La tavola di verità della disgiunzione esclusiva differisce dalla tavola di verità della disgiunzione inclusiva soltanto per una riga. Ma tale differenza è sostanziale e infatti, nel caso delle proposizioni aperte, vedremo che la disgiunzione esclusiva (XOR) non è più associata soltanto all’operazione di unione tra insiemi.
Disgiunzione esclusiva (definizione)
Cominciamo con l’introdurre la definizione di disgiunzione esclusiva ragionando con proposizioni chiuse. Vedremo poi successivamente come comportarci con le proposizioni aperte.
Assegnate due proposizioni chiuse \( a\) e \( b \), l’operazione di disgiunzione esclusiva si indica con la notazione:
\[ a \veebar b \]
e si legge “o \( a \), o \( b \)”.
In elettronica e nella programmazione è molto comune il simbolo \( \text{XOR} \), così la scrittura:
\[ a \: \text{XOR} \: b \]
è equivalente alla precedente.
Il risultato dell’operazione di disgiunzione esclusiva è una proposizione che è vera nei soli casi in cui almeno una ma non più di una delle due proposizioni di partenza è vera.
La proposizione \( a \veebar b \) è dunque falsa nel caso in cui entrambe le proposizioni \( a \) e \( b \) sono false e nel caso in cui entrambe le proposizioni sono vere.
Quindi, la disgiunzione esclusiva è differente dalla OR poiché esclude il fatto che si possa ottenere un risultato vero se entrambe le proposizioni di partenza sono vere. Se \( a \) e \( b \) sono entrambe vere, \( a \veebar b \) è falsa.
La tavola di verità della disgiunzione esclusiva (XOR) è dunque la seguente:
Tavola di verità della disgiunzione esclusiva (proposizioni chiuse)
Date ad esempio le seguenti proposizioni atomiche:
a: “Vienna è la capitale dell’Irlanda”
b: “Roma è la capitale dell’Italia”
la proposizione risultato della disgiunzione esclusiva:
\( a \veebar b \): “o Vienna è la capitale dell’Irlanda o Roma è la capitale dell’Italia”
è vera poiché una proposizione è falsa ma l’altra è vera.
Date invece le proposizioni:
a: “Il gatto è un felino”
b: “La rana è un anfibio”
la proposizione risultato della disgiunzione esclusiva:
\( a \veebar b \): “O il gatto è un felino o la rana è un anfibio”
è falsa poiché entrambe le proposizioni sono vere.
Ancora una volta, per stabilire se la proposizione risultato dell’operazione è vera o falsa non dobbiamo considerare il significato nel linguaggio comune della frase. Piuttosto, dobbiamo semplicemente controllare il valore di verità delle singole proposizioni. La tabella di verità stabilisce poi di conseguenza se la proposizione risultato dell’operazione è vera o falsa 😉
Disgiunzione esclusiva nel caso di proposizioni aperte
Vediamo ora come descrivere la disgiunzione esclusiva nel caso delle proposizioni aperte 😉
Come abbiamo fatto per le altre operazioni, consideriamo due proposizioni aperte \( a(x) \) e \( b(x) \), aventi dominio \( D \), i cui rispettivi insiemi di verità sono gli insiemi \( A \) e \( B \).
Ora, la proposizione \( a(x) \veebar b(x) \) sarà vera soltanto se una e soltanto una fra le due proposizioni è vera. Di conseguenza, il risultato dell’operazione sarà una proposizione vera solo se la \( x \) appartiene soltanto all’insieme di verità della proposizione \( a(x) \), oppure se la \( x \) appartiene soltanto all’insieme di verità della proposizione \( b(x) \).
In altre parole, non potremo sicuramente dire che \( a(x) \veebar b(x) \) è vera nel caso in cui la \( x \) appartenga contemporaneamente all’insieme \( A \) e all’insieme \( B \). Ma allora, ricordando la definizione di insieme intersezione, è chiaro che se \( a(x) \veebar b(x) \) è vera, la \( x \) non può di certo appartenere all’insieme \( A \cap B \).
Dobbiamo allora escludere dall’insieme di verità che otterremmo considerando l’operazione di disgiunzione inclusiva l’insieme \( A \cap B \) di modo che la proposizione \( a(x) \veebar b(x) \) risulti correttamente falsa se entrambe le proposizioni \( a(x) \) e \( b(x) \) sono vere 😉
L’insieme di verità della disgiunzione esclusiva è dunque rappresentato dalla differenza tra l’unione degli insiemi di verità delle proposizioni di partenza meno l’intersezione di tali insiemi di verità.
In simboli:
\[ a(x) \veebar b(x) \quad \text{e’ vera per tutti gli} \: x \: \text{dell’insieme} \: (A \cup B) \setminus (A \cap B) \]
Graficamente possiamo rappresentare l’insieme di verità della proposizione \( a(x) \veebar b(x) \) come segue:
E con questo terminiamo questa lezione sulla disgiunzione esclusiva (XOR) 🙂 Nella prossima lezione, faremo la conoscenza dell’implicazione materiale. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂