Il teorema di unicità del limite non sembrerebbe ad occhio così necessario. Intuitivamente, se all’avvicinarsi delle \( x \) al punto \( x_0 \) i corrispondenti valori della \( f(x) \) si assestano su di un certo valore, sarebbe quantomeno curioso ritrovarsi alla fine con due differenti valori del limite.
Tuttavia, in matematica bisogna cercare di dimostrare tutto. Quindi, per quanto l’unicità del limite sia un fatto intuitivo, questa deve essere formalmente enunciata e dimostrata. Ed il teorema di unicità del limite si occupa proprio di questo. 🙂
Vediamo subito allora subito l’enunciato e la dimostrazione del teorema di unicità del limite.
Teorema di unicità del limite
Se una funzione \( f(x) \) definita in un intorno \( I(x_0) \), al più privato del punto \( x_0 \), ammette limite per \( x \) che tende ad \( x_0 \), allora tale limite è unico.
Possiamo dimostrare questo teorema per assurdo. In parole povere, affermiamo una cosa sbagliata e proviamo a dimostrarla. Tale ipotesi assurda ci porterà a sua volta verso una tesi anch’essa assurda. Dunque, dimostrando che il contrario di ciò che vogliamo dimostrare è falso, automaticamente dimostreremo che ciò che vogliamo dimostrare è vero.
Dimostrazione del teorema di unicità del limite
Per dimostrare il teorema di unicità del limite, supponiamo per assurdo che per \( x \to x_0 \)esistano due distinti limiti \( l_1 \) ed \( l_2 \) per una data funzione \( f(x) \).
Avremo dunque che per \( l_1 \) la condizione di limite \( 0<|f(x)-l_1|<\epsilon \) sarà soddisfatta per:
\[ 0<|x-x_0|<\delta^{‘} \]
Allo stesso modo, avremo che per \( l_2 \) la condizione di limite \( 0<|f(x)-l_2|<\epsilon \) sarà soddisfatta per:
\[ 0<|x-x_0|<\delta^{”} \]
Notare che avendo ipotizzato due differenti valori del limite abbiamo considerato due differenti \( \delta \). Questo perché, ovviamente, per ogni valore del limite dovremo considerare un suo proprio intorno di \( x_0 \), ciascuno avente valori della \( x \) che soddisfano la rispettiva condizione \( |f(x)-l_{1,2}|<\epsilon \).
In caso di mal di testa, consiglio di andare a rivedere la definizione di limite introdotta nella prima lezione e le cose saranno più chiare 🙂
Ora, prendiamo il minore tra \( \delta^{‘} \) e \( \delta^{”} \), e chiamiamolo \( \delta_{\min} \). Tale valore \( \delta_\min \) chiaramente verificherà entrambe le condizioni di limite relative a \( l_1 \) e \( l_2 \). Potremo cioè dire che facendo corrispondere ad \( \epsilon \) il valore \( \delta_{min} \), per ogni \( x \in I(x_0) \)verificante la condizione \( 0<|x-x_0|<\delta_{\min} \) avremo:
\[ |f(x)-l_1|<\epsilon \qquad \text{ e }\qquad |f(x)-l_2|<\epsilon \]
Essendo entrambe le disequazioni verificate, la disequazione ottenuta sommando membro a membro le due disequazioni date sarà ancora verificata. Possiamo quindi scrivere:
\[ |f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<2\epsilon \qquad (**) \]
Ora, osserviamo banalmente che la differenza \( |l_1-l_2| \) equivale a \( |l_1-f(x)+f(x)-l_2| \). Cio è banale perché abbiamo semplicemente sommato 0, espresso come \( -f(x)+f(x) \) 😉
Ricordiamo a questo punto una proprietà dei valori assoluti (disuguaglianza triangolare):
\[ |a+b|\leq|a|+|b| \]
Nel nostro caso ci fa comodo osservare che:
\[ |l_1-f(x)+f(x)-l_2|\leq |l_1-f(x)|+|f(x)-l_2| \qquad (*) \]
Ora, siccome la funzione valore assoluto restituisce come risultato l’argomento “forzato positivo”, dire |2| o |-2| è ad esempio la stessa cosa. Per cui, l’espressione \( |l_1-f(x)| \) è uguale a \( |f(x)-l_1| \). Di conseguenza, possiamo riscrivere la (*) come:
\[ |l_1-f(x)+f(x)-l_2|\leq|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2| \]
Dunque, confrontando la relazione appena scritta con la (**), complessivamente possiamo scrivere:
\[ |l_1-l_2|=|l_1-f(x)+f(x)-l_2|\leq|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<2\epsilon \]
e quindi:
\[ |l_1-l_2|<2\epsilon \]
Ora, chiediamoci se questa espressione può essere verificata per ogni \( \epsilon>0 \). Ci chiediamo questo poiché nella definizione di limite \( \epsilon \) è proprio un valore positivo non nullo qualsiasi 🙂
\( l_1 \) e \( l_2 \) sono ad esempio due numeri reali, che abbiamo ipotizzato differenti. Se questi sono tra loro diversi, la loro differenza in modulo sarà una quantità diversa da 0. E questa quantità, oltre ad essere diversa da 0, per due dati valori \( l_1 \) e \( l_2 \) sarà costante. E, per quanto tale quantità possa essere piccola, essa non riuscirà mai ad essere più piccola di \( 2\epsilon \), dato che \( \epsilon \) può essere un numero positivo non nullo piccolo quanto vogliamo.
Usiamo dei numeri brutalmente per capirci. Se anche la differenza \( |l_1-l_2| \) sarà pari, ad esempio, a 0,1, comunque prendendo \( \epsilon \) pari a 0,01, la disuguaglianza NON sarà verificata. E ripeto, potendo prendere \( \epsilon \) piccolo quanto si vuole (anche se sempre positivo non nullo), la disuguaglianza non sarà MAI verificata per ogni \( \epsilon \).
Quindi, ipotizzando di avere due distinti limiti non c’è verso, la disuguaglianza non sarà mai vera per ogni \( \epsilon \).
Se invece ipotizziamo che \( |l_1-l_2|=0 \), vediamo che la disuguaglianza riesce verificata per ogni \( \epsilon \)! Infatti, una quantità NULLA sarà sempre minore di una quantità che tende a 0 (infatti, \( \epsilon >0 \) significa che esso sarà vicino allo 0 tanto quanto si vuole, ma mai davvero nullo!).
E finalmente siamo arrivati, dato che dire \( |l_1-l_2|=0 \) equivale ovviamente a dire \( l_1=l_2 \). Cioè che il limite è unico 🙂
Conclusioni
Abbiamo così fatto la conoscenza del teorema di unicità del limite, un teorema molto importante per gli studi di Analisi Matematica.
Una conseguenza molto utile ai fini pratici del teorema di unicità del limite è data dal fatto che se una funzione ammette limiti destro e sinistro tra loro differenti, allora la funzione stessa non ammette limite. Infatti, in tal caso il limite per esistere dovrebbe assumere due valori diversi, venendo così meno l’unicità del limite.
La considerazione appena fatta è molto utile per gli esercizi, come vedremo in seguito (esistenza di un limite: verifica con i limiti destro e sinistro).
Per quanto riguarda il teorema di unicità del limite è tutto. Nella prossima lezione vedremo un altro teorema molto famoso per i limiti: il teorema del confronto 🙂