Tra i vari quantificatori esistenti, il primo che introdurremo è il quantificatore universale.
Supponiamo ad esempio di avere la proposizione:
\( a(x) \): “tutti i numeri naturali sono contenuti nell’insieme dei numeri relativi”
Possiamo riscrivere la proposizione in modo del tutto equivalente come segue:
\( a(x) \): “per ogni \( x \) che appartiene all’insieme \( \mathbb{N} \), \( x \in \mathbb{Z} \)”
Il termine “per ogni” può essere sostituito dal simbolo \( \forall \), detto quantificatore universale. Dunque, possiamo esprimere la proposizione \( a(x) \) in modo simbolico così:
\( a(x) \): “\( \forall x \in \mathbb{N}, \quad x \in \mathbb{Z} \)”.
Vediamo ora un altro quantificatore, il quantificatore esistenziale.
Sia data la proposizione:
\( b(x) \):”esiste almeno un numero relativo che non appartiene all’insieme dei numeri naturali”
Poiché nella proposizione affermiamo l’esistenza di un particolare elemento, nel riesprimerla in simboli dobbiamo utilizzare il quantificatore esistenziale, indicato con il simbolo \( \exists \):
\( b(x) \): “\( \exists \: x \in \mathbb{Z} \quad{t.c.} \quad x \notin \mathbb{N} \)”
La proposizione così espressa si legge: “esiste almeno un \( x \) che appartiene a \( \mathbb{Z} \) tale che \( x \) non appartiene a \( \mathbb{N} \)”.
NEGAZIONE DEL QUANTIFICATORE ESISTENZIALE
Il quantificatore esistenziale può essere anche usato nella forma negata, che si indica con il simbolo \( \nexists \). Si legge: “non esiste”, “non c’è alcuno”.
Consideriamo ad esempio la proposizione:
\( c(x) \):”\( \nexists \: x \: \in \mathbb{N} \quad \text{t.c.} \quad x+5 = 4 \)”
Questa si legge: “non esiste alcun numero naturale tale che sommato a \( 5 \) dia \( 4 \)”.
ESISTENZA ED UNICITA’
Se vogliamo intendere che esiste un unico elemento in un insieme che rispetta una data proprietà caratteristica, il quantificatore da utilizzare è il quantificatore di esistenza ed unicità, indicato con il simbolo \( \exists! \).
Ad esempio, consideriamo la proposizione:
\( d(x) \):”Esiste un unico numero nell’insieme dei numeri relativi che è privo di segno”
Essa si può riscrivere in linguaggio simbolico come segue:
\[ d(x):”\exists! \: x \in \mathbb{Z} \quad \text{t.c.} \quad x \: \text{e’ privo di segno} ” \]
Tale numero è, ovviamente, lo zero.
Qui finisce questa breve lezione sui quantificatori. Nella prossima lezione, vedremo l’implicazione logica. A presto! 🙂