Utilizzando le definizioni di coseno e seno, è possibile determinare i valori di coseno e seno di determinati angoli definiti notevoli o caratteristici.
Considerando le definizioni fornite, sarà sicuramente non difficile determinare i valori di coseno e seno degli angoli individuati dai punti di intersezione tra la circonferenza goniometrica e gli assi coordinati.
Restringiamo la nostra analisi agli angoli positivi appartenenti all’intervallo \( [0, \:2\pi] \). Osserviamo che al punto (1,0) corrisponde l’angolo di 0°. Dato che il coseno dell’angolo sarà per definizione la coordinata \( x \) di tale punto e il seno di quello stesso angolo sarà la coordinata \( y \) di tale punto, avremo:
\[ cos(0)=1; \qquad sen(0) = 0 \]
Il punto (0,1) è individuato dall’angolo \( \frac{\pi}{2} \) o 90°. Avremo:
\[ cos \left(\frac{\pi}{2} \right)=0; \qquad sen\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \]
Al punto (-1,0) corrisponde l’angolo di ampiezza \( \pi \) o 180°. Perciò:
\[ cos(\pi)=-1; \qquad sen(\pi)=0 \]
Passiamo al punto (0,-1). Tale punto è individuato sulla circonferenza goniometrica da un angolo di \( \frac{3}{2} \pi \) o 270°. Di conseguenza:
\[ cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)=0; \qquad sen\left(\frac{3}{2}\pi\right) = -1 \]
Abbiamo infine l’angolo giro, \( 2\pi \) o 360°, il quale avrà evidentemente gli stessi valori del seno e del coseno dell’angolo 0°.
\[ cos(2\pi)=1; \qquad sen(2\pi)=0 \]
Vediamo ora di calcolare i valori di coseno e seno per gli angoli notevoli pari a \( \pi/6, \: \pi/4 \) e \( \pi/3 \), rispettivamente 30°, 45° e 60°.
Un po’ come nel disegno tecnico sono stati individuati degli angoli particolari e sono state realizzate delle squadre che permettono di tracciare linee con le corrispondenti pendenze, allo stesso modo sono stati individuati in matematica questi angoli particolari dei quali è agevole trovare i valori delle funzioni seno e coseno.
Valori di coseno e seno per un angolo di 30°
Disegniamo la circonferenza goniometrica e riportiamo su di essa un angolo \( \alpha = 30° \) o \( \pi/6 \).
Sia \( H \) la proiezione del punto \( P \) sull’asse delle \( x \), e sia \( P’ \) un punto avente la stessa ascissa di \( P \) ma ordinata opposta (stessa coordinata in \( x \), opposta coordinata in \( y \)).
Osserviamo che il triangolo \( OPP’ \) è un triangolo equilatero (cioè con tutti i lati uguali) avente lato \( OP \) e quindi uguale a 1.
Di conseguenza, la misura di \( OH \) sarà pari all’altezza di un triangolo equilatero di lato unitario. Per il teorema di Pitagora:
\[ \overline{OH} = \sqrt{1^2-\overline{PH}^2}=\sqrt{1- \left( \frac{\overline{OP}}{2} \right )^2} = \sqrt{1- \left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Per definizione, la misura di \( \overline {OH} \) rappresenta il coseno dell’angolo \( \alpha = 30° \) o \( \pi/6 \). Quindi:
\[ cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Ora, essendo il triangolo equilatero sappiamo che la misura di \( \overline{PP’} \) è pari a 1. Di conseguenza, la misura di \( \overline{PH} \) sarà pari a \( 1/2 \) e per definizione:
\[ sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} \]
Abbiamo così ottenuto i valori del coseno e del seno dell’angolo \( \pi/6 \) o 30° 🙂
Valori di coseno e seno per un angolo di 45°
Riportiamo ora sulla circonferenza goniometrica un angolo positivo di 45° (o \( \frac{\pi}{4} \)).
Come al solito, \( P \) è il punto individuato sulla circonferenza goniometrica dal secondo lato dell’angolo \( \alpha \).
Sia \( P’ \) la proiezione del punto \( P \) sull’asse \( y \). Possiamo così individuare il quadrato \( OHPP’ \) la cui diagonale è \( \overline{OP} \).
Per le definizioni di coseno e di seno, i loro valori in corrispondenza dell’angolo \( \displaystyle \frac{\pi}{6} \) sono entrambi uguali alla misura del lato del quadrato avente diagonale 1.
Per cui, o ricordandoci a memoria la formula del lato di un quadrato espresso in funzione della diagonale, oppure applicando il teorema di Pitagora, possiamo determinare i valori del coseno e seno dell’angolo considerato. In particolare, per Pitagora abbiamo:
\[ 2 \cdot \overline{OH}^2= \overline{OP}^2 ;\qquad2 \cdot \overline{PH’}^2=\overline{OP}^2 \]
Essendo \( \overline{OP} = 1 \):
\[ 2 \cdot \overline{OH}^2= 1 ;\qquad2 \cdot \overline{PH’}^2=1 \]
Avremo quindi:
\[ \overline{OH}=\frac{1}{\sqrt{2}}; \qquad \overline{PH}=\frac{1}{\sqrt{2}}; \]
Razionalizzando i risultati ottenuti abbiamo:
\[ \overline{OH}=\frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad \overline{PH}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Abbiamo semplicemente moltiplicato ciascun termine per \( \dfrac{\sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \) 😉
E in conclusione, per le definizioni di coseno e seno:
\[ cos \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad sen \left(\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Abbiamo così trovato i valori di coseno e seno per l’angolo \( \displaystyle \frac{\pi}{4} \) o 45° 😉
Valori di coseno e seno per un angolo di 60°
Dai che siamo quasi arrivati 🙂 Riportiamo ancora una volta l’angolo considerato – questa volta \( \displaystyle \frac{\pi}{3} \) o 60° – sulla circonferenza goniometrica:
Il punto \( H \) è la proiezione del punto \( P \) sull’asse delle \( x \). \( Q \) è il punto di coordinate (1,0). E’ possibile individuare nella figura il triangolo equilatero \( OPQ \).
Essendo il triangolo equilatero, vediamo immediatamente che:
\[ \overline{OH}=\frac{1}{2} \]
\( \overline{PH} \) è la misura dell’altezza di un triangolo equilatero di lato 1. Per cui, analogamente a quanto visto per il caso \( \alpha = 30° \), possiamo scrivere:
\[ \overline{PH}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Possiamo dunque scrivere, ancora una volta per le definizioni di coseno e seno:
\[ cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
A questo punto, ricapitolando, sappiamo dire tutti i valori degli angoli notevoli nel primo quadrante 🙂
\[ \begin{align} &\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:cos(0)=1; \qquad sen(0) = 0 \\ \\ &cos\left(\frac{\pi} {6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi} {6}\right)=\frac{1}{2} \\ \\ &cos\left(\frac{\pi} {4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi} {4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &\:\:\:cos\left(\frac{\pi} {3}\right)=\frac{1}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi} {3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ & \:\:\:\:cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0; \qquad sen\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\end{align} \]
Valori di coseno e seno negli altri quadranti
Ora che abbiamo i valori del coseno e del seno di un angolo per gli angoli notevoli nel primo quadrante, possiamo facilmente determinare i loro valori nei rimanenti tre quadranti.
Osserviamo infatti che per i punti individuati nella circonferenza goniometrica dagli angoli notevoli (nel primo quadrante) abbiamo le seguenti simmetrie rispetto agli assi \( x \) e \( y \):
I punti \( P_1, \: P_2, \: P_3, \: P_4 \) e \( P_5 \) corrispondono come sappiamo agli angoli notevoli \( 0,\: \dfrac{\pi}{6},\: \dfrac{\pi}{4},\: \dfrac{\pi}{3} \) e \( \dfrac{\pi}{2} \).
Gli altri punti sono stati ottenuti sfruttando semplici relazioni di simmetria. Ad esempio, \( P_{2x} \) è simmetrico rispetto al punto \( P_2 \) rispetto all’asse \( x \), di conseguenza avrà la stessa coordinata in \( x \) di \( P_{2} \) e coordinata in \( y \) uguale all’opposto della coordinata \( y \)di \( P_2 \).
Inoltre, \( P_{2y} \) è punto simmetrico di \( P_{2} \) rispetto all’asse \( y \), di conseguenza avrà la stessa coordinata \( y \) di \( P_2 \) e avrà coordinata \( x \) opposta a quella di \( P_2 \).
Infine, \( P_{2O} \) è un punto simmetrico a \( P_{2} \) rispetto ad entrambi gli assi. Di conseguenza, entrambe le sue coordinate sono opposte a quelle di \( P_{2} \).
Estendendo queste considerazioni ai rimanenti punti e tenendo conto dei valori di coseno e seno che abbiamo calcolato per gli angoli notevoli, possiamo disegnare il seguente diagramma. In esso, sono riportati i valori del coseno e del seno degli angoli corrispondenti a punti nella circonferenza goniometrica in tutti e quattro i quadranti.
I valori degli angoli si ottengono tenendo conto della convenzione stabilita per gli angoli positivi.
Il diagramma presenta, per ogni punto, la coppia di valori \( (cosx, senx) \) corrispondente e il relativo angolo espresso in gradi.
Con opportune tecniche di calcolo è possibile ottenere molti altri valori in modo da poter disegnare l’andamento delle funzioni coseno e seno nel dominio reale.
Le funzioni coseno e seno
Viste come funzioni, il coseno ed il seno sono funzioni limitate. Infatti, non possono assumere, in valore assoluto, valori maggiori di 1. Ciò è ovviamente conseguenza del fatto che la circonferenza goniometrica è di raggio unitario.
Volendo rappresentare queste funzioni in un riferimento cartesiano, l’asse delle ascisse conterrà gli angoli, solitamente espressi in radianti. Siccome la circonferenza goniometrica permette di esprimere un angolo compiendo anche più giri su di essa, in senso sia orario, sia antiorario, è possibile rappresentare queste funzioni nell’intero asse reale.
La funzione coseno
Rappresentiamo a seguire l’andamento della funzione coseno. La curva che si ottiene è detta cosinusoide.
Osserviamo che gli stessi valori della funzione che si hanno in corrispondenza dell’intervallo \( [0, 2\pi] \) si hanno anche negli intervalli \( ]2\pi, 4 \pi] \), \( ]4\pi, 6\pi] \), ecc. Questi stessi valori si hanno anche negli intervalli \( [-2\pi, 0] \), \( [-4\pi, -2\pi[ \), ecc. Si ha cioè questa periodicità nei valori assunti percorrendo la circonferenza goniometrica in entrambi i versi antiorario e orario 😉
Diciamo dunque che la funzione coseno ha periodo \( 2\pi \) e possiamo scrivere:
\[ cos(x)=cos(x+2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \]
Osserviamo che in corrispondenza dell’origine degli assi, la funzione coseno ha valore 1. E’ importantissimo ricordarsi questo per tracciare correttamente la funzione 😉
La funzione seno
Rappresentiamo a seguire la funzione seno. L’andamento che si ottiene è quello di una curva chiamata sinusoide.
Come possiamo vedere, la funzione seno ha la stessa periodicità della funzione coseno. Il valore che assume all’origine degli assi, però, è pari a 0.
Possiamo dunque scrivere:
\[ sen(x)=sen(x+2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \]
Confronto tra le funzioni cos(x) e sen(x)
Rappresentiamo le due funzioni sullo stesso grafico cartesiano:
Osserviamo chiaramente che entrambe le funzioni sono limitate. In particolare, la sinusoide e la cosinusoide si mantengono sempre fra le rette \( y = 1 \) e \( y = -1 \). Ciò si esprime matematicamente come segue:
\[ |cos(x)| \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
\[ |sen(x)| \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Per questa lezione ci fermiamo qua 🙂 Con gli strumenti acquisiti potremo continuare lo studio della trigonometria studiando un’importante relazione che lega seno e coseno tra loro e facendo la conoscenza di altre funzioni trigonometriche. Buono studio!