Introduciamo ora il teorema del confronto poiché esso ha delle applicazioni nella risoluzione degli esercizi sui limiti (cosa che vedremo in seguito).
Per l’enunciazione del teorema del confronto ci limitiamo al caso di limiti finiti (quindi del tipo \( l\in\mathbb{R} \)). Può essere comunque utile almeno conoscere che questo teorema esiste anche nella variante per limiti non finiti (cioè pari a più infinito o meno infinito).
L’idea del teorema del confronto è questa. Supponiamo di avere tre funzioni definite in un intorno di un punto \( x_0 \), escluso al più il punto \( x_0 \). E supponiamo che ciascun valore assunto da una delle tre funzioni in un dato punto dell’intorno sia sempre compreso tra i valori assunti rispettivamente dalle altre due funzioni sempre in quel punto.
Come possiamo vedere nella figura, per ciascuna \( x \) in un dato intorno di \( x_0=0 \), il valore della funzione in rosso è sempre compreso tra il valore della funzione in viola e il valore della funzione in verde:
Ora ci chiediamo che cosa succede per i limiti.
In particolare, se per \( x \) che tende ad un certo \( x_0 \), le funzioni \( f(x) \) e \( h(x) \) tendono ad un valore finito \( l \), possiamo dire qualcosa di particolare per il limite di \( g(x) \)?
Questo ce lo dice il teorema del confronto 🙂
Teorema del confronto (per limiti finiti)
Supponiamo di avere tre funzioni \( f(x), \: g(x), \: h(x) \). Tutte e tre le funzioni siano definite in un intorno \( I \) di \( x_0 \), al più privato del punto \( x_0 \).
Se per tali funzioni risulta che, per ogni \( x \) dell’intorno,
\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x) \]
e inoltre se per le funzioni \( f(x) \) e \( h(x) \) si ha che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}h(x)=l\in\mathbb{R} \]
ovvero si ha che le funzioni \( f(x) \) e \( h(x) \) ammettono lo stesso limite finito in \( x_0 \),
allora si avrà che anche il limite in \( x_0 \) di \( g(x) \) sarà pari ad \( l \):
\[ \lim_{x \to x_0}g(x)=l \]
Il teorema del confronto è conosciuto anche con il nome di teorema dei carabinieri. Infatti, dato che la funzione \( g(x) \) ha lo stesso limite delle altre due, cioè tende al limite allo stesso valore delle altre due, questa si comporta un po’ come l’arrestato che tenuto da due carabinieri non può che andare nella loro stessa direzione.
dimostrazione
Non ci resta che applicare la definizione di limite alle funzioni \( f(x) \) e \( h(x) \) utilizzando, per intenderci, i termini \( \epsilon \) e \( \delta \). In particolare, fissato un certo \( \epsilon>0 \), dovremo determinare per esso due valori \( \delta^{‘} \) e \( \delta^{”} \), uno per ciascuna funzione. Sappiamo per certo che è possibile determinare tali valori poiché, come ipotesi, \( f(x) \) e \( h(x) \) hanno entrambe limite pari ad \( l \).
Saranno dunque valide le seguenti (per \( x \neq x_0 \)):
\[ x_0-\delta^{‘}<x<x_0+\delta^{‘} \: \Rightarrow \: |f(x)-l|<\epsilon \]
\[ x_0-\delta^{”}<x<x_0+\delta^{”} \: \Rightarrow \: |h(x)-l|<\epsilon \]
Riscriviamo entrambe le espressioni \( |f(x)-l|<\epsilon \) e \( |h(x)-l|<\epsilon \) cercando di eliminare il modulo. Vediamo il procedimento per la prima di esse. Per la definizione di funzione valore assoluto, l’espressione \( |f(x)-l|<\epsilon \) equivale a:
\[ \begin{cases} -f(x)+l<\epsilon \\ f(x)-l<\epsilon\end{cases} \]
E quindi, invertendo i segni della prima disequazione:
\[ \begin{cases} f(x)-l>-\epsilon \\ f(x)-l<\epsilon\end{cases} \]
ossia:
\[ -\epsilon<f(x)-l<\epsilon \]
Infine, isolando \( f(x) \):
\[ l-\epsilon<f(x)<l+\epsilon \]
Allo stesso modo, vale anche la relazione:
\[ l-\epsilon<h(x)<l+\epsilon \]
Se prendiamo il valore \( \delta_{\min} \) come il più piccolo tra \( \delta^{‘} \) e \( \delta^{”} \), sarà evidente che per ogni \( x \) tale che \( x_0-\delta_{\min}<x<x_0+\delta_{min}, \: x \neq x_0 \) saranno soddisfatte entrambe le precedenti disequazioni.
Potremo allora aggiungere a quanto già noto, e cioè a:
\( f(x)<g(x)<h(x) \)
le informazioni che ci danno le due disequazioni. Così possiamo scrivere:
\[ l-\epsilon<f(x)<g(x)<h(x)<l+\epsilon \]
Da questa discende immediatamente che:
\( l-\epsilon<g(x)<l+\epsilon \)
la quale equivale alla condizione di limite:
\( |g(x)-l|<\epsilon \)
A questo punto siamo arrivati, perché vediamo che anche la funzione \( g(x) \) ha limite \( l \), poiché per ogni \( x \) tale che \( x_0-\delta_{\min}<x<x_0+\delta_{\min}, \: x \neq x_0 \) viene soddisfatta la condizione di limite.
Nella prossima lezione vedremo un altro grande classico: il teorema della permanenza del segno. Non perdetevela 🙂