Negli esercizi sulle disequazioni esponenziali di questa scheda rivedremo tutte le varie tecniche risolutive. Partiremo dai casi più semplici e proseguiremo fino ad affrontare esercizi sulle disequazioni esponenziali di livello medio-avanzato.
Nello svolgere gli esercizi sulle disequazioni esponenziali è fondamentale conoscere le principali proprietà delle funzioni esponenziali e logaritmiche. In particolare, è importante ricordare che le funzioni esponenziali e logaritmiche sono strettamente crescenti se la base è maggiore di \( 1 \) e strettamente decrescenti se la base è compresa tra 0 e 1, estremi esclusi.
Cominciamo allora subito questi esercizi sulle disequazioni esponenziali. Via! 🙂
Esercizi sulle disequazioni esponenziali di livello facile
EsErcizio 1
\[ \left( \dfrac{1}{7}\right)^x \geq 343 \]
Osserviamo che \( 343=7^3 \). Possiamo allora riscrivere la disequazione come segue:
\[ \left( \dfrac{1}{7}\right)^x \geq 7^3 \]
Ora, \( \left(\dfrac{1}{7} \right)^x = \dfrac{1^x}{7^x}=\dfrac{1}{7^x} \). Quindi otteniamo:
\[ \dfrac{1}{7^x} \geq 7^3 \]
Sfruttando le proprietà degli esponenti negativi al primo membro:
\[ 7^{-x} \geq 7^3 \]
Siamo nel caso di una disequazione esponenziale con termini aventi la stessa base. Poiché la base è maggiore di \( 1 \), possiamo scrivere una disequazione algebrica contenente gli esponenti avente lo stesso verso della disequazione di partenza:
\[ -x \geq 3 \]
ovvero in conclusione:
\[ x \leq -3 \]
L’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza è così dato da:
\[ S: \quad ]-\infty, -3] \]
Esercizio 2
Risolvere la disequazione esponenziale:
\[ 16^x \leq 64 \]
Riconosciamo nella disequazione delle potenze di \( 2 \). In particolare possiamo riscrivere la disequazione come:
\[ \left(2^4 \right)^x \leq 2^6 \]
Utilizziamo la proprietà delle potenze di potenze al primo membro:
\[ 2^{4x} \leq 2^6 \]
Siamo ancora nel caso di termini aventi la stessa base. Poiché la base è maggiore di 1 possiamo scrivere una disequazione contenente gli esponenti avente lo stesso verso della disequazione di partenza. Si ha:
\[ 4x \leq 6 \quad \Rightarrow \quad x \leq \dfrac{3}{2} \]
Per cui in conclusione:
\[ S: \quad \left]-\infty, \: \dfrac{3}{2} \right] \]
Esercizio 3
\[ \left(\dfrac{1}{3} \right)^{3-x} \geq 5 \]
La costante a secondo membro non è esprimibile come una potenza avente la stessa base del termine a primo membro. Dobbiamo allora passare ai logaritmi. Poiché la base \( \dfrac{1}{3} \) è compresa tra 0 e 1 (estremi esclusi) dobbiamo invertire il verso della disequazione:
\[ \log_{1/3} \left(\dfrac{1}{3} \right)^{3-x} \leq \log_{1/3} 5 \]
ovvero:
\[3 -x \leq \log_{1/3} 5 \]
e quindi:
\[ x \geq -\log_{1/3} 5 + 3 \]
La disequazione di partenza ha dunque l’insieme delle soluzioni:
\[ S: \quad [-\log_{1/3} 5 + 3, \: +\infty[ \]
Esercizio 4
\[ 3^{\sqrt{x+1}} \leq 9 \]
Poiché \( 9=3^2 \) si ha:
\[ 3^{\sqrt{x+1}} \leq 3^2 \]
Passando agli esponenti (la base è maggiore di 1 quindi conserviamo il verso della disequazione):
\[ \sqrt{x+1} \leq 2 \]
Ora dobbiamo risolvere questa disequazione irrazionale. Osserviamo che dobbiamo mettere a sistema la condizione di realtà \( x+1 \geq 0 \) e la disequazione che si ottiene elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione di partenza. Quindi:
\[ \begin{cases}x+1 \geq 0 \\ \\ x+1 \leq 4 \end{cases} \]
ovvero:
\[ \begin{cases}x \geq -1 \\ \\ x \leq 3 \end{cases} \]
Otteniamo così per la disequazione di partenza l’insieme delle soluzioni:
\[ S: \quad \left[-1, \: 3 \right] \]
NOTA: non abbiamo imposto per la disequazione irrazionale la condizione di concordanza poiché il termine noto è un numero, quindi in questo caso banalmente maggiore di zero. 😉
Esercizi sulle disequazioni esponenziali di livello intermedio
Esercizio 5
\[ \dfrac{2^x-1}{8-2^x} \leq 0 \]
Ci troviamo a dover risolvere una disequazione esponenziale fratta. L’idea è quella di studiare il segno della frazione \( \dfrac{2^x-1}{8-2^x} \). Gli studi del segno del numeratore e del denominatore equivarranno a risolvere le corrispondenti disequazioni esponenziali. 😉
Cominciamo dal numeratore. Ci chiediamo quando:
\[ {2^x-1} \geq 0 \]
Trasportiamo il termine noto al secondo membro:
\[ 2^x \geq 1 \]
Passiamo ai logaritmi:
\[ \log_2 2^x \geq \log_2 1 \]
e in conclusione:
\[ x \geq 0 \]
Dunque il numeratore della frazione è positivo o al più nullo per \( x \geq 0 \).
Studiamo ora il segno del denominatore. Qui ci chiediamo quando questo è strettamente maggiore di zero (infatti il denominatore non può annullarsi):
\[ 2^3-2^x > 0 \]
Portiamo il termine noto al secondo membro:
\[ -2^x>-2^3 \]
ovvero:
\[ 2^x < 2^3 \]
e in conclusione:
\[ x < 3 \]
Quindi il denominatore è maggiore di zero per \( x < 3 \).
Possiamo a questo punto rappresentare i segni del numeratore e del denominatore nel seguente diagramma, determinando così il segno della frazione:
Poiché la disequazione di partenza aveva come operatore di disuguaglianza il minore o uguale, le soluzioni sono:
\[ S: \quad ]-\infty,\: 0] \quad \cup \quad ]3, \: +\infty[ \]
Osserviamo che \( 3 \) non è compreso poiché per tale valore si annulla il denominatore. Il valore \( 0 \) è invece compreso poiché annulla il numeratore e nella disequazione di partenza è inclusa l’uguaglianza.
Esercizio 6
\[ 4^x – 3 \cdot 2^x + 2 < 0 \]
Cerchiamo di ricondurci a termini esponenziali aventi tutti la stessa base:
\[ (2^2)^x-3\cdot2^x+2<0 \]
Applichiamo la proprietà delle potenze di potenze al primo termine:
\[ 2^{2x}-3\cdot 2^x + 2 < 0 \]
A questo punto basta porre la sostituzione \( 2^x = t \). Si ha:
\[ t^2-3t+2 < 0 \]
Otteniamo le soluzioni in \( t \):
\[ 1<t<2 \quad \iff \quad \begin{cases}2^x> 1 \\ \\ 2^x < 2 \end{cases} \]
Risolviamo separatamente le disequazioni esponenziali a sistema e quindi prendiamo l’intersezione dei rispettivi insiemi delle soluzioni. Cominciamo dalla prima disequazione:
\[ 2^x> 1 \quad \Rightarrow \quad \log_2 2^x > \log_2 1 \quad \Rightarrow \quad x > 0 \]
Veniamo alla seconda:
\[ 2^x<2 \quad \Rightarrow \quad \log_2 2^x < \log_2 2 \quad \Rightarrow \quad x < 1 \]
Infine, determiniamo graficamente l’insieme intersezione dei due insiemi delle soluzioni:
La disequazione di partenza è in conclusione risolta per:
\[ S: \quad ]0, \: 1[ \]
Esercizio 7
Risolvere la disequazione esponenziale:
\[ 2^{3x-1}+(2^{x-1})^3 \geq 5 \cdot 2^x \]
Applichiamo la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base. Ad esempio per il termine \( 2^{3x-1} \) si ha:
\[ 2^{3x-1}=2^{3x}\cdot 2^{-1}= \]
e infine, per le proprietà degli esponenti negativi:
\[ =\dfrac{2^{3x}}{2} \]
Così possiamo riscrivere la disequazione come:
\[ \dfrac{2^{3x}}{2}+\left(\dfrac{2^x}{2} \right)^3 \geq 5\cdot 2^x \]
Poniamo ora la sostituzione \( 2^x = t \). Abbiamo:
\[ \dfrac{t^3}{2}+\left(\dfrac{t}{2} \right)^3 \geq 5t \]
Proseguendo i calcoli:
\[ \begin{align}&\dfrac{t^3}{2}+\dfrac{t^3}{8}\geq 5t \\ \\ &\dfrac{4t^3+t^3-40t}{\cancel{8}} \geq 0 \\ \\ & 5t^3-40t \geq 0 \\ \\ &5t(t^2-8) \geq 0\end{align} \]
Risolviamo la disequazione mediante lo studio del segno dei fattori presenti al primo membro:
Otteniamo le soluzioni in \( t \):
\[ -2\sqrt{2} \leq t \leq 0 \quad \vee \quad t \geq 2\sqrt{2} \]
Partiamo dalla doppia disequazione:
\[ -2\sqrt{2} \leq t \leq 0 \]
Questa equivale al sistema:
\[ \begin{cases}t \geq -2\sqrt{2} \\ \\ t < 0 \end{cases} \]
Risostituendo alla \( t \) il termine \( 2^x \) otteniamo:
\[ \begin{cases}2^x \geq -2 \sqrt{2} \\ \\ 2^x < 0\end{cases} \]
Osserviamo che la prima disequazione è indeterminata (un termine positivo è sempre maggiore di uno negativo, e \( 2^x \) è positivo per ogni reale), mentre la seconda è impossibile (un termine positivo non è mai minore di zero). Di conseguenza il sistema risulta impossibile e da esso non otteniamo alcun insieme delle soluzioni per la disequazione di partenza.
Veniamo alla disequazione:
\[ t \geq 2\sqrt{2} \]
Si ha:
\[ 2^x \geq 2\sqrt{2} \]
Passando ai logaritmi:
\[ \log_2 2^x \geq \log_2 (2\sqrt{2}) \]
e quindi:
\[ x \geq \log_2 (2\sqrt{2}) \]
Abbiamo così ottenuto una prima espressione per l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza. E’ comunque possibile semplificare l’espressione grazie alle proprietà dei logaritmi:
\[ x \geq \log_2 (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) \quad \Rightarrow \quad x \geq \log_2 2 + \log_2 2^{\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad x \geq \dfrac{3}{2} \]
La disequazione di partenza ha in conclusione come insieme delle soluzioni:
\[ S: \qquad \left[\dfrac{3}{2}, \: +\infty \right[ \]
Esercizio 8
Veniamo all’ultimo di questi esercizi sulle disequazioni esponenziali di livello intermedio. Seguiranno immediatamente alcuni esercizi di livello avanzato.
Risolvere la disequazione esponenziale:
\[ 3^{4x}-3^{3x}-7\cdot3^{2x}+3^x+6<0 \]
Qui possiamo direttamente porre la sostituzione \( 3^x = t \):
\[ t^4-t^3-7t^2+t+6<0 \]
Tramite la regola di Ruffini possiamo scomporre il polinomio al primo membro, ottenendo:
\[ (t-1)(t+1)(t-3)(t+2)<0 \]
Si tratta a questo punto di effettuare lo studio del segno del prodotto a primo membro. Per farlo, basta studiare il segno di ciascun fattore e quindi determinare il segno del prodotto in ciascun intervallo tramite l’algebra dei segni. Otteniamo le soluzioni in \( t \):
\[ -2<t<-1 \quad \vee \quad 1<t<3 \]
Riscrivendo le doppie disequazioni sotto forma di sistemi:
\[ \begin{cases}t> -2 \\ \\ t< -1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}t>1 \\ \\ t<3 \end{cases} \]
A questo punto sostituiamo alla \( t \) il termine \( 2^x \). Si ha:
\[ \begin{cases}3^x > -2 \\ \\ 3^x <-1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}3^x>1 \\ \\ 3^x<3 \end{cases} \]
Il sistema a sinistra è impossibile poiché la seconda disequazione a sistema è impossibile.
Per il sistema a destra otteniamo:
\[ \begin{cases}3^x > 1 \quad \Rightarrow \quad x > \log_3 1 \quad \Rightarrow \quad x>0 \\ \\ 3^x<3 \quad \Rightarrow \quad x< \log_3 3 \quad \Rightarrow \quad x < 1 \end{cases} \]
Abbiamo in conclusione le soluzioni per la disequazione di partenza:
\[ S: \quad x \in ]0, \: 1[ \]
Esercizi sulle disequazioni esponenziali di livello avanzato
Esercizio 9
Risolvere la seguente disequazione esponenziale:
\[ \dfrac{3\cdot2^{2x+2}-12}{2^x} \leq 2^x + 7 \cdot 2^{2x}-7 -2^{3x} \]
Cominciamo applicando al primo termine del numeratore della frazione al primo membro la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base, in senso inverso. Trasportiamo inoltre tutti i termini al primo membro:
\[ \dfrac{3\cdot2^{2x}\cdot2^2-12}{2^x}-2^x-7\cdot2^{2x}+7+2^{3x} \leq 0 \]
A questo punto mettiamo tutti i termini a denominatore comune:
\[ \dfrac{3\cdot2^{2x}\cdot2^2 – 12 -2^{2x}-7\cdot2^{3x}+7\cdot2^x+2^{4x}}{2^x} \leq 0 \]
Osserviamo che il termine \( 2^x \) in quanto esponenziale è sempre positivo. Di conseguenza possiamo trascurare il denominatore e ricondurci alla disequazione:
\[ 3\cdot2^{2x}\cdot2^2 – 12 -2^{2x}-7\cdot2^{3x}+7\cdot2^x+2^{4x} \leq 0 \]
ovvero:
\[ 11 \cdot 2^{2x} -12-7\cdot 2^{3x}+7\cdot2^x+2^{4x} \leq 0 \]
La disequazione somiglia molto ad una disequazione algebrica. Infatti nei coefficienti degli esponenti in \( x \) è possibile riconoscere il grado di ciascun termine della corrispondente disequazione algebrica. Poniamo allora la sostituzione \( 2^x = t \). Otteniamo:
\[ 11t^2-12-7t^3+7t+t^4 \leq 0 \]
Ordiniamo i termini del polinomio:
\[ t^4-7t^3+11t^2+7t-12 \leq 0 \]
Possiamo scomporre il polinomio al primo membro utilizzando la regola di Ruffini. Si ha:
\[ (t+1)(t-1)(t-3)(t-4) \leq 0 \]
A questo punto non resta che studiare il segno di ciascun fattore:
Abbiamo così le soluzioni in \( t \):
\[ -1 \leq t \leq 1 \quad \vee \quad 3 \leq t \leq 4 \]
Alle doppie disequazioni che abbiamo appena scritto corrispondono i sistemi seguenti:
\[ \begin{cases}t \geq -1 \\ \\ t \leq 1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}t \geq 3 \\ \\ t \leq 4 \end{cases} \]
Risostituendo alla \( t \) il termine \( 2^x \):
\[ \begin{cases}2^x \geq -1 \\ \\ 2^x \leq 1 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}2^x \geq 3 \\ \\ 2^x \leq 4 \end{cases} \]
Risolviamo ciascuna disequazione a sistema:
\[ \small \begin{cases}2^x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad \forall \: x\\ \\ 2^x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq \log_2 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}2^x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq \log_2 3 \\ \\ 2^x \leq 4 \quad \Rightarrow x \leq \log_2 4 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2\end{cases} \]
Il primo sistema ha per soluzioni \( x \leq 0 \). Il secondo sistema ha invece per soluzioni l’intersezione tra gli insieme delle soluzioni delle due disequazioni a sistema, ovvero \( \log_2 3 \leq x \leq 2 \). Per cui abbiamo in conclusione per la disequazione esponenziale di partenza l’insieme delle soluzioni:
\[ S: \quad ]-\infty, \: 0[ \quad \cup \quad [\log_2 3, \: 2] \]
NOTA: per risolvere il secondo sistema e scrivere le relative soluzioni abbiamo dovuto tenere conto del fatto che \( \log_2 3 < 2 \). Per accorgersene, basta osservare che \( 3 \) è una quantità compresa strettamente tra \( 2^1 \) e \( 2^2 \). Quindi l’esponente da dare a \( 2 \) per ottenere \( 3 \) è sicuramente minore di \( 2 \). Ovviamente, c’è sempre il metodo più sbrigativo che consiste nel calcolare il valore approssimato di \( \log_2 3 \) con una calcolatrice. 😉
Esercizio 10
Risolvere la disequazione esponenziale:
\[ \dfrac{3\cdot2^x}{2^x-2}+\dfrac{4}{2^x+2}+\dfrac{3\cdot4^x-8}{4-4^x} < 0 \]
Mettiamo i termini a denominatore comune. Per farlo, osserviamo che:
\[ (2^x-2)\cdot(2^x+2) = (2^x)^2-(2)^2=2^{2x}-4=(2^2)^x-4=4^x-4 \]
Nel terzo termine a primo membro abbiamo il denominatore \( 4-4^x \) che è l’opposto della quantità \( 4^x-4 \). Ciò che desideriamo è riscrivere il terzo termine di modo che il suo denominatore sia uguale al prodotto dei denominatori delle altre due frazioni, rendendo più semplice il denominatore comune.
Osserviamo che se moltiplichiamo per -1 entrambi il numeratore e il denominatore di una frazione otteniamo una frazione equivalente a quella di partenza (a conti e fatti, ciò equivale a moltiplicare per 1). Così per il terzo termine abbiamo:
\[ \dfrac{3\cdot4^x-8}{4-4^x}=\dfrac{-3\cdot4^x+8}{4^x-4} \]
A questo punto il denominatore comune dei termini a primo membro è dato semplicemente da \( (2^x-2)(2^x+2) \). Aggiustando i segni del terzo termine come indicato si ha quindi:
\[ \dfrac{(3\cdot2^x)(2^x+2)+4(2^x-2)-3\cdot4^x+8}{(2^x-2)(2^x+2)}<0 \]
Calcoliamo i prodotti:
\[ \dfrac{3\cdot2^{2x}+6\cdot2^x+4\cdot2^x-8-3\cdot4^x+8}{(2^x-2)(2^x+2)}<0 \]
Poiché \( 3^{4x} = (3^2)^x = 3^{2x} \) i termini \( -3\cdot4^x \) e \( 3\cdot2^{2x} \) si cancellano tra loro. Facendo i rimanenti calcoli otteniamo:
\[ \dfrac{10\cdot2^x}{(2^x-2)(2^x+2)}<0 \]
Ora, poiché \( 2^x \) è un esponenziale è positivo per ogni valore reale. Di conseguenza, il numeratore al primo membro è sempre positivo. Il segno della frazione a primo membro dipende allora soltanto dal denominatore e possiamo ricondurci alla disequazione:
\[ (2^x-2)(2^x+2)<0 \]
Effettuiamo la sostituzione \( 2^x = t \). Si ha:
\[ (t-2)(t+2)<0 \]
Studiando il segno di ciascun fattore:
Otteniamo le soluzioni in \( t \):
\[ -2<t<2 \]
Sostituendo alla \( t \) il termine esponenziale \( 2^x \):
\[ -2<2^x<2 \]
Ciò equivale al sistema:
\[ \begin{cases}2^x > -2 \quad \Rightarrow \quad \forall \: x \\ \\ 2^x < 2 \quad \Rightarrow \quad x < 1 \end{cases} \]
Otteniamo così per la disequazione di partenza le soluzioni:
\[ S: \quad ]-\infty, 1[ \]
Veniamo ora all’ultimo di questi esercizi sulle disequazioni esponenziali.
Esercizio 11
Risolvere la disequazione esponenziale:
\[ \left(2^{x^2}-\dfrac{1}{3} \right) \cdot \left(5^{3x}-6\cdot 5 ^{2x}+3 \cdot 5^x+10 \right) \leq 0 \]
Stiamo attenti a non commettere l’errore di eseguire la moltiplicazione al primo membro. 😉 Complicheremmo soltanto le cose poiché nei fattori compaiono esponenziali con differenti basi.
Piuttosto, studiamo il segno di ciascun fattore. Vediamo allora per quali valori della \( x \) il primo fattore è ad esempio positivo.
Ci chiediamo quando:
\[ 2^{x^2}-\dfrac{1}{3} \geq 0 \]
Passiamo ai logaritmi:
\[ \log_2 2^{x^2} \geq \log_2 \dfrac{1}{3} \]
Otteniamo la seguente disuguaglianza tra gli esponenti:
\[ x^2 \geq \log_2 \dfrac{1}{3} \]
Il primo membro essendo un quadrato è sempre positivo. Di conseguenza la disequazione risulterà sempre verificata se il secondo membro è negativo. Vediamo allora se delle volte la quantità \( \log_2 \dfrac{1}{3} \) è negativa.
Per le proprietà dei logaritmi (logaritmo del rapporto) si ha:
\[ \log_2 \dfrac{1}{3}=\log_2 1 – \log_2 3 = 0-\log_2 3 <0 \]
La quantità \( -\log_2 3 \) è negativa poiché \( \log_2 3 \) è un numero sicuramente positivo (per ottenere \( 3 \) come potenza di \( 2 \) è necessario evidentemente un esponente maggiore di 1 e quindi sicuramente positivo).
Possiamo allora affermare che la disequazione \( 2^{x^2}-\dfrac{1}{3} \geq 0 \) è soddisfatta per tutti i reali. In altre parole, il primo fattore della disequazione di partenza è sempre positivo. Di conseguenza, le soluzioni della disequazione dipenderanno soltanto dal secondo fattore.
Per quanto detto possiamo ricondurre la disequazione di partenza alla disequazione:
\[ 5^{3x}-6\cdot5^{2x}+3\cdot5^x+10 \leq 0 \]
Effettuiamo la sostituzione \( 5^x = t \). Otteniamo la disequazione algebrica:
\[ t^3-6t^2+3t+10 \leq 0 \]
Scomponiamo il polinomio al primo membro (regola di Ruffini). Otteniamo:
\[ (t-2)(t+1)(t-5) \leq 0 \]
Studiamo il segno di ciascun fattore:
Otteniamo le soluzioni nella variabile \( t \):
\[ t \leq -1 \quad \vee \quad 2 \leq t \leq 5 \]
che espresse nella variabile \( x \) diventano:
\[ 5^x \leq -1 \quad \vee \quad 2 \leq 5^x \leq 5 \]
La prima disequazione è chiaramente impossibile. Un esponenziale è infatti sempre positivo e non può essere certo minore di una quantità negativa.
La seconda disequazione (doppia disequazione) equivale al seguente sistema:
\[ \begin{cases}5^x \geq 2 \\ \\ 5^x \leq 5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x \geq \log_5 2 \\ \\ x \leq \log_5 5 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1 \end{cases} \]
A questo punto non ci resta che intersecare gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni a sistema. Otteniamo così per la disequazione esponenziale di partenza l’insieme delle soluzioni:
\[ S: \quad [\log_5 2, \: 1] \]
Conclusioni
Abbiamo così visto i vari metodi risolutivi per le disequazioni esponenziali. Arrivati alla fine di questa esercitazione siamo in grado di risolvere numerosi esercizi sulle disequazioni esponenziali.
Per destreggiarsi con sicurezza nell’ambito degli esercizi sulle disequazioni esponenziali è importante avere ben presenti le definizioni di esponenziale e logaritmo. In particolare, è importante ricordare che le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche sono entrambe strettamente crescenti o strettamente decrescenti a seconda della base considerata. Inoltre, è fondamentale tenere sempre ben presenti le proprietà delle potenze (tra le più importanti: prodotto tra potenze di uguale base, proprietà degli esponenti negativi).
Buon proseguimento con Altramatica! 🙂