Il caso della radice di radice è diverso dai radicali doppi. Infatti, nei radicali doppi il radicando è dato dalla somma algebrica di due termini, dei quali almeno uno è a sua volta sotto radice.
Per intenderci, un esempio di radicale doppio è dato da:
\[ \sqrt{\sqrt{2}+7} \]
mentre il seguente radicale:
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \]
è una radice di radice, e può essere immediatamente ricondotta ad un radicale semplice:
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3 \cdot 3]{3} = \sqrt[9]{3} \]
Anche i radicali doppi possono essere ricondotti ad un radicale privo della radice esterna, tuttavia devono valere determinate condizioni.
Vediamo allora subito come lavorare con i radicali doppi. 🙂 Chi ha fretta, può saltare direttamente al metodo più usato, ovvero la formula per semplificare i radicali doppi. Chi invece vuole avere un’alternativa per potersela cavare in alcuni casi anche senza ricordare la formula, può investire qualche minuto in più del proprio tempo e leggere tutta la lezione. 🙂
Radicali doppi e quadrato di un binomio
Esistono dei casi nei quali non è necessario ricorrere alla formula generale sui radicali doppi, che presenteremo più avanti. Il più comune di questi casi è legato al quadrato di un binomio e alla sua scomposizione.
Semplificare un radicale doppio mediante il quadrato di un binomio
Ricordiamo che si ha:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
e quindi, per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]
Così, è chiaro che:
\[ \sqrt{a^2+2ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2}=a+b, \qquad \text{con} \quad a+b \geq 0 \]
La condizione \( a+b \geq 0\) viene posta poiché pretendiamo per definizione che il risultato di una radice quadrata sia sempre positivo.
Osserviamo che il simbolo di radice se ne è andato. Ciò non è un dettaglio e ci può essere in alcuni casi di grande aiuto per poter riscrivere un radicale doppio in una forma equivalente che non abbia la radice più esterna.
Infatti, se almeno uno dei due termini \( a, \: b \) è un radicale, liberandoci della radice più esterna non avremo più un radicale doppio. Il discorso è applicabile solo nel caso però che il radicando della radice più esterna possa essere riscritto come il quadrato di una certa quantità.
Veniamo subito ad un esempio pratico:
\[ \sqrt{3+2\sqrt{2}} \]
Vediamo come liberarci della radice esterna, pur ottenendo un’espressione equivalente a quella data.
L’idea è di riscrivere l’argomento della radice più esterna (cioè, tutto quanto sta dentro alla radice più grande ) come un quadrato di un binomio.
Ricordiamo la struttura del quadrato di un binomio: \( a^2+2ab+b^2 \). Il primo passo è individuare il doppio prodotto. Nel nostro caso è sicuramente \( 2 \cdot \sqrt{2} \), poiché è della forma “due per qualcosa”. Ora, oltre al termine \( 2 \cdot \sqrt{2} \) abbiamo il solo termine \( 3 \). Per cui non c’è altra possibilità: dobbiamo trovare due termini che abbiano per doppio prodotto \( 2 \cdot \sqrt{2} \) e per somma \( 3 \).
L’approccio da seguire è questo: cerchiamo due numeri (uno è un radicale, uno è un numero razionale) che rispettino la condizione sul loro doppio prodotto. Poi, verificheremo se rispettano anche la condizione per la somma.
Osserviamo che se il doppio prodotto dei due termini è pari a \( 2\sqrt{2} \), il loro prodotto sarà evidentemente \( \sqrt{2} \). Ora, tale quantità può essere espressa come il seguente prodotto:
\[ \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \]
Vediamo se la somma dei quadrati dei due fattori a secondo membro è pari a \( 3 \):
\[ (\sqrt{2})^2+1^2 = 3 \]
Ci siamo! Allora tornando al radicale doppio di partenza, possiamo scrivere:
\[ \sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1 \]
L’espressione ottenuta è accettabile, poiché è positiva. Rispetta infatti la condizione \( a+b \geq 0 \). E, come possiamo vedere, la radice esterna se ne è andata. 😉
Vediamo un altro esempio:
\[ \sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2}= \]
Ora, attenzione. Osserviamo che abbiamo due possibilità. Infatti:
\[ (\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2=\left(\sqrt{5}-1 \right)^2 \]
ma è anche vero che:
\[ (\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2=\left(1-\sqrt{5} \right)^2 \]
Tuttavia, la seconda possibilità ci porta a scrivere una quantità negativa, quindi non accettabile. Potremo allora risolvere l’esercizio dato soltanto considerando la prima possibilità:
\[ \sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1 \]
Infatti l’espressione ottenuta è maggiore di zero e rispettiamo la condizione \( a+b \geq 0 \).
Caso particolare: il doppio prodotto non è riconoscibile nel radicando
Supponiamo di voler riscrivere la seguente espressione in modo da eliminare la radice più esterna:
\[ \sqrt{2+\sqrt{3}} \]
Osserviamo che in \( 2+\sqrt{3} \) non abbiamo un termine che sia riconducibile ad un doppio prodotto. Dovremmo infatti avere un termine nella forma “due per qualcosa”.
L’idea è allora quella di introdurre questo due che manca moltiplicando e dividendo per \( 2 \) l’argomento della radice esterna. Ciò è lecito poiché equivale a moltiplicare per \( 1 \). Procediamo! 🙂
\[ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3}) \cdot \dfrac{2}{2}}=\sqrt{\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}}=\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}}= \]
Ora portiamo fuori dalla radice esistente il \( 2 \) a denominatore. Chiaramente, dovrà essere ancora messo sotto radice, ma in una radice a parte:
\[ =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot\sqrt{4+2\sqrt{3}}= \]
Lavoriamo per adesso soltanto sul radicale:
\[ \sqrt{4+2\sqrt{3}} \]
In esso adesso riconosciamo un doppio prodotto: \( 2\sqrt{3} \). Così, dovremo cercare due termini aventi per prodotto \( \sqrt{3} \) e i cui quadrati abbiano per somma \( 4 \). Si ha:
\[ \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}; \qquad (\sqrt{3})^2+(1)^2=4 \]
Possiamo allora scrivere:
\[ \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1 \]
Ricordiamoci che avevamo portato fuori un fattore \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \). Così, per l’espressione di partenza avremo:
\[ \sqrt{2+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{3}+1 \right)= \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \]
E come possiamo vedere abbiamo eliminato la radice esterna. Per completare il lavoro, ci rimane solo da razionalizzare il denominatore:
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \]
ed abbiamo terminato. La condizione \( a+b \geq 0 \) è rispettata. 🙂
I metodi sin qui presentati funzionano, ma richiedono un po’ di ragionamento. Niente paura: vediamo subito la formula per semplificare i radicali doppi.
Formula per semplificare i radicali doppi
Vediamo una formula che ci permette di eliminare la radice più esterna in un radicale doppio del tipo:
\[ \sqrt{a\pm \sqrt{b}} \]
Il simbolo \( \pm \) viene utilizzato per includere entrambi i casi in cui al suo posto sia presente il \( + \) oppure il \( – \). Così, con tale scrittura intendiamo dire che presenteremo una formula che permetterà di semplificare entrambi i radicali:
\[ \sqrt{a +\sqrt{b}} \]
e:
\[ \sqrt{a -\sqrt{b}} \]
La formula è la seguente:
\[ \sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \]
Se l’uso del simbolo \( \pm \) non vi è congeniale, possiamo considerare due formule separate:
\[ \sqrt{a+ \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \]
\[ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} – \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \]
Le formule si applicano soltanto se \( a^2-b \geq 0 \). Diversamente infatti avremmo all’interno di una radice quadrata un numero negativo. Ciò non è ammissibile poiché nei reali la radice quadrata di un numero negativo non esiste.
Inoltre, le formule sono convenienti soltanto se il termine \( a^2-b \) è un quadrato perfetto, cioè se detto termine può essere scritto come il quadrato di un numero intero. Prima di applicare tali formule è dunque importante fare sempre questo controllo. Diversamente le formule stesse, pur essendo applicabili, complicheranno tutto invece di aiutarci.
NOTA: per controllare se un numero è un quadrato perfetto basta scomporlo in fattori primi. Se in ciascun fattore l’esponente è pari allora il numero dato è un quadrato perfetto. Ad esempio:
\[ 196=2^2 \cdot 7^2 \]
Entrambi gli esponenti sono pari e quindi \( 196 \) è un quadrato perfetto. Questo soltanto ci basta come verifica. Ma per i curiosi: quale è il numero che elevato al quadrato dà \( 196 \)? Per le proprietà delle potenze:
\[ 2^2 \cdot 7^2=(2 \cdot 7 )^2=14^2 \]
Così \( 14^2 = 196 \).
Esempio 1
Semplificare il seguente radicale doppio (togliere la radice esterna):
\[ \sqrt{5-\sqrt{21}} \]
Siamo nel caso \( a=5 \) e \( b = 21 \). Dobbiamo utilizzare la formula nella versione con segno meno. Prima però, verifichiamo che \( a^2-b \) sia non negativo e rappresenti un quadrato perfetto:
\[ 5^2-21=25-21=4 \]
Il numero è un quadrato perfetto, infatti \( 2^2=4 \).
Applichiamo la formula:
\[ \begin{align}&\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{5+2}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-2}{2}}= \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{7}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}\end{align} \]
Osserviamo che per semplificare al massimo il risultato abbiamo applicato le proprietà dei radicali effettuando poi la razionalizzazione del denominatore.
Metodo alternativo
Proviamo a risolvere questo stesso esercizio ragionando con il quadrato di un binomio (come già visto nel caso “il doppio prodotto non è riconoscibile nel radicando“). Si ha:
\[ \sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2} \]
Osserviamo che l’espressione ottenuta è positiva e quindi accettabile.
Il punto chiave del procedimento proposto è dato dal riconoscere che \( \sqrt{21} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \) e che \( \left(\sqrt{7} \right)^2 + \left(-\sqrt{3} \right) ^ 2 = 10 \). E da non dimenticare, abbiamo moltiplicato il radicando della radice più esterna per \( \dfrac{2}{2} \).
In questo caso, con un po’ di ragionamento ci siamo risparmiati un bel po’ di passaggi. Tuttavia, in molte situazioni la formula dei radicali doppi è un ottimo strumento.
Esempio 2
\[ \sqrt{20-5\sqrt{7}} \]
Utilizziamo la formula dei radicali doppi. Tuttavia attenzione: nel radicando abbiamo un radicale con coefficiente, ovvero \( 5\sqrt{7} \). Prima di applicare la formula, dobbiamo portare dentro al simbolo di radice il fattore \( 5 \). Così:
\[ \sqrt{20-5\sqrt{7}}=\sqrt{20-\sqrt{5^2\cdot7}}=\sqrt{20-\sqrt{175}} \]
Possiamo ora applicare la formula:
\[ a^2-b=(20)^2-175=400-175=225 \]
Il risultato ottenuto è positivo ed è inoltre un quadrato perfetto. Infatti \( 15^2=225 \). Possiamo dunque procedere con la formula:
\[ \sqrt{20-5\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{20+15}{2}}-\sqrt{\dfrac{20-15}{2}}=\sqrt{\dfrac{35}{2}}-\sqrt{\dfrac{5}{2}} \]
Possiamo ulteriormente semplificare il risultato utilizzando le proprietà dei radicali ed effettuando una razionalizzazione:
\[ \sqrt{\dfrac{35}{2}}-\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{35}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{70}-\sqrt{10}}{2} \]
METODO ALTERNATIVO
Vediamo di provare a ragionare con il quadrato di un binomio anche in questo caso.
\[ \sqrt{20-5\sqrt{7}} \]
Ora il problema è ricondurre il radicale \( 5\sqrt{7} \) alla forma “due per qualcosa”. L’idea è dividere il radicale per 5 e moltiplicarlo per 2. Si tratterà dunque di moltiplicarlo per la frazione \( \dfrac{2}{5} \). Ma poiché non dobbiamo alterare l’espressione, dovremo per compensazione anche moltiplicare per la frazione inversa, ovvero \( \dfrac{5}{2} \). Scriveremo così:
\[ \sqrt{20-5\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot (20-5\sqrt{7})}= \]
Procediamo portando fuori dalla radice esistente la frazione \( \dfrac{5}{2} \), ponendola sotto una nuova radice. Abbiamo:
\[ = \sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{2}{5}\left(20-5\sqrt{7} \right)}=\sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{8-2\sqrt{7}} \]
Si tratta di trovare due numeri, uno razionale e uno radicale semplice, tali che il loro prodotto sia \( \sqrt{7} \) e la cui somma dei corrispondenti quadrati sia pari a \( 8 \).
Abbiamo:
\[ \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot 1; \qquad (\sqrt{7})^2+1=8 \]
Così possiamo in conclusione scrivere:
\[ \sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{8-2\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot\left(\sqrt{7}-1 \right)=\dfrac{\sqrt{35}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \]
L’espressione ottenuta è accettabile poiché positiva e restituisce un’espressione equivalente a quella ricavata utilizzando la formula dei radicali doppi. Rimane solo da razionalizzare il denominatore.
Per questa lezione sui radicali doppi è tutto. Per ulteriori informazioni sui radicali vi ricordiamo la sezione sui radicali di Altramatica! Buon proseguimento! 🙂