Vediamo ora degli esercizi sugli insiemi con le Leggi di De Morgan e che richiedono in generale l’uso delle proprietà delle operazioni tra insiemi. Questa seconda parte di esercizi svolti integra quelli presentati nella prima parte.
Vedremo che sarà necessario ricordare un po’ tutte le proprietà delle operazioni fra insiemi presentate nelle lezioni sulla teoria degli insiemi. L’obiettivo di ciascun esercizio è quello di semplificare il più possibile ciascuna espressione.
NOTA: negli esercizi indicheremo per comodità e maggiore chiarezza il complementare di un insieme \( A \) con la scrittura \( A^C \). Come ulteriore esempio, con la scrittura \( (A \cup B)^C \) intendiamo il complementare dell’insieme unione \( A \cup B \).
In particolare, con tale scrittura le Leggi di De Morgan si esprimono come segue.
Prima legge di De Morgan (legge di De Morgan dell’unione):
\[ (A \cup B)^C= A^C \cap B^C \]
Seconda legge di De Morgan (legge di De Morgan dell’intersezione):
\[ (A \cap B)^C=A^C \cup B^C \]
Infine, sarà sottinteso in tutti gli esercizi che abbiamo fissato un universo \( U \) e che gli insiemi \( A \) e \( B \) siano sottoinsiemi propri dell’universo \( U \) stesso.
Esercizio 1
Valutare l’espressione:
\[ A \cup (B^C \cup A)^C \]
Il primo passo consiste nell’applicare la prima legge di De Morgan (legge di De Morgan dell’unione). E’ fondamentale in questo caso ricordarsi anche la regola del complementare del complementare: \( (B^C)^C=B \). Abbiamo quindi:
\[ A \cup (B^C \cup A)^C=A \cup ((B^C)^C \cap A^C)=A \cup (B \cap A^C)= \]
Ora dobbiamo applicare la proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione:
\[ =(A \cup B) \cap (A \cup A^C)= \]
e, siccome per la definizione di insieme universo abbiamo che \( A \cup A^C = U \), possiamo scrivere:
\[ =(A \cup B)\cap U=A \cup B \]
Il risultato finale deriva dal fatto che poiché \( U \) è l’insieme universo, ovviamente gli insiemi \( A \) e \( B \) sono suoi sottoinsiemi (propri) e tutti i loro elementi sono in comune con \( U \).
Esercizio 2
Valutare l’espressione:
\[ A \cap (B \cup A^C) \]
Qui si tratta anzitutto di applicare la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione. Poi, bisogna osservare che l’intersezione tra un insieme e il suo complementare è pari all’insieme vuoto. Quindi:
\[ A \cap (B \cup A^C)=(A \cap B)\cup(A \cap A^C)= A \cap B \qquad \text{in quanto} \qquad A \cap A^C = \emptyset \]
Esercizio 3
Valutare l’espressione:
\[ A \cup (A \cap B)^C \]
Qui dobbiamo applicare la seconda legge di De Morgan e poi la proprietà associativa dell’unione:
\[ A \cup (A \cap B)^C=A \cup (A^C \cup B^C)=(A \cup A^C)\cup B^C=U \cup B^C=U \]
Le considerazioni per spiegare gli ultimi passaggi sono simili a quelle fatte per l’esercizio 1.
Esercizio 4
Valutare l’espressione:
\[ A \cap (B^C \cap A)^C \]
Per risolvere l’esercizio dobbiamo utilizzare la seconda legge di De Morgan e poi la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione. Abbiamo:
\[ \begin{align} & A \cap (B^C \cap A)^C=A \cap (B \cup A^C)=(A \cap B) \cup (A \cap A^C) = \\ \\ &=(A \cap B) \cup U = A \cap B \end{align} \]
Gli ultimi passaggi si giustificano con la definizione di insieme universo ed insieme complementare. Ricordiamo ancora una volta che \( A \cup A^C=U \).
Qui terminano gli esercizi sugli insiemi con le leggi di De Morgan e le proprietà delle operazioni tra insiemi. Ciao a tutti! 🙂