):
\[ A \setminus B = \{2,5\} \]
Infatti \( 2,5 \) sono gli elementi di \( A \) che non appartengono a \( B \).
Per la prima verifica richiesta si ha:
\[ (A \setminus B ) \cap B = \{2,5\} \cap \{3,9\}=\emptyset \]
Per la seconda:
\[ (A \setminus B)\cup B=\{2,5\} \cup \{3,9\}=\{2,5,3,9\} \neq \{2,3,5\} \]
Quindi in generale non è vero che sottraendo ad un insieme \( A \) un insieme \( B \), unendo poi alla differenza \( A \setminus B \) l’insieme \( B \) ritroviamo l’insieme \( A \). La differenza tra insiemi si comporta dunque in modo diverso dalla differenza tra numeri.
Per un ripasso: operazioni tra insiemi.
Esercizio 4
Dato \( A=\{3,7,9,5\} \), scrivere un sottoinsieme proprio di \( A \).
Soluzione
Si ha:
\[ B=\{3,7\} \]
\( B \) è un sottoinsieme proprio di \( A \) poiché tutti gli elementi di \( B \) sono anche elementi di \( A \) ed esiste almeno un elemento di \( A \) che non appartiene a \( B \). Infatti, gli elementi \( 9,5 \) di \( A \) non appartengono a \( B \). In linguaggio simbolico possiamo dunque scrivere:
\[ B \subset A \quad \text{con} \quad B = \{3,7\} \]
Questo è soltanto uno dei possibili sottoinsiemi propri di \( A \), per cui esistono ovviamente altre risposte comunque corrette.
Se serve un ripasso: sottoinsiemi propri e impropri.
Esercizio 5
Scrivere tutti i sottoinsiemi impropri dell’insieme:
\[ A=\{1,5,6,7,10,20,25,30,80,90,44,15\} \]
SOLUZIONE
Poiché un sottoinsieme improprio deve essere formato da elementi tutti appartenenti all’insieme nel quale è incluso, gli unici due sottoinsiemi impropri di \( A \) sono l’insieme stesso e l’insieme vuoto. Per cui:
\[ A, \quad \emptyset \]
Ciò è vero per un qualunque insieme 😉
Attenti quindi al termine “proprio” o “improprio” per i sottoinsiemi.
Esercizio 6
Scrivere l’insieme potenza dell’insieme:
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \quad \text{t.c.} \quad 1\leq x < 4\} \]
Soluzione
Prima di tutto dobbiamo verificare se l’insieme è finito. Diversamente, non è possibile scrivere l’insieme potenza (quantomeno con le nostre conoscenze ed obiettivi).
L’insieme è finito poiché l’universo è dato dai numeri naturali e la \( x \) è compresa tra due valori. L’insieme è quindi costituito da un numero finito di numeri. In altre parole, la cardinalità dell’insieme è rappresentata da un numero finito e possiamo scrivere l’insieme per elencazione:
\[ A=\{1,2,3\} \]
L’insieme potenza, ricordiamo, è dato da tutti i possibili sottoinsiemi propri e impropri dell’insieme dato. Quindi:
\[ P(A)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\},\{1,2,3\},\{\emptyset\} \} \]
Per ricontrollare se abbiamo scritto tutti gli insiemi, basta ricordare che il numero di elementi dell’insieme potenza di un insieme finito \( A \) è pari a \( 2 \) elevato al numero degli elementi di \( A \):
\[ \text{card}P(A)=2^{\text{card}{A}} \]
In parole povere, se \( A \) ha \( n \) elementi, \( P(A) \) avrà \( 2^n \) elementi. Nel nostro caso \( 2^3=8 \). Effettivamente, l’insieme potenza che abbiamo scritto ha otto elementi.
Esercizio 7
Scrivere tutti i sottoinsiemi propri dell’insieme dell’esercizio precedente.
Soluzione
Siccome abbiamo già scritto l’insieme potenza dell’insieme \( \{1,2,3\} \), la soluzione è data da:
\[ P(A)\setminus\{A,\emptyset\} \]
Cioè otteniamo i sottoinsiemi propri dell’insieme \( A \) sottraendo all’insieme potenza di \( A \) i suoi sottoinsiemi impropri.
Esercizio 8
Scrivere una possibile partizione di
\[ A = \{5,6,9\} \]
Soluzione
Una possibile partizione dell’insieme \( A \) è:
\[ \{\{5,6\},\{9\}\} \]
che possiamo anche scrivere in questo modo meno sintetico ma forse più chiaro:
\[ \{A_1, A_2\} \qquad \text{con} \quad A_1=\{5,6\} \quad \text{e} \quad A_2 =\{9\} \]
Osserviamo che i sottoinsiemi \( A_1 \) e \( A_2 \) soddisfano tutte le proprietà dei sottoinsiemi che costituiscono una partizione dell’insieme dato. Infatti:
\[ A_1 \neq \emptyset, \qquad A_2 \neq \emptyset \]
\[ A_1 \cap A_2 = \{5,6\} \cap \{9\}=\emptyset \]
\[ A_1 \cup A_2 = \{5,6\} \cup \{9\} = A \]
Ovviamente erano possibili per l’esercizio anche altre risposte, poiché esistono altre possibili partizioni per l’insieme dato.
Esercizio 9
Valutare le espressioni \( A \cup B \) e \( A \cap B \) con l’ipotesi che \( A \subset B \).
Soluzione
Se \( A \) è un sottoinsieme proprio di \( B \), ricordiamo che tutti gli elementi di \( A \) appartengono a \( B \) ed almeno un elemento di \( B \) non appartiene ad \( A \).
Quindi:
\[ A \cup B = B \]
e:
\[ A \cap B = A \]
Qui finisce la prima parte degli esercizi sugli insiemi. Nella seconda parte vedremo come valutare delle espressioni contenenti operazioni fra insiemi un po’ più complesse. In particolare, vedremo degli esercizi sulle leggi di de Morgan. Buono studio con Altramatica! 🙂