Negli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte qui proposti effettueremo anche la verifica del risultato delle equazioni. Chiaramente, la verifica delle equazioni di primo grado fratte, sarà eseguita soltanto nel caso in cui l’equazione sia determinata, ovvero abbia una soluzione unica.
Vediamo allora subito questi esercizi sulle equazioni di primo grado fratte, a partire dagli esercizi più semplici, procedendo in ordine di difficoltà crescente. 🙂
Esercizi svolti sulle equazioni di primo grado fratte
Esercizio 1 (esercizi sulle equazioni di primo grado con una sola frazione algebrica)
Eccoci al primo di questi esercizi sulle equazioni di primo grado fratte. In questo semplice esercizio abbiamo soltanto una frazione algebrica:
\[ \dfrac{1-4x}{1-2x}=\dfrac{9}{8} \]
Trasportiamo la frazione numerica dal secondo membro al primo membro:
\[ \dfrac{1-4x}{1-2x}-\dfrac{9}{8}=0 \]
Procediamo mettendo a denominatore comune le frazioni:
\[ \dfrac{8(1-4x)-9(1-2x)}{8(1-2x)}=0 \]
Abbiamo così ricondotto l’equazione alla forma:
\[ \text{frazione algebrica} = 0 \]
Procediamo ora eliminando il denominatore a patto di porre la condizione:
\[ 1-2x \neq 0 \]
ovvero:
\[ -2x \neq -1 \qquad \Rightarrow \qquad x \neq \dfrac{1}{2} \]
Ricordiamo che richiedere il denominatore diverso da zero equivale ad escludere i valori per i quali la frazione algebrica al primo membro non ha significato. Sappiamo infatti che avere una frazione con denominatore nullo equivale a dividere per zero, operazione che non è ammessa.
Possiamo anche ragionare con il secondo principio di equivalenza delle equazioni, nella sua forma generale. Tale principio permette di moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per un’espressione in \( x \), ma quest’ultima dovrà essere non nulla in tutto il suo dominio. E poiché per eliminare il denominatore moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il denominatore stesso, ci dovrà essere di conseguenza una condizione che lo imponga diverso da zero. E di nuovo ritroviamo la condizione posta. 😉
In un modo o nell’altro, l’importante è ricordarsi sempre di discutere il denominatore prima di eliminarlo. Teniamo sempre conto di questo quando svolgiamo gli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte.
Tornando all’esercizio, per i ragionamenti fatti ci ritroviamo con l’equazione intera:
\[ 8(1-4x)-9(1-2x)=0 \]
Svolgiamo i prodotti al primo membro:
\[ 8-32x-9+18=0 \]
Sommiamo i termini simili:
\[ -1-14x=0 \]
Ricaviamo così la soluzione per l’equazione intera:
\[ x= -\dfrac{1}{14} \]
Ora, dobbiamo controllare che la soluzione ottenuta soddisfi l’ipotesi che abbiamo posto sul denominatore.
La condizione che avevamo posto è \( x \neq \dfrac{1}{2} \). La soluzione ottenuta soddisfa questa condizione per cui concludiamo che è accettabile. Indichiamo così l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza con:
\[ S = \left\{-\dfrac{1}{14} \right\} \]
Verifica del risultato
Supporremo in questi esercizi che il testo non sia accompagnato dal risultato finale. Così, procederemo alla verifica di ciascuna soluzione ottenuta.
Sostituiamo nell’equazione di partenza la soluzione \( x = -\dfrac{1}{14} \). Otteniamo:
\[ \dfrac{1-4x}{1-2x}=\dfrac{9}{8} \qquad \text{con } x = -\dfrac{1}{14} \]
\[ \Rightarrow \dfrac{1-\cancel{4}^{\small \displaystyle2}\cdot \left(-\dfrac{1}{\cancel{14}^{\small \displaystyle7}} \right)}{1-\cancel{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{\cancel{14}^{\small \displaystyle7}} \right)}= \dfrac{9}{8} \]
Sviluppiamo i vari passaggi per i calcoli al primo membro:
\[ \dfrac{1-2\left( -\dfrac{1}{7}\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{7} \right)}=\dfrac{9}{8} \]
\[ \dfrac{1+\dfrac{2}{7}}{1+\dfrac{1}{7}}=\dfrac{9}{8} \]
\[ \dfrac{\dfrac{7+2}{7}}{\dfrac{7+1}{7}}=\dfrac{9}{8} \]
\[ \dfrac{\dfrac{9}{7}}{\dfrac{8}{7}}=\dfrac{9}{8} \]
\[ \dfrac{9}{\cancel{7}}\cdot \dfrac{\cancel{7}}{8}=\dfrac{9}{8} \]
\[ \dfrac{9}{8}=\dfrac{9}{8} \]
Otteniamo un’uguaglianza che è vera, quindi la soluzione \( x = -\dfrac{1}{14} \) è corretta.
Nella verifica abbiamo utilizzato le regole per la moltiplicazione e la divisione tra frazioni numeriche. Se qualche passaggio non è chiaro, troverete tutte le spiegazioni nelle lezioni nei link. 😉
Esercizio 2 (equazioni di primo grado fratte con due frazioni algebriche)
\[ \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{x-2} \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x-2}=0 \]
Riduciamo ora tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{2+x-2-4}{2(x-2)}=0\]
Possiamo a questo punto eliminare il denominatore ponendo la condizione:
\[ x-2 \neq 0 \]
ovvero:
\[ x \neq 2 \]
\[ \dfrac{2+x-2-4}{\cancel{2(x-2)}}=0, \quad \text{con} \: x \neq 2 \]
Ci ritroviamo in questo modo con l’equazione intera:
\[ 2+x-2-4=0 \]
Sommiamo i termini simili:
\[ x-4=0 \]
Otteniamo così la soluzione per l’equazione intera:
\[ x = 4 \]
ammissibile anche per l’equazione fratta di partenza, poiché rispetta la condizione \( x \neq 2 \).
Abbiamo in conclusione per l’equazione di partenza l’insieme delle soluzioni:
\[ S = \left\{ 4\right\} \]
Verifica del risultato
\[ \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{x-2} \quad \text{con } x = 4 \]
Otteniamo:
\[ \Rightarrow \dfrac{1}{4-2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4-2} \]
\[ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2} \]
\[ 1=1 \]
L’uguaglianza ottenuta è vera per cui la soluzione trovata per l’equazione di partenza è corretta.
Esercizio 3 (equazioni di primo grado fratte con più frazioni algebriche)
\[ \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{5}{x^2-1} \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5}{x^2-1}=0 \]
Scomponiamo il denominatore della frazione algebrica appena trasportata:
\[ \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5}{(x-1)(x+1)}=0 \]
Ora, mettiamo tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{3(x+1)+2(x-1)-5}{(x-1)(x+1)}=0 \]
Procediamo a questo punto eliminando il denominatore, ponendo la condizione:
\[ (x-1)(x+1) \neq 0 \]
Ciò equivale a dire che nessuno dei due fattori può annullarsi. Così scriveremo:
\[ x-1 \neq 0 \quad \wedge\quad x+1 \neq 0 \]
e quindi:
\[ x \neq 1 \quad \wedge \quad x \neq -1 \]
Con tale condizione, possiamo quindi ricondurci all’equazione intera:
\[ 3x+3+2x-2-5=0 \]
Sommiamo i termini simili:
\[ 5x-4=0 \]
e infine:
\[ x = \dfrac{4}{5} \]
La soluzione è ammissibile anche per l’equazione fratta di partenza, poiché rispetta la condizione \( x \neq 1 \wedge x \neq -1 \).
Scriviamo così in conclusione per l’insieme delle soluzioni dell’equazione data:
\[ S = \left\{\dfrac{4}{5} \right\} \]
Verifica del risultato
Come nei precedenti esercizi, sostituiamo la soluzione trovata alla \( x \) nell’equazione del testo di partenza:
\[ \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{5}{x^2-1} \quad \text{con } \quad x = \dfrac{4}{5} \]
Abbiamo:
\[ \dfrac{3}{\dfrac{4}{5}-1}+\dfrac{2}{\dfrac{4}{5}+1}=\dfrac{5}{\left( \dfrac{4}{5}\right)^2-1} \]
Svolgendo i calcoli che per brevità non riportiamo otteniamo in conclusione:
\[ -\dfrac{125}{9}=-\dfrac{125}{9} \]
Poiché l’uguaglianza ottenuta è vera, la verifica ha avuto esito positivo. Così, la soluzione ottenuta per l’equazione di partenza è corretta.
Esercizio 4
\[ \dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{x+1} \]
Come al solito, portiamo tutto a primo membro:
\[ \dfrac{x}{x-1}-1-\dfrac{3}{x+1}=0 \]
Riduciamo le frazioni algebriche a denominatore comune:
\[ \dfrac{x(x+1)-(x-1)(x+1)-3(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \]
Possiamo eliminare il denominatore, ponendo la condizione:
\[ (x-1)(x+1) \neq 0 \]
ovvero:
\[ x \neq 1 \quad \wedge \quad x \neq -1 \]
Grazie alle condizioni poste eliminiamo il denominatore:
\[ \dfrac{x(x+1)-(x-1)(x+1)-3(x-1)}{\cancel{(x-1)(x+1)}}=0 \]
Otteniamo così l’equazione intera:
\[ x(x+1)-(x-1)(x+1)-3(x-1)=0 \]
Calcoliamo i prodotti. C’è da prestare un po’ di attenzione ai segni. Per maggior chiarezza, svolgiamo tutti i passaggi :
\[ x^2+x-(x^2+x-x-1)-3x+3=0 \]
\[ x^2+x-x^2-x+x+1-3x+3=0 \]
Otteniamo così:
\[ -2x+4=0 \]
\[ -2x=-4 \]
\[ x = 2 \]
La soluzione è accettabile poiché rispetta le condizioni \( x \neq 1 \wedge x \neq -1 \). Così, possiamo scrivere per l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza:
\[ S = \left\{ 2 \right\} \]
Verifica del risultato
\[ \dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{x+1} \quad \text{con } \:x = 2 \]
\[ \Rightarrow \dfrac{2}{2-1}-1=\dfrac{3}{2+1} \]
\[ 1 = 1 \]
La verifica conferma la correttezza della soluzione ottenuta.
Esercizio 5
\[ \dfrac{2}{x-2}+1=\dfrac{x+2}{x-2} \]
Si ha:
\[ \dfrac{2}{x-2}+1-\dfrac{x+2}{x-2}=0 \]
\[ \dfrac{2+x-2-x-2}{x-2}=0 \]
Eliminiamo il denominatore ponendo la condizione \( x \neq 2 \). Sommiamo inoltre i termini simili. Otteniamo:
\[ \dfrac{\cancel{2}\cancel{+x}\cancel{-2}\cancel{-x}-2}{\cancel{x-2}}=0 \]
\[ -2=0 \]
Poiché l’uguaglianza è falsa, l’equazione è impossibile. Non abbiamo così nessuna soluzione per l’equazione di partenza e scriviamo in conclusione:
\[ S = \emptyset \]
Esercizio 6
\[ \dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{3x+2}{x^2+2x-3} \]
Portiamo tutto a primo membro:
\[ \dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{3x+2}{x^2+2x-3}=0 \]
Scomponiamo il denominatore di secondo grado. Si tratta di un trinomio caratteristico (trinomio notevole con somma e prodotto). Otteniamo:
\[ \dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{3x+2}{(x+3)(x-1)}=0 \]
Mettiamo le frazioni algebriche a denominatore comune.
\[ \dfrac{4(x+3)(x-1)-1\cdot x\cdot (x-1)-x(3x+2)}{x(x+3)(x-1)}=0 \]
Poniamo come sempre la condizione di denominatore non nullo. Nel nostro caso:
\[ x(x+3)(x-1) \neq 0 \]
Nessuno dei tre fattori può annullarsi, così avremo le condizioni:
\[ x \neq 0 \quad \wedge \quad x+3 \neq 0 \quad \wedge \quad x-1 \neq 0 \]
e quindi:
\[ x \neq 0 \quad \wedge\quad x \neq -3 \quad \wedge \quad x \quad \neq 1 \]
Grazie alle condizioni poste possiamo eliminare il denominatore:
\[ \dfrac{4(x+3)(x-1)-1\cdot x\cdot (x-1)-x(3x+2)}{\cancel{x(x+3)(x-1)}}=0 \]
Ci ritroviamo così con l’equazione intera:
\[ 4(x+3)(x-1)-1\cdot x\cdot (x-1)-x(3x+2)=0 \]
Calcoliamo i prodotti, quindi sommiamo tra loro i termini simili:
\[ (4x+12)(x-1)-x^2+x-3x^2-2x=0 \]
\[ 4x^2-4x+12x-12-x^2+x-3x^2-2x=0 \]
\[ 7x-12=0 \]
Otteniamo così per l’equazione intera la soluzione:
\[ x=\dfrac{12}{7} \]
La soluzione è accettabile anche per l’equazione fratta di partenza, poiché rispetta le condizioni poste a suo tempo per eliminare il denominatore.
Così in conclusione abbiamo per l’equazione data l’insieme delle soluzioni:
\[ S = \left\{\dfrac{12}{7}\right\} \]
Verifica del risultato
\[ \dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{3x+2}{x^2+2x-3} \quad \text{con } \quad x = \dfrac{12}{7} \]
\[ \Rightarrow \quad \dfrac{4}{\dfrac{12}{7}}-\dfrac{1}{\dfrac{12}{7}+3}=\dfrac{3 \cdot \dfrac{12}{7}+2}{\left( \dfrac{12}{7}\right)^2+2 \cdot \dfrac{12}{7} – 3} \]
Svolgendo i calcoli otteniamo in conclusione:
\[ \dfrac{70}{33}=\dfrac{70}{33} \]
e dunque la soluzione che abbiamo trovato è corretta.
Esercizio 7
\[ \dfrac{3}{x^2-2x}+\dfrac{2x-1}{x^2+2x-8}=\dfrac{2}{x+4} \]
Scomponiamo i polinomi di secondo grado ai denominatori:
\[ \dfrac{3}{x(x-2)}+\dfrac{2x-1}{(x+4)(x-2)}=\dfrac{2}{x+4} \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ \dfrac{3}{x(x-2)}+\dfrac{2x-1}{(x+4)(x-2)}-\dfrac{2}{x+4}=0 \]
Mettiamo tutte le frazioni a denominatore comune:
\[ \dfrac{3(x+4)+x(2x-1)-x(x-2)\cdot2}{x(x-2)(x+4)}=0 \]
Imponiamo il denominatore diverso da zero:
\[ x(x-2)(x+4) \neq 0 \]
otteniamo le condizioni:
\[ x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 2 \quad \wedge \quad x \neq -4 \]
Sotto queste ipotesi possiamo eliminare il denominatore:
\[ \dfrac{3(x+4)+x(2x-1)-x(x-2)\cdot2}{\cancel{x(x-2)(x+4)}}=0 \]
abbiamo così l’equazione intera:
\[ 3(x+4)+x(2x-1)-x(x-2)\cdot2 =0 \]
A questo punto, svolgiamo i prodotti e sommiamo i termini simili:
\[ 3x+12+2x^2-x-2x^2+4x=0 \]
\[ 6x+12 = 0 \]
Otteniamo la soluzione:
\[ x = -2 \]
Questa è accettabile poiché rispetta le condizioni imposte per eliminare il denominatore. Ricordiamoci sempre di fare questo controllo. 😉
D’ora in poi omettiamo per brevità la verifica della soluzione ottenuta. Precisiamo che una tale verifica non è obbligatoria ma può essere molto utile. Ad esempio, in un compito in classe di solito non si conosce il risultato dell’esercizio, e una verifica può aiutarci decisamente a capire se abbiamo risolto correttamente l’esercizio oppure no.
L’opportunità dell’eseguire la verifica o meno, se non espressamente richiesta, è un fatto personale e dipende dal vostro grado di sicurezza con gli esercizi, dal tempo disponibile e da altre considerazioni.
Alcune calcolatrici possono aiutare ad eseguire rapidamente la verifica, anche se le calcolatrici scientifiche più semplici ed economiche non sono in genere il massimo per inserire il testo di un’equazione fratta. Quindi, pur disponendo di una calcolatrice i tipi di verifiche visti possono rivelarsi comunque utili. 😉
Esercizio 8 (esercizi sulle equazioni di primo grado fratte di livello più avanzato)
\[ \dfrac{2x-1}{x-5}+3=\dfrac{3x-2}{5-x} \]
Come nei precedenti esercizi, portiamo tutto a primo membro:
\[ \dfrac{2x-1}{x-5}+3-\dfrac{3x-2}{5-x}=0 \]
Osserviamo che le due frazioni algebriche hanno denominatori tra loro opposti. Possiamo allora semplificarci la vita cambiando il segno davanti al fratto e il segno del denominatore di una delle due frazioni algebriche stesse. In tal modo, queste avranno lo stesso denominatore e il calcolo del denominatore comune risulterà immediato.
Abbiamo:
\[ \dfrac{2x-1}{x-5}+3+\dfrac{3x-2}{x-5}=0 \]
Abbiamo lavorato sulla frazione algebrica vicina al simbolo di uguale, invertendo il segno davanti al fratto e cambiando di segno entrambi i termini al denominatore.
Mettiamo ora tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{2x-1+3(x-5)+3x-2}{x-5}=0 \]
Eliminiamo il denominatore ponendo la condizione:
\[ x \neq 5 \]
\[ \dfrac{2x-1+3(x-5)+3x-2}{\cancel{x-5}}=0 \]
Ci riconduciamo così all’equazione intera:
\[ 2x-1+3x-15+3x-2=0 \]
Sommando i termini simili otteniamo:
\[ 8x-18=0 \]
e la soluzione:
\[ x = \dfrac{9}{4} \]
la quale è accettabile per l’equazione di partenza poiché rispetta la condizione \( x \neq 5 \).
Esercizio 9
\[ \dfrac{3x+1}{x+3}+2=\dfrac{5x-2}{x+3} \]
Come sempre mettiamo tutto al primo membro:
\[ \dfrac{3x+1}{x+3}+2-\dfrac{5x-2}{x+3}=0 \]
Riduciamo tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{3x+1+2(x+3)-5x+2}{x+3}=0 \]
Possiamo a questo punto eliminare il denominatore ponendo la condizione \( x \neq -3 \) (che corrisponde a \( x+3 \neq 0 \)).
\[ \dfrac{3x+1+2(x+3)-5x+2}{\cancel{x+3}}=0 \]
Abbiamo così l’equazione intera:
\[ 3x+1+2(x+3)-5x+2=0 \]
Calcoliamo i prodotti:
\[ 3x+1+2x+6-5x+2=0 \]
Sommiamo i termini simili:
\[ 9=0 \]
Come possiamo vedere l’uguaglianza non può essere verificata da nessun valore della \( x \). Così l’equazione di partenza è impossibile e il suo insieme delle soluzioni è uguale all’insieme vuoto:
\[ S = \emptyset \]
Esercizio 10
\[ \dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3x-8}{(x-3)(x-2)} \]
Portiamo tutto al primo membro. Ricordiamo ancora una volta: per trasportare una frazione algebrica da un membro all’altro di un’equazione dobbiamo cambiare il segno davanti alla linea di fratto della frazione stessa.
\[ \dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{3x-8}{(x-3)(x-2)}=0 \]
Mettiamo tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{x-2+x-3-3x+8}{(x-3)(x-2)}=0 \]
Eliminiamo il denominatore ponendo le condizioni \( x \neq 3 \: \wedge \: x \neq 2 \):
\[ x-2+x-3-3x+8=0 \]
Svolgendo i prodotti a numeratore ci ritroviamo con l’equazione intera:
\[ -x+3 = 0 \]
La quale ha soluzione:
\[ x = 3 \]
Ora, la soluzione è ammissibile per l’equazione fratta di partenza? La risposta è no, poiché tale soluzione non rispetta le condizioni imposte per eliminare il denominatore.
Infatti, la soluzione \( 3 \) non è ammissibile a causa della condizione \( x \neq 3 \) che abbiamo posto in precedenza. Affermiamo pertanto che tale soluzione è estranea.
Così, l’equazione di partenza è impossibile e l’insieme delle soluzioni per essa è pari all’insieme vuoto:
\[ S = \emptyset \]
Esercizio 11
\[ \dfrac{x^2-2}{x-1}=x+1-\dfrac{1}{x-1} \]
Osserviamo che non è necessario né utile scomporre il numeratore della prima frazione algebrica.
Portiamo tutti i termini a primo membro e riduciamoli a denominatore comune.
\[ \dfrac{x^2-2}{x-1}-x-1+\dfrac{1}{x-1}=0 \]
\[ \dfrac{x^2-2-x(x-1)-(x-1)+1}{x-1}=0 \]
Eliminiamo il denominatore ponendo la condizione \( x \neq 1 \):
\[ \dfrac{x^2-2-x(x-1)-(x-1)+1}{\cancel{x-1}}=0 \]
Risolviamo l’equazione intera che otteniamo grazie a tale condizione:
\[ x^2-2-x(x-1)-(x-1)+1=0 \]
\[ x^2-2-x^2+x-x+1+1=0 \]
\[ -2+2=0 \]
\[ -2=-2 \]
Otteniamo un’uguaglianza che è vera per tutti i valori della \( x \) nel dominio dell’equazione. Attenzione: non cadiamo nell’errore di dire che l’uguaglianza è vera per ogni \( x \) reale. 😉 Siamo infatti nel caso delle equazioni di primo grado fratte, e non intere.
Per non sbagliarci basta osservare che l’uguaglianza \( -2=-2 \) è stata ottenuta grazie alla condizione \( x \neq 1 \). Di conseguenza, l’uguaglianza stessa è valida soltanto per tutti gli \( x \) che rispettano tale condizione, e non in tutto \( \mathbb{R} \).
In conclusione, l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza è dato da:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \left\{1 \right\} \]
Esercizio 12
Veniamo ora all’ultimo di questi esercizi sulle equazioni di primo grado fratte:
\[ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x-5}{(x-1)(x-3)} \]
Riduciamo i termini al primo membro a denominatore comune:
\[ \dfrac{x-3+x-1}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{2x-5}{(x-1)(x-3)} \]
Denominatore diverso da zero:
\[ (x-1)(x-3) \neq 0 \quad \iff \quad x \neq 1 \quad \wedge \quad x \neq 3 \]
Eliminando il denominatore grazie alle condizioni poste, abbiamo l’equazione:
\[ 2x-4=2x-5 \]
che si riduce all’uguaglianza:
\[ -4=-5 \]
evidentemente falsa. Di conseguenza, l’equazione è impossibile e per l’equazione di partenza scriveremo:
\[ S = \emptyset \]
Si conclude qui questa scheda nella quale abbiamo visto degli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte (frazionarie). In questo modo abbiamo potuto approfondire quanto già appreso nella teoria riguardante le equazioni di primo grado fratte. Ciao a tutti! 🙂