Facciamo un passo indietro. Negli esercizi svolti nella precedente lezione, abbiamo applicato i principi di equivalenza e tutte le regole che ne derivano in modo da riscrivere l’equazione data in un determinato modo.
In particolare, in ciascun esercizio abbiamo sempre eseguito delle operazioni sui membri dell’equazione fino a ritrovarci con termini tutti in \( x \) in un membro e con termini tutti numerici nell’altro membro. 
A questo punto, sempre come negli esercizi svolti in precedenza, sommiamo i termini simili al primo membro e al secondo membro, in modo da avere a sinistra e a destra dell’uguale un solo termine.
Osserviamo che questa scrittura è particolare. In un membro abbiamo un solo termine contenente la \( x \), mentre nell’altro membro abbiamo un solo termine che è un numero. Nella scrittura abbiamo soltanto due numeri: il coefficiente della \( x \), ed il numero a destra dell’uguale.
Ora, se chiamiamo i due numeri rispettivamente con \( a \) e \( b \), possiamo scrivere la precedente nella seguente forma generale:
Un’equazione di primo grado scritta in questo modo si dice equazione in forma normale o forma tipica.
Il numero \( a \) si dice coefficiente del termine in \( x \), mentre il numero \( b \) si dice termine noto.
Così ad esempio le seguenti equazioni:
\[ \large \begin{align} 5x &= 9 \\ \\ 7x &= 14 \\ \\ 2x &= -4 \end{align} \]
sono tutte equazioni di primo grado scritte in forma normale.
La soluzione di un’equazione di primo grado scritta in forma normale sarà così, se esiste:
Questa è la formula risolutiva per le equazioni di primo grado.
Osserviamo che la formula ottenuta è semplicemente un’applicazione del secondo principio di equivalenza. Infatti:
\[ \large \begin{align}ax &= b \\ \\ \dfrac{ax}{a} &=\dfrac{b}{a} \\ \\ x &= \dfrac{b}{a}\end{align} \]
E’ importante notare che, poiché non è possibile dividere per zero, la formula ha senso solo per \( a \neq 0 \) (un uguale sbarrato significa “diverso”). Quindi, la soluzione dell’equazione esiste ed è unica soltanto se il coefficiente della \( x \) è diverso da zero.
Vedremo questo nel dettaglio nella prossima lezione, nella quale mostreremo come si discute un’equazione di primo grado. 😉
NOTA: per un’equazione di primo grado abbiamo anche la forma normale:
\[ax+b=0 \]
La tendenza è quella di usare la forma precedente alle scuole medie e di utilizzare questa forma nelle scuole superiori. La forma normale con il secondo membro uguale a zero è quella più comune ed è quella usata in generale per equazioni di vario tipo. Tuttavia, a questo livello la forma normale \( ax=b \) torna più comoda per ricavare la soluzione dell’equazione.
In conclusione, possiamo quindi affermare che data un’equazione, dobbiamo applicare tutte le regole che conosciamo in modo da riuscire a scriverla in forma normale. Una volta fatto questo, potremo ricavare facilmente la soluzione grazie alla formula \( x = \dfrac{b}{a} \). 😉
Esempio (forma normale di un’equazione di primo grado)
Risolvere l’equazione:
\[5x-40=2-x\]
Traportiamo i termini in modo da ricondurre l’equazione alla forma normale. Per fare questo, possiamo ad esempio trasportare il termine \(-40 \) al secondo membro e il termine\( -x \) al primo membro. Nel trasportare i termini, ricordiamo sempre di cambiare i segni ai termini che trasportiamo. Abbiamo:
\[ 5x\mathbf{+x}=2\mathbf{+40} \]
Sommiamo i termini simili:
\[ 6x=42 \]
Ora l’equazione è scritta in forma normale o ridotta in forma normale. Poiché in generale la forma normale è espressa come \( ax=b \) e la soluzione dell’equazione è data da \( x = \dfrac{b}{a} \), abbiamo per il nostro caso ove \( a=6 \) e \( b=42 \):
\[ x = \dfrac{42}{6} \]
ovvero:
\[ x=7 \]
Per concludere, osserviamo che la formula risolutiva delle equazioni di primo grado è uno strumento in più rispetto a quello che già abbiamo, ovvero i principi di equivalenza e le loro conseguenze. Così, possiamo benissimo risolvere le equazioni di primo grado senza sapere la formula risolutiva a memoria. Allo stesso tempo, se ci può far comodo un riferimento mnemonico, la formula risolutiva è a nostra disposizione. 😉
Per questa lezione sulla forma normale di una equazione di primo grado è tutto. Nella prossima lezione, mostreremo la discussione di un’equazione di primo grado. Ciao a tutti! 🙂