Negli esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche di questa scheda rivedremo tutti i principali accorgimenti per risolvere le più comuni equazioni logaritmiche. Ricordiamo in particolare che per risolvere un’equazione logaritmica dobbiamo tenere conto di due fatti importanti:
- i logaritmi degli argomenti dell’equazione di partenza devono essere tutti positivi non nulli. Di conseguenza, le soluzioni che otterremo per l’equazione vanno sempre testate di modo che rispettino il campo di esistenza dell’equazione. In altre parole, nel ricavare le soluzioni delle equazioni logaritmiche possiamo incorrere in soluzioni estranee, che dobbiamo escludere. Quindi, attenzione. 😉
- l’idea generale per risolvere le equazioni logaritmiche è quella di passare in un dato membro dell’equazione da un’espressione con più logaritmi ad una con un solo logaritmo. Nell’altro membro dell’equazione dovranno esserci invece solo quantità numeriche. In tal modo, passando alla forma esponenziale sarà possibile ricavare le soluzioni dell’equazione;
- per trasformare un’espressione logaritmica contenente più logaritmi ad una con un solo logaritmo dobbiamo utilizzare le proprietà fondamentali dei logaritmi in senso inverso, come visto nella lezione sulle espressioni logaritmiche.
Fatte le dovute premesse, cominciamo subito questi esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche di livello facile-intermedio. 🙂
Esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche di livello facile-intermedio
Esercizio 1
\[ -2 + \log_2 x = 3 \]
Portiamo tutti i termini numerici al secondo membro, sommando i termini simili:
\[ \log_2 x = 5 \]
Poiché il logaritmo è l’esponente (5) da dare alla base (2) per ottenere il numero \( x \), abbiamo:
\[ x = 2^5=32 \]
Ricordiamo che l’argomento di una funzione logaritmica deve essere sempre positivo non nullo. Così, dobbiamo verificare che la soluzione ottenuta faccia sì che tutti gli argomenti dei logaritmi presenti nell’equazione di partenza siano positivi non nulli.
Per \( x = 32 \) l’argomento del logaritmo nel termine \( \log_2 x \) è positivo. Così, la soluzione è accettabile per l’equazione di partenza.
In alternativa, per risolvere l’equazione invece di sfruttare la definizione di logaritmo avremmo potuto passare alla forma esponenziale. Si ha:
\[ \log_2 x = 5 \quad \Rightarrow \quad 2^{\log_2 x} = 2^5 \]
Osserviamo che dobbiamo sempre utilizzare la funzione inversa della funzione logaritmica nel cui argomento abbiamo l’incognita da isolare. Poiché abbiamo un logaritmo in base \( 2 \), come funzione inversa dobbiamo utilizzare la funzione esponenziale \( 2^x \).
Osserviamo che per la proprietà sulla composizione di funzioni tra loro inverse, abbiamo che \( 2^{\log_2 x}=x \). Così, il primo membro dell’equazione diventerà \( x \), e di conseguenza avremo l’equazione:
\[ x=2^5 \]
da cui otteniamo la soluzione:
\[ x=32 \]
Soluzione che andrà ovviamente sempre verificata come già fatto in precedenza.
Esercizio 2
\[ \log x + \log(x-3) = 1 \]
Applichiamo la proprietà del logaritmo del prodotto, in senso inverso. Infatti, poiché per tale proprietà si ha in generale:
\[ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y, \qquad a>0, a\neq 1, \: x,y > 0 \]
per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza vale anche la relazione:
\[ \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) , \qquad a>0, a\neq 1, \: x,y > 0 \]
Così, a partire da una somma di logaritmi possiamo ricondurci al logaritmo del prodotto tra i rispettivi argomenti.
In tal modo possiamo far sì di avere un solo logaritmo al primo membro, in modo da poter risolvere l’equazione come abbiamo fatto per quella del precedente esercizio.
Per la proprietà detta otteniamo così:
\[ \log x + \log(x-3) = 1 \quad \Rightarrow \quad \log\left[x \cdot (x-3) \right]=1 \]
Calcolando il prodotto nell’argomento del logaritmo:
\[ \log(x^2-3x)=1 \]
Conveniamo che qui con il simbolo \( \log \) indichiamo il logaritmo in base 10 (attenzione, in alcuni libri indica invece il logaritmo in base \( e \)). Applichiamo allora la funzione \( 10^x \) ad entrambi i membri dell’equazione (ciò vuol dire passare alla forma esponenziale). Otteniamo:
\[ 10^{\log(x^2-3x)}=10^1 \]
Otteniamo così:
\[ x^2-3x=10 \]
ovvero:
\[ x^2-3x-10=0 \]
Otteniamo per l’equazione di secondo grado le soluzioni:
\[ x_1 = 5; \qquad x_2 = -2 \]
Riprendiamo l’equazione nella forma iniziale, e sostituiamo le soluzioni trovate negli argomenti dei logaritmi:
\[ \log x + \log(x-3) = 1 \]
Vediamo immediatamente che la soluzione \( x_2 = -2 \) non è accettabile poiché rende negativo l’argomento del termine \( \log x \). Se anche un solo argomento di un logaritmo dell’equazione di partenza è negativo per una data soluzione, questa è da scartare.
Vediamo ora cosa succede per la soluzione \( x_1 = 5 \). Sostituendo il corrispondente valore in entrambi gli argomenti dei logaritmi otteniamo sempre un risultato positivo:
\[ \begin{align}&x > 0 &&\text{per} \quad x = 5 \quad \Rightarrow 5>0 \\ \\ &x-3 > 0 &&\text{per} \quad x = 5 \quad \Rightarrow 5-3=2>0\end{align} \]
Così la soluzione \( x=5 \) è accettabile per l’equazione logaritmica di partenza ed è la sua unica soluzione.
Esercizio 3
\[ \ln x = \ln (x-2)+3 \]
Trasportiamo i termini in modo da avere i soli logaritmi al primo membro:
\[ \ln x – \ln(x-2)=3 \]
Stavolta dobbiamo utilizzare al primo membro la proprietà del logaritmo del rapporto. Infatti, ricordiamo che il logaritmo del rapporto tra due quantità è pari alla differenza tra i logaritmi delle rispettive quantità. Di conseguenza, ragionando in modo simmetrico, possiamo anche dire che la differenza tra due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto tra i rispettivi argomenti. Così abbiamo:
\[ \ln x – \ln(x-2)=3 \quad \Rightarrow \quad \ln \left(\dfrac{x}{x-2} \right)=3 \]
Ora passiamo agli esponenziali. Per fare questo, ricordiamo che \( \ln(x) \) è il logaritmo in base \( e \) (logaritmo naturale). Di conseguenza, la sua funzione inversa è l’esponenziale \( e^x \). Dobbiamo quindi applicare \( e^x \) ad entrambi i membri, ottenendo:
\[ e^{\ln \left(\dfrac{x}{x-2} \right)}=e^3 \]
ovvero
\[ \dfrac{x}{x-2}=e^3 \]
Ora dobbiamo risolvere un’equazione fratta. Osserviamo che poiché \( e \) è una costante (numero di Nepero), il termine \( e^3 \) altri non è che un termine noto.
Portiamo il termine noto al primo membro:
\[ \dfrac{x}{x-2}-e^3=0 \]
Denominatore comune:
\[ \dfrac{x-e^3(x-2)}{x-2}=0 \]
Possiamo eliminare il denominatore a patto di porlo diverso da zero. Dobbiamo cioè porre la condizione \( x \neq 2 \). Si ha:
\[ x-e^3(x-2)=0, \qquad x \neq 2 \]
Calcoliamo il prodotto al primo membro:
\[ x-e^3x+2e^3=0 \]
Raccogliamo la \( x \):
\[ x(1-e^3)+2 e^3=0 \]
ovvero:
\[ x(1-e^3)=-2 e^3 \]
e in conclusione:
\[ x = \dfrac{-2e^3}{1-e^3} \]
Possiamo aggiustare il segno in modo da presentare un po’ meglio la soluzione, come segue:
\[ x = \dfrac{2e^3}{e^3-1} \]
La soluzione rispetta la condizione \( x \neq 2 \) per cui è accettabile per l’equazione esponenziale. Ora però non dimentichiamoci. Dobbiamo ancora verificare la soluzione per l’equazione logaritmica di partenza.
Riprendiamo allora l’equazione di partenza:
\[ \ln x = \ln (x-2)+3 \]
Per il termine \( \ln x \) non abbiamo problemi. La soluzione è infatti positiva.
Dobbiamo piuttosto vedere cosa succede per l’argomento dell’altro logaritmo, ovvero \( x-2 \). Si ha:
\[ x-2 \quad \text{con} \quad x = \dfrac{2e^3}{e^3-1} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2e^3}{e^3-1}-2 \]
Cerchiamo di capire se la quantità \( \dfrac{2e^3}{e^3-1}-2 \) è positiva. Denominatore comune:
\[ \dfrac{2e^3}{e^3-1}-2=\dfrac{2e^3-2e^3+2}{e^3-1}=\dfrac{2}{e^3-1} \]
Poiché \( e \) vale circa \( 2,71 \), è immediato rendersi conto che la quantità è positiva. Così, possiamo affermare in conclusione che la soluzione \( x = \dfrac{2e^3}{e^3-1} \) è accettabile. 😉
Esercizio 4
\[ \log_2 (x+5) = \log_2 x + \log_2 (x-3) \]
Portiamo tutti i termini al primo membro:
\[ \log_2(x+5)-\log_2 x -\log_2 (x-3)=0 \]
Ora applichiamo la proprietà del logaritmo del rapporto due volte, in modo inverso. Otteniamo:
\[ \log_2 \left[\dfrac{x+5}{x \cdot (x-3)} \right]=0 \]
Calcoliamo il prodotto al denominatore:
\[ \log_2 \left[\dfrac{x+5}{x^2-3x} \right]=0 \]
A questo punto passiamo alla forma esponenziale, applicando la funzione esponenziale \( 2^x \) ad entrambi i membri:
\[ 2^{\log_2 \left[\dfrac{x+5}{x^2-3x} \right]}=2^0 \]
Otteniamo:
\[ \dfrac{x+5}{x^2-3x}=1 \]
Facendo qualche piccolo calcolo arriviamo all’equazione fratta:
\[ \dfrac{-x^2+4x+5}{x^2-3x}=0 \]
Eseguiamo un raccoglimento al denominatore, in modo da poter poi meglio individuare le condizioni per eliminare il denominatore stesso:
\[ \dfrac{-x^2+4x+5}{x(x-3)}=0 \]
Possiamo eliminare il denominatore, ponendo i fattori che costituiscono la sua scomposizione diversi da zero:
\[ \dfrac{-x^2+4x+5}{\cancel{x(x-3)}}=0, \qquad x \neq 0, \: x \neq 3 \]
Otteniamo l’equazione di secondo grado:
\[ -x^2+4x+5=0 \]
che per comodità possiamo riscrivere come:
\[ x^2-4x-5=0 \]
Risolvendo otteniamo per essa le soluzioni:
\[ x_1=5, \qquad x_2=-1 \]
Le soluzioni sono accettabili per l’equazione fratta poiché rispettano le condizioni \( x \neq 0, \: x \neq 3 \) che avevamo precedentemente imposto per eliminare il denominatore.
Ora, come al solito dobbiamo verificare che tali soluzioni siano accettabili anche per l’equazione logaritmica. Riprendiamo l’equazione nella sua forma di partenza, e sostituiamo le soluzioni negli argomenti dei logaritmi:
\[ \log_2 (x+5) = \log_2 x + \log_2 (x-3) \]
Osserviamo che \( x_2 = -1 \) non è sicuramente soluzione dell’equazione logaritmica. Infatti, ponendo \( x = -1 \) nel termine \( \log_2 x \) ci ritroviamo con un argomento del logaritmo negativo.
Vediamo cosa succede invece con \( x_1 = 5 \) con i vari argomenti dei logaritmi:
\[ \begin{align}&x+5=5+5>0 \\ \\ &x=5>0 \\ \\ &x-3=5-3=2>0 \end{align} \]
Come possiamo vedere, per \( x=5 \) tutti gli argomenti dell’equazione sono positivi. Per cui \( 5 \) è l’unica soluzione dell’equazione logaritmica di partenza.
Per questi esercizi svolti sulle equazioni logaritmiche di livello facile intermedio è tutto. E’ anche disponibile una scheda con esercizi di livello intermedio-avanzato. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂