Vediamo ora un esercizio relativo ad un limite di un’esponenziale con seno e coseno. Abbiamo cioè nell’espressione del limite una funzione esponenziale a base variabile avente sia alla base, sia all’esponente delle funzioni trigonometriche.
Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x ^{\dfrac{1}{|\sin x|}} \]
Siamo in presenza di una forma indeterminata \( 1^{+\infty} \). Poiché nell’espressione all’interno del limite abbiamo una funzione esponenziale a base variabile, l’esercizio si può risolvere utilizzando la relazione:
\[ \boxed{f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\log(f(x))}} \]
ponendo \( f(x)=\cos x \) e \( g(x)=\dfrac{1}{|\sin x|} \).
Abbiamo quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x ^{\small\dfrac{1}{|\sin x|}}=e^{\small\dfrac{1}{|\sin x|}\log(\cos x)} \]
Calcoliamo il limite dell’esponente:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{|\sin x|}\log(\cos x)= \]
Cominciamo applicando l’uguaglianza asintotica \( \sin x \: \sim_{x \to 0} \: x \):
\[ = \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}\log(\cos x) \quad (*) \]
Ora, consideriamo il limite notevole del logaritmo espresso in \( f(x) \):
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1 \]
L’idea è quella di riesprimere il numeratore dell’espressione all’interno del limite in modo da poter applicare l’equivalenza asintotica che deriva da tale limite notevole, e cioè:
\[ \log(1+f(x)) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Aggiungiamo e togliamo \( 1 \) all’argomento del logaritmo nel limite:
\[ \begin{align} (*) \quad &= \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}\log(\cos x + 1 -1) =\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}\log((\cos x – 1) + 1)= \\ \\ & \end{align} \]
Di conseguenza, possiamo ora applicare l’equivalenza asintotica precedente, ponendo \( f(x)=\cos x – 1 \). Si ha:
\[ =\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}(\cos x – 1)=-\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}(1-\cos x)= \]
Abbiamo evidenziato il segno meno in modo da poter applicare l’equivalenza asintotica \( 1 – \cos x \: \sim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2} \). Quindi:
\[ =-\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{|x|}\dfrac{x^2}{2}=0 \]
Per la tecnica di confronto fra infinitesimi otteniamo il risultato. Al denominatore abbiamo infatti l’infinitesimo di ordine superiore, poiché \( x^2 \) tende a zero più rapidamente di \( |x| \).
Ora che conosciamo il limite dell’esponente, possiamo dire per il limite di partenza:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x ^{\dfrac{1}{|\sin x|}}=e^{\small\dfrac{1}{|\sin x|}\log(\cos x)}=e^0=1 \]
Qui finisce lo svolgimento relativo ad un limite di un’esponenziale con seno e coseno.