In questa lezione approfondiamo il discorso relativo alla formula ridotta (o formula del delta quarti) utilizzata per risolvere le equazioni di secondo grado. In particolare, vedremo come si ottiene la formula ridotta e presenteremo inoltre una sua variante detta formula ridottissima.
Nel corso della lezione evidenzieremo l’utilità della formula ridotta anche mediante alcuni esempi. In tal modo integreremo gli esercizi già disponibili nella scheda delle equazioni di secondo grado.
Vediamo allora subito come si ottiene la formula ridotta (o formula del delta quarti).
Come ricavare la formula ridotta per le equazioni di secondo grado
Vediamo di ottenere una versione semplificata della formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado complete:
\[ ax^2+bx+c=0 \qquad a \neq 0, \: a,b,c \in \mathbb{R} \]
Riprendiamo la formula generale:
\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Osserviamo che dentro la radice abbiamo un termine \( 4ac \). Per rendere la formula più semplice, a noi piacerebbe avere al suo posto il termine \( ac \). Per fare questo, ciò che occorre è dividere i termini dentro la radice per \( 4 \) (di qui il nome “delta quarti”). Ma poiché dobbiamo ottenere una formula equivalente a quella di partenza, dobbiamo lavorare ovviamente anche nei termini fuori radice.
Dividere per quattro il radicando equivale ovviamente a moltiplicare per \( \dfrac{1}{4} \) il radicando stesso. Osserviamo allora che se abbiamo la frazione \( \dfrac{1}{4} \) dentro radice, questa può essere portata fuori ottenendo la frazione \( \dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2} \).
Quello che allora possiamo fare è dividere numeratore e denominatore del secondo membro della formula risolutiva per \( 2 \). Ciò effettivamente equivale a moltiplicare numeratore e denominatore per la frazione \( \dfrac{1}{2} \):
\[ x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left(-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \right)}{\dfrac{1}{2} \cdot 2a} \]
Abbiamo:
\[ x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(-b)\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{b^2-4ac}}{a} \]
A questo punto portiamo una frazione \( \dfrac{1}{2} \) dentro al simbolo di radice:
\[ x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(-b)\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(b^2-4ac \right)}}{a} \]
Eseguiamo il prodotto dentro la radice:
\[ x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(-b)\pm\sqrt{\left(\dfrac{b^2}{4}-ac \right)}}{a} \]
A questo punto vediamo che effettivamente siamo riusciti a dividere per 4 il termine \( 4ac \), come desideravamo. A questo punto riordiniamo i calcoli ed in particolare osserviamo che \( \dfrac{b^2}{4}=\left(\dfrac{b}{2} \right)^2 \). Otteniamo in conclusione:
\[ x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac }}{a} \]
Questa è la formula risolutiva ridotta per le equazioni di secondo grado.
Osserviamo che abbiamo il termine \( \dfrac{b}{2} \) e non più \( b \). Ciò rende conveniente l’impiego della formula risolutiva ridotta soltanto quando il coefficiente \( \mathbf{b} \) è pari.
Vediamo subito un paio di esempi sull’uso della formula ridotta. 😉
Esempi di utilizzo della formula ridotta per le equazioni di secondo grado
Esempio 1
\[ 2x^2-10x+1=0 \]
Nell’equazione abbiamo \( a=2, \: b=-10, \: c = 1 \). Poiché \( b \) è pari applichiamo la formula ridotta:
\[ \begin{align} & x_{1,2} = \dfrac{-\dfrac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac }}{a} = \dfrac{\dfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{10}{2} \right)^2-2 \cdot 1}}{2}= \\ \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{\dfrac{100}{4}-2}}{2}=\dfrac{5 \pm \sqrt{25-2}}{2}=\begin{cases}\dfrac{5+\sqrt{23}}{2} \\ \\ \dfrac{5 – \sqrt{23}}{2} \end{cases} \end{align} \]
Abbiamo così in conclusione:
\[ S = \left\{\dfrac{5 – \sqrt{23}}{2} ,\quad \dfrac{5+\sqrt{23}}{2} \right\} \]
Esempio 2
\[ x^2-3x+2=0 \]
Qua abbiamo due alternative. La prima è applicare la formula risolutiva generale (infatti \( b \) in questo caso è dispari). La seconda alternativa (che è quella che useremo) consiste nell’utilizzare il secondo principio di equivalenza e moltiplicare tutti i termini dell’equazione per \( 2 \). In questo modo, il coefficiente \( b \) della nuova equazione sarà pari:
\[ 2x^2-6x+4=0 \]
Osserviamo che è conveniente fare questo soltanto se i coefficienti nell’equazione di partenza sono numeri “piccoli”, ovvero numeri che seppur raddoppiati non andranno a complicare troppo i calcoli. Abbiamo così:
\[ \begin{align} &x_{1,2}=\dfrac{-\left(\dfrac{-6}{2} \right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2} \right)^2-2 \cdot 4}}{2}= \\ \\ & = \dfrac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \begin{cases} \dfrac{3 + 1}{2}= 2\\ \\ \dfrac{3-1}{2}=1 \end{cases}\end{align} \]
Otteniamo così in conclusione:
\[ S = \left\{1, \: 2 \right\} \]
Formula ridottissima
Presentiamo infine un’ultima formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, detta formula ridottissima:
\[ x_{1,2} = -\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2} \right)^2-c} \]
Questa è specifica per il caso in cui si abbia:
- coefficiente \( a \) uguale a 1;
- coefficiente \( b \) pari, come nel caso della formula ridotta.
La formula ridottissima si ricava dalla formula ridotta semplicemente sostituendo \( a=1 \).
Esempio d’uso della formula ridottissima
\[ x^2-6x+8=0 \]
Abbiamo \( a=1 \) e \( b \) pari, quindi procediamo con la formula ridottissima:
\[ \begin{align}&x_{1,2} = -\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2} \right)^2-c}= \\ \\ & = -\left(\dfrac{-6}{2} \right) \pm \sqrt{\left( \dfrac{-6}{2}\right)^2-8} = \\ \\ &=3 \pm \sqrt{9-8}= 3 \pm 1 = \begin{cases}4 \\ \\ 2 \end{cases} \end{align} \]
Conclusioni
Per quanto riguarda come ricavare la formula ridotta per le equazioni di secondo grado e il suo utilizzo è tutto. Ricordiamo che la formula risolutiva generale è sempre valida e poteva essere tranquillamente utilizzata per risolvere le precedenti equazioni. La formula ridotta (o formula del delta quarti) semplifica i calcoli ma è comunque da considerare come una carta da giocare in più. L’utilizzo della formula risolutiva generale anche nei casi in cui il coefficiente \( b \) è pari è comunque corretto.
Abbiamo riportato la formula ridottissima più che altro per completezza, ma questa è di utilità a nostro avviso piuttosto modesta.
Nella prossima lezione vedremo come risolvere le equazioni di secondo grado mediante la scomposizione in fattori. Inoltre, ci occuperemo anche del problema inverso, ovvero come utilizzare le soluzioni di un’equazione di secondo grado per la scomposizione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂