Oltre a fornire delle dimostrazioni più intuitive rispetto a quelle già fornite nella lezione sulle proprietà dei logaritmi, vogliamo qui presentare delle riflessioni che possono aiutare a ricordare correttamente tali proprietà.
Vediamo allora subito dei trucchi per poter meglio ricordare, ricavare ed applicare le proprietà dei logaritmi.
Ricavare le proprietà dei logaritmi grazie alle proprietà delle potenze
Rivediamo le due proprietà delle potenze che sono direttamente collegate alle proprietà dei logaritmi. Queste sono facili da ricordare:
\[ \begin{align}&a^x \cdot a ^y = a ^ {x+y} && \text{prodotto tra potenze di uguale base} \\ \\ &\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} && \text{rapporto tra potenze di uguale base}\end{align} \]
Le proprietà del logaritmo del prodotto e del logaritmo del rapporto derivano rispettivamente da queste due proprietà.
\[ \begin{align}&\log_a (x \cdot y ) = \log_a x + \log_a y, \qquad \text{logaritmo del prodotto} \\ \\ &\log_a\left(\dfrac{x}{y} \right)=\log_ax- \log_a y, \qquad \text{logaritmo del rapporto}\\ \\ &\text{con} \quad a>0, \: a \neq 1, \quad x, \: y > 0 \quad \end{align} \]
Nelle considerazioni che qui faremo supporremo sempre che la base \( a \) sia positiva non nulla e diversa da 1.
Ora, riprendiamo la definizione di logaritmo:
il logaritmo in base \( a \) di un numero è l’esponente da dare alla base \( a \) per ottenere quel numero.
Di conseguenza:
\[ \log_a a^x = x; \qquad \log_a a^y = y \]
Teniamo bene a mente queste due identità. 😉
Ricavare la proprietà del logaritmo del prodotto
Consideriamo la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base:
\[ a^x \cdot a^y = a^{x+y} \]
La proprietà ci dice che la quantità \( a^x \cdot a^y \) può essere espressa come una potenza con base \( a \) avente per esponente la somma \( x+y \) degli esponenti. In altri termini, la somma \( x+y \) è l’esponente da dare alla base \( a \) per ottenere la quantità \( a^x \cdot a^y \).
Ma per la definizione di logaritmo, è allora evidente che \( x+y \) è il logaritmo in base \( a \) della quantità \( a^x \cdot a^y \), ovvero:
\[ x+y = \log_a \left(a^x \cdot a^y \right) \]
Ricordandoci che \( \log_a a^x = x \) e \( \log_a a^y = y \) possiamo così scrivere:
\[ \log_a a^x + \log_a b^x = \log_a \left(a^x \cdot a^y \right) \]
Abbiamo così ottenuto la proprietà del logaritmo del prodotto, anche se non in forma generale. Ma ci basterà soltanto porre:
\[ u=a^x, \qquad v = a^y \]
in modo da ottenere:
\[ \log_a u + \log_a v = \log_a \left(u \cdot v \right) \]
e per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza:
\[ \log_a \left(u \cdot v \right) = \log_a u + \log_a v \]
Le ultime due uguaglianze rappresentano la proprietà del logaritmo del prodotto, con \( u > 0 \) e \( v>0 \).
Da quanto abbiamo visto capiamo bene perché gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi. Questi rappresentano infatti, concettualmente, i valori di funzioni esponenziali. Così, in generale un logaritmo potrà avere come argomento una qualsiasi funzione, ma a patto che questa per una data \( x \) risulti sempre positiva non nulla. Non a caso, i valori assunti dalle funzioni esponenziali sono sempre positivi non nulli.
Ricavare la proprietà del logaritmo del rapporto
Consideriamo la proprietà del rapporto tra potenze di uguale base:
\[ \dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \]
La proprietà ci dice che la quantità \( \dfrac{a^x}{a^y} \) può essere espressa come una potenza con base \( a \) avente per esponente la differenza \( x-y \) degli esponenti. In altre parole, la differenza \( x-y \) è l’esponente da dare alla base \( a \) per ottenere la quantità \( \dfrac{a^x}{a^y} \).
Ma per la definizione di logaritmo, è allora evidente che \( x-y \) è il logaritmo in base \( a \) della quantità \( \dfrac{a^x}{a^y} \), ovvero:
\[ x-y = \log_a \left(\dfrac{a^x}{a^y} \right) \]
Ricordandoci che \( \log_a a^x = x \) e \( \log_a a^y = y \) possiamo così scrivere:
\[ \log_a a^x – \log_a b^x = \log_a \left(\dfrac{a^x}{a^y}\right) \]
Abbiamo così ottenuto la proprietà del logaritmo del rapporto. Ci basterà infatti porre:
\[ u=a^x, \qquad v = a^y \]
in modo da ottenere:
\[ \log_a u – \log_a v = \log_a \left(\dfrac{u}{v} \right) \]
e per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza:
\[ \log_a \left(\dfrac{u}{v}\right) = \log_a u – \log_a v \]
Le ultime due uguaglianze rappresentano la proprietà del logaritmo del rapporto, con \( u > 0 \) e \( v > 0 \).
Ricordare la regola dell’esponente
Vediamo ora un modo intuitivo per ricordare la regola dell’esponente, che ricordiamo è data dall’uguaglianza:
\[ \log_a x^n = n \log_a x \]
La quantità \( n \) è in generale un numero reale. Per fornire un modo intuitivo per ricavare la regola dell’esponente, supporremo che \( n \) sia un numero naturale noto, ad esempio \( 3 \). Così, se \( n = 3 \) avremo, per la definizione di potenza:
\[ a^n \quad \text{con} \quad n=3 \quad \Rightarrow \quad a^3 = a \cdot a \cdot a \]
Ora, prendiamo il logaritmo in base \( a \) di entrambi i membri dell’ultima uguaglianza scritta. Otteniamo:
\[ \log_a a^3 = \log_a (a \cdot a \cdot a) \]
Applicando la proprietà del logaritmo del prodotto al secondo membro si ha:
\[ \log_a a^3 = \log_a a + \log_a a + \log_a a \]
Al secondo membro abbiamo termini simili che possono essere sommati tra loro. Abbiamo quindi:
\[ \log_a a^3 = 3 \log_a a \]
Siamo così arrivati alla regola dell’esponente, nel caso in cui sia \( n=3 \). Poiché non dobbiamo in questo caso fare una dimostrazione ma semplicemente avere un promemoria, possiamo ritenere intuitivo che la proprietà si estenda infine per qualsiasi \( n \) anche reale.
Conclusioni
Le considerazioni qui fatte vogliono essere un aiuto per meglio ricordare le proprietà dei logaritmi. In particolare, con un po’ di ragionamento sarà possibile ricavare in casi di emergenza le proprietà dei logaritmi a partire dalle proprietà delle potenze. Ricordare le regole a memoria è sicuramente importante, ma disporre di una sicurezza in più per poter ricavare ciò che non si ricorda è un’arma sicuramente utile.
Per maggiori dettagli e per dimostrazioni rigorose è disponibile qui su Altramatica la lezione dedicata alle proprietà dei logaritmi.
Buon proseguimento con Altramatica! 🙂