La secante e la cosecante di un angolo, in maniera simile a quanto visto per tangente e cotangente, possono essere ottenute in funzione del coseno o del seno di quello stesso angolo.
Forniremo ora la definizione di secante e cosecante di un dato angolo \( \alpha \) utilizzando la circonferenza goniometrica.
Definizione di secante e cosecante di un angolo
Come da abitudine, consideriamo un angolo \( \alpha \) sulla circonferenza goniometrica. Il suo primo lato coinciderà quindi con l’asse delle ascisse, mentre il suo secondo lato individuerà, sulla circonferenza goniometrica, un punto indicato con \( P \).
Consideriamo la retta \( t_P \), ovvero la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto \( P \). Tale retta incontrerà gli assi coordinati nei punti \( S \) e \( C \) .
Si definisce secante dell’angolo \( \alpha \), e si scrive \( sec(\alpha) \), l’ascissa del punto \( S \), ovvero la misura di \( \overline{OS} \):
\[ sec(\alpha) = \overline{OS} \]
Osserviamo che se la retta \( t_P \) è parallela all’asse delle \( x \), il punto \( S \) non può esistere, poiché la retta \( t_P \) e l’asse delle \( x \) non si intersecano. Quindi, la secante non sarà definita in tutti gli angoli in cui questo avviene, e cioè:
\[ x = \frac{\pi}{2}+k\pi, \: k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \nexists sec(x) \]
Si definisce cosecante dell’angolo \( \alpha \), e si scrive \( cosec(\alpha) \), l’ordinata del punto \( C \), ovvero la misura di \( \overline{OC} \):
\[ cosec(\alpha)=\overline{OC} \]
Osserviamo che se la retta \( t_P \) è parallela all’asse delle \( y \), il punto \( C \) non può esistere, poiché la retta \( t_P \) e l’asse delle \( y \) non si intersecano. Quindi, la cosecante non sarà definita in tutti gli angoli in cui questo avviene, e cioè:
\[ x = k\pi, \: k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \nexists cosec(x) \]
Vediamo ora come è possibile esprimere la secante e la cosecante in funzione di coseno e seno 🙂
Secante in funzione del coseno
Prendiamo ancora la figura riportata poco sopra, e cominciamo a ragionare con la secante.
Consideriamo il triangolo rettangolo \( OPS \): esso ha come ipotenusa \( \overline{OS} \) la cui misura, non a caso, è la secante dell’angolo \( \alpha \).
Osserviamo che tale triangolo è simile al triangolo \( OPH \). Quindi, considerati i due triangoli simili, possiamo mettere in relazione le rispettive ipotenuse ed i rispettivi cateti adiacenti all’angolo \( \alpha \) tramite la seguente proporzione:
\[ \overline{OS}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{OH} \]
Osservando che:
\[ \overline{OS}=sec(\alpha); \qquad \overline{OH}=cos(\alpha); \qquad \overline{OP}=1 \]
possiamo riscrivere la proporzione come:
\[ sec(\alpha):1=1:cos(\alpha) \]
In una proporzione, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:
\[ sec(\alpha) \cdot cos(\alpha)=1 \]
quindi otteniamo in conclusione:
\[ \boxed{\begin{align} & \\ & sec(\alpha)=\frac{1}{cos(\alpha)} \\ & \end{align}} \]
L’espressione è naturalmente valida solo per \( x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi, \: k \in \mathbb{Z} \).
Cosecante in funzione del seno
Passiamo ora alla cosecante. Ragioniamo sempre nella precedente figura, che per comodità riportiamo di nuovo:
Consideriamo il triangolo rettangolo \( OCP \). Questo ha per ipotenusa \( \overline{OC} \), la cui misura è per definizione la cosecante di \( \alpha \).
Il triangolo \( OCP \) è simile al triangolo \( OPH \). Le rispettive ipotenuse e cateti opposti ad \( \alpha \) stanno dunque in proporzione tra loro:
\[ \overline{OC}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{PH} \]
Essendo:
\[ \overline{OC}=cosec(\alpha); \qquad \overline{PH}=sen(\alpha); \qquad \overline{OP}=1 \]
la precedente proporzione diventa:
\[ cosec(\alpha): 1 = 1 : sen(\alpha) \]
Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:
\[ cosec(\alpha) \cdot sen(\alpha)=1 \]
In conclusione si ottiene:
\[ \boxed{\begin{align}& \\ & cosec(\alpha)=\frac{1}{sen(\alpha)} \\ & \end{align} } \]
L’espressione è naturalmente valida solo per \( x \neq k \pi, \: k \in \mathbb{Z} \).
Abbiamo finalmente fatto la conoscenza delle principali funzioni trigonometriche. Nella prossima lezione parleremo degli archi associati.