Gli esercizi di logica (livello base) qui presentati sono tarati per difficoltà crescente, anche se comunque il livello di difficoltà è piuttosto soggettivo. Gli esercizi sono tutti svolti. Tuttavia, il mio consiglio è quello di provare da soli fin da subito. Buon lavoro! 🙂
Esercizio 1
Riscrivere in modo simbolico la seguente frase: “condizione sufficiente affinché \( x \) sia dispari è che \( x \) sia primo”.
SVOLGIMENTO
Dalla definizione di implicazione logica sappiamo che se \( A \Rightarrow B \), allora \( A \) è condizione sufficiente per \( B \). Ovvero, dalla verità di \( A \) discende la verità di \( B \). Dovremo quindi scrivere:
\[ x \: \text{e’ primo} \Rightarrow x \: \text{e’ dispari} \]
Volendo possiamo anche osservare che \( A \) non è condizione necessaria per \( B \) poiché esistono numeri dispari che non sono primi.
Esercizio 2
Riscrivere in modo simbolico la frase: “Se Luca è felice, Laura è felice, e se Luca non è felice, Laura non è felice”.
SVOLGIMENTO
Dalla frase possiamo ricavare due implicazioni logiche (ipotizziamo un sentimento tra Laura e Luca e quindi un nesso logico tra la felicità di Laura e quella di Luca):
\( p: \)”Se Luca è felice \( \Rightarrow \) Laura è felice”
\( q: \)”Se Luca non è felice \( \Rightarrow \) Laura non è felice”
Ora, ricordiamo che se è vera \( a \Rightarrow b \), allora è anche vera la sua contronominale (\( \overline{b} \Rightarrow \overline{a} \)).
Nel nostro caso, \( p \) è formata dalle due proposizioni atomiche:
\[ a:”\text{Luca e’ felice}” \qquad b:”\text{Laura e’ felice}” \]
Mentre \( q \) è formata da due proposizioni che sono proprio le negate delle precedenti:
\[ \overline{a}:”\text{Luca non e’ felice}” \qquad \overline{b}:”\text{Laura non e’ felice}” \]
Proviamo allora a scrivere le proposizioni controinverse (o contronominali) di entrambe le proposizioni:
\( p’: \) “Se Laura non è felice \( \Rightarrow \) Luca non è felice”
\( q’: \) “Se Laura è felice \( \Rightarrow \) Luca è felice”
Le due proposizioni sono entrambe vere in quanto contronominali di proposizioni vere.
Ora, poiché in tutte le proposizioni scritte non si verifica mai che Laura è felice e allo stesso tempo Luca non è felice e viceversa, abbiamo in conclusione:
\[ \text{Laura e’ felice} \quad \iff \quad \text{Luca e’ felice} \]
Romantico no?
Esercizio 3
Riscrivere in simboli la seguente frase: “Una condizione necessaria e sufficiente perché io sia felice e che io stia bene”.
SVOLGIMENTO
Per quanto sappiamo sulla coimplicazione logica, la risposta non può essere che la seguente:
\[ \text{“Io sto bene”} \iff \text{“Io sono felice”} \]
Esercizio 4
Riscrivere in modo simbolico la seguente frase: “Giovanna andrà al cinema solo se verrà proiettato un film comico”.
SVOLGIMENTO
La frase ci dice che Giovanna andrà al cinema nell’unica circostanza in cui al cinema verrà proiettato un film comico.
Quindi, se al cinema non verrà proiettato un film comico Giovanna non andrà al cinema. Invece, se verrà proiettato un film comico Giovanna andrà al cinema. Dunque, le proposizioni “Giovanna andrà al cinema” e “Al cinema verrà proiettato un film comico” sono logicamente equivalenti. Ovvero, una non può essere vera e l’altra falsa.
In modo del tutto analogo, possiamo osservare che la proposizione “Al cinema verrà proiettato un film comico” è condizione sia necessaria, sia sufficiente affinché Giovanna vada al cinema. Infatti, in accordo con la frase data possiamo scrivere entrambe le seguenti proposizioni:
“Se verrà proiettato un film comico, allora Giovanna andrà al cinema” (C.N.)
“Se Giovanna andrà al cinema, allora vuol dire che verrà proiettato un film comico” (C.S.)
Per cui vale la coimplicazione, equivalente alla frase di partenza:
\[ \text{“Giovanna andra’ al cinema”} \iff \text{“Verra’ proiettato un film comico”} \]
Osserviamo che il tutto si regge sull’assunzione che Giovanna andrà al cinema sempre ed esclusivamente se viene proiettato un film comico (nella frase iniziale compare il termine “solo se”). Cioè, viene inteso che è impossibile che venga proiettato un film comico senza che Giovanna non vada a vederlo.
Qui termina questo primo gruppo di esercizi sulla logica (livello base). Nella prossima esercitazione vedremo esercizi riguardanti le espressioni logiche. Un cordiale saluto a tutti! 🙂