Ciò non deve stupire, poiché un’implicazione logica è valida quando la corrispondente implicazione materiale è vera per tutti gli elementi dell’insieme di verità della premessa dell’implicazione. Quindi, il concetto di coimplicazione si estende in maniera immediata dall’implicazione materiale all’implicazione logica. Per cui, se vale l’implicazione logica tra due proposizioni, può valere tra esse anche la coimplicazione logica.
Coimplicazione logica
Supponiamo che date due proposizioni \( a(x) \) e \( b(x) \) sia valida l’implicazione logica:
\[ a(x) \Rightarrow b(x) \]
Questo significa che ogni \( x \) che rende vera la proposizione \( a(x) \) rende vera anche \( b(x) \). Non sappiamo però se ogni \( x \) che rende vera \( b(x) \) rende anche vera \( a(x) \). Ciò è possibile ma può benissimo non accadere.
Dal punto di vista insiemistico questo vuol dire che l’insieme di verità \( S_1 \) di \( a(x) \) è un sottoinsieme dell’insieme di verità \( S_2 \) di \( b(x) \). In altre parole, non sappiamo se esistono o meno degli elementi di \( S_2 \) che non appartengono ad \( S_1 \).
Ora, l’implicazione \( a(x) \Rightarrow b(x) \) si dirà invertibile se è anche vero che ogni \( x \) che verifica \( b(x) \) verifica anche \( a(x) \). In tal caso potremo scrivere che vale anche l’implicazione inversa:
\[ b(x) \Rightarrow a(x) \]
Se dunque abbiamo che valgono contemporaneamente l’implicazione logica diretta e l’implicazione logica inversa:
\[ a(x) \Rightarrow b(x) \quad \wedge \quad b(x) \Rightarrow a(x) \]
allora diremo che sussiste, cioè è valida, la seguente coimplicazione logica:
\[ a(x) \iff b(x) \]
Si dice in tal caso che \( a(x) \) coimplica logicamente \( b(x) \). In modo del tutto equivalente, si dice che \( a(x) \) è vera se e solo se \( b(x) \) è vera. Il simbolo di coimplicazione logica \( \iff \) si legge infatti “se e solo se”.
Dal punto di vista insiemistico, ciò significa che ora abbiamo due informazioni. Oltre a sapere che tutti gli elementi di \( S_1 \) sono contenuti in \( S_2 \), sappiamo anche che tutti gli elementi di \( S_2 \) sono contenuti in \( S_1 \). Quindi, in simboli:
\[ S_1 \subseteq S_2 \quad \wedge \quad S_2 \subseteq S_1 \quad \Rightarrow \quad S_1 = S_2 \]
Gli insiemi di verità delle proposizioni \( a(x) \) e \( b(x) \) coincidono:
Condizione necessaria e sufficiente
Se sussiste la coimplicazione
\[ a(x) \iff b(x) \]
diremo che \( a(x) \) è condizione necessaria e sufficiente per \( b(x) \). A sua volta, \( b(x) \) sarà condizione necessaria e sufficiente per \( a(x) \).
Nella pratica, basta dire che una delle due proposizioni è condizione necessaria e sufficiente dell’altra. In questo modo intendiamo chiaramente che tra le due proposizioni sussiste la coimplicazione logica.
In altri termini, possiamo dire che le proposizioni \( a(x) \) e \( b(x) \) si equivalgono logicamente. Esse infatti individuano ciascuna lo stesso insieme di verità. Affermare la verità dell’una è equivalente ad affermare la verità dell’altra.
ESEMPIO
Facciamo un esempio classico. Siano date le proposizioni:
\[ a(x): “x \: \text{e’ divisibile per} \: 3” \]
\[ b(x): “\text{la somma delle cifre che compongono} \: x \: \text{e’ multipla di 3}” \]
Con un po’ di prove possiamo renderci subito conto che le due proposizioni si equivalgono logicamente. In altre parole, un qualsiasi numero la cui somma delle cifre componenti è multipla di \( 3 \) è divisibile per \( 3 \). Allo stesso tempo, ogni numero divisibile per \( 3 \) è caratterizzato da una somma delle cifre componenti multipla di \( 3 \).
Possiamo quindi concludere che:
\[ a(x) \iff b(x) \]
Qui termina la lezione sulla coimplicazione logica. Il mio consiglio è quello di fare tesoro delle definizioni di condizione necessaria, condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente che abbiamo appreso in questa lezione e nella precedente. Una sicura comprensione di tali nozioni infatti vi sarà utile per capire e sapere applicare veramente i teoremi. Diversamente, senza la comprensione di questi concetti vi ritrovereste ad operare meccanicamente, imparando ragionamenti fatti da altri a memoria. La strada della comprensione è sempre la migliore.
Nella prossima lezione riprenderemo il concetto di implicazione contronominale e le regole di inferenza, mostrandone la validità anche per l’implicazione logica. Ciao a tutti! 🙂