Lavorare con le funzioni trigonometriche con la calcolatrice scientifica non è difficile, e richiede soltanto un corretto uso di poche e semplici regole.
Prenderemo qui a riferimento una calcolatrice scientifica con display a due righe. Ormai è questo lo standard, ed esistono calcolatrici di questo tipo addirittura ad un prezzo non superiore ai 10 euro.
Certamente, le calcolatrici con display a linea singola presentano forse il vantaggio di ridurre le pressioni di tasto necessarie per una data operazione, tuttavia non consentono di vedere per intero l’espressione che stiamo inserendo, né tantomeno di visualizzare il risultato contemporaneamente all’espressione corrispondente. Per cui, il mio personalissimo consiglio è quello di lasciare le calcolatrici scientifiche con display a linea singola al loro glorioso passato. 😉
La prima cosa della quale tenere conto quando si lavora con le funzioni trigonometriche con la calcolatrice scientifica è che le ampiezze degli angoli possono essere espresse in gradi o radianti. Di conseguenza, dobbiamo sempre conoscere l’unità di misura degli angoli che la calcolatrice sta utilizzando in un dato momento. Diversamente, otterremo risultati del tutto sbagliati.
Prima di vedere come eseguire i calcoli con le funzioni trigonometriche mediante una calcolatrice scientifica, vediamo le tre unità di misura degli angoli disponibili. E vediamo inoltre come convertire un angolo da un’unità di misura ad un’altra.
Unità di misura degli angoli
Vengono correntemente utilizzate tre diverse unità di misura degli angoli:
- radianti, la cui indicazione nelle calcolatrici è RAD. Si tratta dell’unità di misura utilizzata più di frequente in matematica e in fisica;
- gradi sessagesimali (comunemente detti gradi), indicati nelle calcolatrici con DEG (degrees, gradi). E’ per gli angoli l’unità di misura comunemente usata in generale.
- gradi centesimali, la cui indicazione nelle calcolatrici è GRAD. I gradi centesimali non sono generalmente usati in matematica (almeno a livello scolastico), e oggi hanno applicazioni importanti soltanto in settori molto specifici. Di conseguenza, per i nostri fini i gradi centesimali vanno evitati. Così, attenzione: GRAD per noi non vuol dire gradi, e se vogliamo eseguire i calcoli in gradi sessagesimali dobbiamo assicurarci che la calcolatrice sia impostata su DEG.
Con i radianti indichiamo le ampiezze degli angoli come frazione di \( \pi \). In particolare, \( \pi \) rappresenta l’angolo piatto \( (180°) \) e tutti gli altri angoli vengono espressi come frazioni dell’angolo piatto. Così ad esempio, poiché l’angolo retto ha un’ampiezza pari a metà di quella dell’angolo piatto, si ha:
\[ \dfrac{\pi}{2}=90° \]
Altri esempi:
\[ 2\pi = 360°; \qquad \dfrac{\pi}{4}=45°; \qquad \dfrac{\pi}{6}=30°; \qquad \dfrac{\pi}{3}=60° \]
Si ha infatti, rispettivamente:
\[ 2 \cdot 180° = 360°; \qquad \dfrac{180°}{4}=45°; \qquad \dfrac{180°}{6}=30°; \qquad \dfrac{180°}{3}=60° \]
A questo punto possiamo accendere la calcolatrice scientifica. 😉
Conversione tra gradi e radianti e viceversa con la calcolatrice scientifica
Per effettuare le conversioni degli angoli da una unità di misura ad un’altra, dobbiamo anzitutto capire come “ragiona” la calcolatrice.
Supponiamo di voler convertire l’angolo \( 45° \) in radianti. In tal caso, l’unità di misura di partenza è il grado (sessagesimale, DEG) e l’unità di misura di arrivo è il radiante (RAD).
Ora, l’unità di misura di arrivo dovrà corrispondere all’unità di misura correntemente in uso nella calcolatrice. Nel nostro caso, vogliamo passare ai radianti, e così dobbiamo impostare la calcolatrice nella modalità RAD.
Per fare questo, a seconda del modello di calcolatrice:
- premiamo il tasto MODE ripetutamente finché non compaiono le scritte DEG, RAD e GRAD. Premiamo il tasto corrispondente al numero sotto o a fianco la scritta RAD;
- in altri modelli, dobbiamo invece premere SHIFT e poi MODE (o comunque il tasto SETUP), e premere il tasto corrispondente al numero a fianco della scritta RAD.
Una piccola scritta RAD o R sul display indicherà che siamo nella modalità desiderata. Controlliamo sempre l’unità di misura utilizzata nel display della calcolatrice.
A questo punto, dobbiamo inserire l’ampiezza dell’angolo da convertire (nel nostro caso, dobbiamo convertire \( 45° \) in radianti). Scriviamo anzitutto l’ampiezza dell’angolo di partenza:
Ora, dobbiamo far capire alla calcolatrice che l’unità di misura di questo particolare angolo sono i gradi. Utilizziamo la funzione DRG (solitamente, tasto SHIFT e poi tasto ANS):
Premiamo il tasto \( 1 \). Ora la calcolatrice sa che l’angolo da convertire è in gradi. L’ampiezza dell’angolo inserito sarà ora accompagnata dalla corrispondente unità di misura:
Ed ora è fatta: dobbiamo soltanto premere UGUALE.
E ci siamo: \( 45° \) corrispondono proprio a \( \dfrac{\pi}{4} \) radianti. 🙂
In alcuni modelli di calcolatrice, non otterremo la frazione di \( \pi \) come nell’esempio, ma piuttosto il corrispondente numero decimale. Nel nostro caso otterremo il numero \( 0.785398163 \). Poiché \( \pi \) può essere arrotondato come \( 3.141592654 \), abbiamo:
\[ \dfrac{\pi}{0.785398163}=\dfrac{3.141592654}{0.785398163}\approx 4 \]
e questo ci permette, anche in calcolatrici più semplici, di riconoscere nel numero decimale \( 0.78\dots \) la frazione \( \dfrac{\pi}{4} \). 😉
Un altro esempio. Supponiamo di voler convertire l’angolo pari a \( \dfrac{\pi}{15} \) radianti in gradi. Per fare questo, anzitutto impostiamo la calcolatrice nella modalità operativa DEG (gradi sessagesimali). Utilizziamo per questo il tasto MODE o SETUP a seconda del modello, e selezioniamo DEG. Una piccola D o DEG comparirà sul display.
Inseriamo l’angolo di partenza. Poiché lo indicheremo come frazione di Pi greco, e quindi come un’espressione, dobbiamo racchiudere il tutto fra parentesi. Per cui, apriamo anzitutto una parentesi tonda:
Piuttosto che indicare \( \pi \) con un arrotondamento decimale, è meglio scriverlo come simbolo. Per fare questo, di solito si deve premere il tasto SHIFT, e quindi il tasto nel quale compare il simbolo del Pi greco. Una volta visualizzato il simbolo, basterà premere il tasto della divisione, e immettere il numero \( 15 \). Non dimentichiamo infine di chiudere la parentesi tonda:
Ora, sebbene sia chiaro dal contesto che abbiamo a video un angolo in radianti, ciò non importa. Dobbiamo comunque dire alla calcolatrice che l’angolo di partenza è in radianti. Utilizziamo come fatto in precedenza la funzione DRG, e selezioniamo i radianti. Comparirà nel display quanto segue:
Ora basta premere uguale:
e così otteniamo che \( \dfrac{\pi}{15} \) radianti equivalgono a \( 12° \) sessagesimali. 😉
Probabilmente si fa prima in questo caso a calcolare direttamente:
\[ 180:15 = 12 \]
Tuttavia, in caso di dubbi, la funzione della calcolatrice ci permetterà di non sbagliare.
Utilizzo delle funzioni trigonometriche con la calcolatrice scientifica
Vediamo ora come usare le funzioni trigonometriche con la calcolatrice scientifica.
E’ anzitutto importante relazionare gli angoli notevoli principali ai quadranti:
Ricordiamo la definizione delle funzioni seno e coseno sulla circonferenza goniometrica:
Confrontando le due figure, dobbiamo immediatamente ricordarci ad esempio che:
\[ \cos (90°) = 0; \qquad \sin (90°) = 1; \]
e che:
\[ \cos \left(\dfrac{\pi}{2} \right)=0; \qquad \sin \left(\dfrac{\pi}{2} \right)=1 \]
Così, possiamo verificare rapidamente se la calcolatrice è in modalità gradi (DEG) o radianti (RAD). Infatti, se siamo nella modalità gradi dovremo ottenere ad esempio:
E se siamo nella modalità radianti:
Ricordiamo che dobbiamo sempre racchiudere l’argomento delle funzioni trigonometriche entro le parentesi tonde. Ciò in realtà può essere evitato in alcuni modelli se l’argomento è una singola lettera o un numero e se non siamo nel contesto di un’espressione con altri calcoli. Tuttavia, utilizzando le parentesi sempre siamo più sicuri di non sbagliare.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \sin(45°) \cdot 20 \]
Assicuriamoci anzitutto che la calcolatrice sia in modalità DEG (gradi sessagesimali). Quindi, utilizzando il tasto SIN:
Il particolare modello di calcolatrice considerato (CASIO FX 991EX Plus 2) visualizza ove possibile il risultato esatto (nella modalità MathIO). Se vogliamo il risultato approssimato, ovvero in forma decimale, basterà selezionare la modalità LineIO dal menù SET UP.
Così, potremo in alternativa ottenere, in base alla modalità di visualizzazione scelta e/o al modello di calcolatrice:
Esempio 2
Calcolare:
\[ \sin \left(\dfrac{\pi}{2} \right) \cdot \tan \left(\dfrac{\pi}{6} \right) \]
Assicuriamoci che la calcolatrice sia in modalità RAD (radianti). Quindi, utilizzando i tasti SIN e TAN per le corrispondenti funzioni trigonometriche, avremo:
Esempio 3
Dato il seguente triangolo rettangolo, calcolare l’angolo \( \alpha \) in gradi:
Abbiamo i due cateti. Si ha:
\[ \tan \alpha = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} \]
e quindi:
\[ \alpha = \arctan \left(\dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} \right) \]
Nel nostro caso, per ricavare l’angolo utilizzeremo la funzione inversa della tangente, ovvero la funzione arcotangente.
Le funzioni inverse si ottengono solitamente premendo il tasto SHIFT, seguito poi dalla funzione trigonometrica “diretta”. Quindi, per ottenere la funzione arcotangente, dovremo premere SHIFT, seguito dal tasto TAN (tangente).
Assicuriamoci che la calcolatrice stia utilizzando i gradi (DEG). Quindi avremo:
Così l’angolo cercato è in conclusione pari a circa \( 32° \). 🙂
Direi che per l’utilizzo della calcolatrice scientifica con le funzioni trigonometriche è tutto. Come ribadito più volte, l’importante è sapere sempre con quale unità di misura degli angoli stiamo operando. Una volta fatta l’abitudine col prestare attenzione a questo aspetto, il resto sono procedure piuttosto immediate.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂