Vedremo poi come le regole di inferenza del modus ponens e del modus tollens siano del tutto applicabili anche al caso delle implicazioni logiche.
Implicazione logica e proposizioni chiuse
Nell’introdurre l’implicazione logica abbiamo considerato il suo utilizzo esclusivamente con proposizioni aperte. In altre parole, abbiamo scritto solo implicazioni del tipo:
\[ a(x) \Rightarrow b(x) \]
ove nelle proposizioni almeno un argomento è rappresentato da una variabile \( x \).
Ora, è possibile scrivere un’implicazione logica tra proposizioni chiuse? Ovvero, ci chiediamo se ha senso una scrittura del tipo:
\[ a \Rightarrow b \]
La scrittura ha perfettamente senso, ma in questo caso il valore di verità dell’implicazione non dipende da nessuna tavola di verità. Non sappiamo a priori se l’implicazione è vera o falsa. L’unico modo per stabilirlo è verificare se esiste una connessione logica tra il verificarsi della premessa \( a \) e il verificarsi della conseguenza \( b \).
Riprendiamo un esempio banale ma efficace. Consideriamo le due proposizioni chiuse:
\( a \): “Io apro il rubinetto dell’acqua”
\( b \): “L’acqua esce dal rubinetto”
Ora, le proposizioni \( a \) e \( b \) sono ovviamente collegate logicamente tra di loro. E’ infatti possibile verificare che se si apre il rubinetto, dal rubinetto esce acqua (qui escludiamo guasti, siccità o ogni altro evento sfortunato).
Ora, dopo questa importantissima scoperta (:P), possiamo scrivere la proposizione logica:
\( a \Rightarrow b \):”Se io apro il rubinetto dell’acqua, l’acqua esce dal rubinetto”
La conclusione che traiamo è che se in un dato istante di tempo il rubinetto è aperto, l’acqua esce dal rubinetto. Di conseguenza, per quell’istante di tempo sappiamo che entrambe le proposizioni \( a \) e \( b \) sono vere, e dunque sarà anche vera l’implicazione materiale:
\[ a \rightarrow b \]
Infatti, ci è noto dalla tavola di verità dell’implicazione materiale che quest’ultima è vera se entrambe le proposizioni \( a \) e \( b \) sono vere. Di conseguenza, è facile rendersi conto che quando è vera l’implicazione logica \( a \Rightarrow b \) è anche vera l’implicazione materiale \( a \rightarrow b \). L’unico caso in cui l’implicazione materiale potrebbe risultare falsa è quando \( a \) è vera e \( b \) è falsa. Ma questo caso è da escludere poiché sappiamo che è impossibile che il rubinetto sia aperto e non esca acqua.
In conclusione, possiamo dire che se è valida un’implicazione logica tra proposizioni chiuse, questa coincide con l’implicazione materiale tra quelle stesse proposizioni. Possiamo quindi applicare le regole di inferenza che abbiamo in precedenza definito per l’implicazione materiale.
In particolare, se abbiamo che:
\[ a \Rightarrow b \]
allora, in perfetta analogia con l’implicazione materiale, abbiamo che è pure vera l’implicazione logica contronominale:
\[ \overline{b} \Rightarrow \overline{a} \]
Inoltre, saranno applicabili gli schemi di ragionamento del modus ponens e del modus tollens.
In particolare, per il modus ponens, avremo che, in base alle informazioni iniziali:
\[ a \Rightarrow b \quad \text{et} \quad a \quad \text{e’ vera} \]
potremo concludere che:
\[ b \quad \text{e’ vera} \]
Detta in altri termini, siccome sussiste la condizione sufficiente per \( \:b \), allora \( b \) è vera.
Per il modus tollens, avremo che date le informazioni iniziali:
\[ a \Rightarrow b \quad \text{et}\quad b \: \text{e’ falsa} \]
potremo concludere che:
\[ a \quad \text{e’ falsa} \]
Detta in altri termini, siccome non esiste la condizione necessaria per \( a\), allora \( a \) deve essere necessariamente falsa.
Regole di inferenza per l’implicazione logica di proposizioni aperte
Quanto abbiamo visto per l’implicazione logica con proposizioni chiuse è immediatamente estendibile al caso delle implicazioni logiche con proposizioni aperte. In particolare, se è valevole la seguente implicazione:
\[ a(x) \Rightarrow b(x) \]
potremo dire che è valida anche la contronominale:
\[ \overline{b}(x) \Rightarrow \overline{a}(x) \]
e saranno utilizzabili entrambe le regole di inferenza del modus ponens e del modus tollens.
Qui termina la lezione sulle regole di inferenza per l’implicazione logica. Nella prossima lezione vedremo le espressioni logiche.