In questa lezione vedremo le disequazioni goniometriche risolvibili con lo studio del segno. Può capitare di ritrovarsi davanti disequazioni goniometriche che si presentano nella forma di prodotto o rapporto tra espressioni goniometriche (in questo secondo caso ci riferiamo a disequazioni goniometriche fratte). Si tratta cioè di disequazioni goniometriche risolvibili con lo studio del segno di un prodotto o di una frazione. In tal caso, infatti, sarà possibile studiare il segno di ciascun fattore o del numeratore e denominatore, quindi determinare il segno del prodotto o della frazione utilizzando la regola dei segni. Tale approccio è del tutto analogo a quello che abbiamo seguito nel risolvere ad esempio le disequazioni frazionarie (o disequazioni fratte).
Il metodo risolutivo si appoggia ancora una volta su una rappresentazione grafica. Tuttavia, invece di rappresentare i segni dei fattori con la retta reale, utilizzeremo la circonferenza goniometrica. In particolare, utilizzeremo più circonferenze tra loro concentriche e riporteremo su ciascuna di esse il segno di ciascun fattore in funzione degli angoli.
Gli esercizi che seguono chiariranno meglio come determinare le soluzioni delle disequazioni goniometriche risolvibili con lo studio del segno.
Esercizio 1
Determinare le soluzioni della disequazione:
\[ \left(cos^2\dfrac{x}{2}+cosx-\dfrac{1}{2}\right)ctgx \geq 0 \]
Osserviamo che il primo membro è un prodotto tra due fattori. Tuttavia, prima di poter studiare il segno di ciascun fattore, è necessario svolgere qualche conto per semplificare la forma della disequazione.
Osserviamo infatti che non tutte le funzioni goniometriche presenti nella disequazione hanno lo stesso argomento. Effettivamente, il primo termine del primo fattore ha come argomento \( \dfrac{x}{2} \) e non \( x \).
Tuttavia, possiamo agevolmente risolvere il problema utilizzando la terza formula di duplicazione del coseno:
\[ \begin{align} & cos2x=2cos^2x-1 \\ \\ & cosx = 2cos^2\dfrac{x}{2}-1 \\ \\ & \Rightarrow 2cos^2\dfrac{x}{2} = cosx+1 \\ \\ & \boxed{cos^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{cosx}{2}+\dfrac{1}{2}}\end{align} \]
Possiamo così riesprimere la disequazione in maniera che contenga funzioni trigonometriche nella sola \( x \):
\[ \left( \dfrac{cosx}{2}+\dfrac{1}{2}+cosx-\dfrac{1}{2} \right)ctgx \geq 0 \]
E quindi:
\[ \dfrac{3}{2}cosx \; ctgx \geq 0 \]
Si tratterà ora di studiare i segni di ciascun fattore a primo membro. A prescindere dal simbolo di disequazione, vediamo quando ciascun fattore è positivo.
Ci chiediamo dunque per quali angoli:
\[ \dfrac{3}{2}cosx>0 \]
e per quali angoli:
\[ ctgx > 0 \]
Ci ritroviamo così con due disequazioni elementari da risolvere, una in coseno e una in cotangente.
Studiamo il segno della prima aiutandoci con la circonferenza goniometrica, riportando su di essa i segni.
\[ \dfrac{3}{2}cosx>0 \: \Rightarrow \: cosx>0 \]
Il fattore \( \dfrac{3}{2}cosx \) è dunque positivo per:
\[ -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Studiamo ora il secondo fattore. Vediamo quando:
\[ ctgx > 0 \]
Aiutiamoci ancora una volta con la circonferenza goniometrica, ricordandoci la definizione di cotangente:
Vediamo che il fattore \( ctgx \) è positivo per:
\[ k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Ora, dobbiamo studiare il segno del prodotto dei due fattori. Ci chiediamo cioè quando il termine \( \dfrac{3}{2}cosx \; ctgx \) è positivo:
\[ \dfrac{3}{2}cosx \; ctgx > 0 \]
Ancora una volta, nello studio dei segni ricerchiamo quando un dato termine è positivo, a prescindere dal simbolo di disequazione del testo dell’esercizio.
Disegniamo delle circonferenze concentriche. Sulle due più interne, riportiamo i segni di ciascun fattore. Sulla terza circonferenza, la più esterna, riportiamo i segni del prodotto dei due fattori. Come al solito, il tratto continuo indica segno più, il tratto interrotto (tratteggiato) indica il segno meno.
Vediamo che il primo membro della disequazione, cioè il fattore \( \dfrac{3}{2}cosx \; ctgx \) è positivo per:
\[ 2k\pi<x<\pi+2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Ora, la disequazione di partenza chiedeva di determinare le soluzioni per cui il termine a primo membro risultava maggiore o uguale a zero (quindi, positivo o nullo).
Con lo studio dei segni abbiamo identificato dove il termine è positivo. Ci rimane però da vedere per quali valori della \( x \) tale termine è nullo. Infatti, il simbolo di disequazione nel testo è il maggiore o uguale.
Applicando la legge di annullamento del prodotto:
\[ \dfrac{3}{2}cosx \; ctgx= 0 \: \Rightarrow \dfrac{3}{2}cosx = 0 \: \vee \: ctgx = 0 \]
Risolvendo le due equazioni elementari:
\[ cosx=0 \Rightarrow \: x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi \]
\[ ctgx = 0 \: \Rightarrow \: x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi \]
Quindi, faranno parte delle soluzioni della disequazione assegnata anche le soluzioni:
\[ x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \]
Osserviamo che nell’intervallo \( [0, \: 2\pi] \) la famiglia di soluzioni che abbiamo appena scritto comprende i due angoli \( -\dfrac{\pi}{2} \) e \( \dfrac{\pi}{2} \). Ma, l’angolo \( \dfrac{\pi}{2} \) fa già parte delle soluzioni che abbiamo ottenuto dal precedente studio del segno. Infatti, detto angolo è sicuramente compreso nell’intervallo \( 2k\pi<x<\pi+2k\pi \).
Quindi, per non fornire soluzioni superflue, dobbiamo escludere dalla famiglia \( x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \) gli angoli \( \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \). Per fare questo, dovremo scrivere questa famiglia come:
\[ x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \]
Le soluzioni della disequazione di partenza saranno dunque, concludendo:
\[ 2k\pi<x<\pi+2k\pi \quad \cup \quad \left \{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \right \}, \qquad k \in \mathbb{Z} \]
Esercizio 2 (disequazioni goniometriche con lo studio del segno)
Determinare le soluzioni della seguente disequazione goniometrica fratta:
\[ \dfrac{tg \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)}{1-tg^2x}>0 \]
Anzitutto osserviamo che dovrà essere:
\[ 2x+\dfrac{\pi}{3}\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi \quad \Rightarrow \quad x \neq \dfrac{\pi}{12}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Quindi ricordiamo di essere certi di non avere tali valori nelle soluzioni che determineremo. 😉
Il metodo per risolvere questo esercizio è del tutto simile al metodo per risolvere le disequazioni algebriche frazionarie.
Dobbiamo studiare il segno di numeratore e denominatore, quindi effettuare il prodotto dei segni in modo da determinare il segno della frazione.
Cominciamo a vedere per quali valori della \( x \) il numeratore è maggiore di zero:
\[ tg \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)>0 \]
Poniamo la sostituzione:
\[ z = 2x+\dfrac{\pi}{3} \]
Ci ritroviamo così a dover risolvere la disequazione elementare:
\[ tgz>0 \]
Questa sarà soddisfatta per:
\[ k\pi<z<\dfrac{\pi}{2}+k\pi \]
Ora, dobbiamo effettuare di nuovo il cambio di variabile in modo da poter avere nelle soluzioni funzioni trigonometriche funzione della sola \( x \).
Abbiamo:
\[ k\pi<2x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+k\pi \]
e quindi, esplicitando la \( x \):
\[ -\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2} \]
Rappresentiamo le soluzioni in \( x \) sulla circonferenza goniometrica: queste ci serviranno per determinare alla fine le soluzioni della disequazione di partenza. Non ci serviranno invece le soluzioni espresse in z, per cui non dovremo usare il disegno fatto prima.
Ci servirà quindi questo disegno:
Osserviamo come la famiglia di soluzioni abbia periodicità \( \dfrac{\pi}{2} \). Graficamente, ciò si vede dal fatto che ciascun settore positivo della circonferenza è ruotato rispetto al successivo settore positivo di novanta gradi.
Passiamo ora allo studio del segno del denominatore. Ormai, siamo quasi arrivati ; )
Vediamo quando il denominatore è maggiore di zero, cioè quando:
\[ 1-tg^2x>0 \]
Ciò sarà vero solo se:
\[ -tan^2x>-1 \]
e quindi:
\[ tg^2x<1 \]
Ponendo la sostituzione:
\[ tgx=t \]
otteniamo la disequazione algebrica:
\[ t^2<1 \]
la quale è soddisfatta per:
\[ -1<t<1 \]
Ritornando alla tangente:
\[ -1<tgx<1 \]
Tale richiesta equivale al sistema:
\[ \begin{cases} tgx<1 \\ \\ tgx > -1 \end{cases} \]
Determiniamo le soluzioni del sistema aiutandoci con la circonferenza goniometrica. Lavorando con la circonferenza goniometrica, vediamo che in questo caso non c’è nemmeno bisogno di considerare le due disequazioni separatamente intersecandone le soluzioni. Basta che guardiamo dove la tangente è compresa tra -1 e 1 ; )
Ora non ci rimane che armarci di santa pazienza ed effettuare lo studio del segno della frazione. Come nei precedenti esercizi, avremo ancora bisogno di disegnare delle circonferenze concentriche. Le due più interne saranno le circonferenze relative ai due studi dei segni che abbiamo appena fatto. La circonferenza più esterna si otterrà effettuando il prodotto tra i segni delle circonferenze più interne e rappresenterà i segni della frazione da studiare.
Per maggiore chiarezza, le rette blu indicano i secondi lati degli angoli relativi al numeratore, mentre le rette marroni indicano i secondi lati degli angoli relativi al denominatore.
La circonferenza esterna rappresenta il segno della frazione \( \dfrac{tg \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)}{1-tg^2x} \). Il tratto continuo rappresenta il segno positivo, il tratto discontinuo il segno meno.
Poiché la disequazione di partenza imponeva tale frazione maggiore di zero, le soluzioni sono:
\[ \small -\dfrac{\pi}{6}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{12}+k\pi \quad \vee \quad \dfrac{\pi}{4}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{3}+k\pi \quad \vee \quad \dfrac{7}{12}\pi + k\pi<x<\dfrac{3}{4}\pi+k\pi \]
Sempre ovviamente assumendo che \( k\in \mathbb{Z} \).
Le soluzioni sono tutte accettabili poiché rispettano le condizioni imposte all’inizio sul dominio dell’equazione. Osserviamo infatti che i valori \( \dfrac{\pi}{12}+k\pi \) risultano già esclusi dall’insieme delle soluzioni.
Per le disequazioni goniometriche risolvibili con lo studio del segno direi che è tutto. Nella prossima lezione vedremo le disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno. Buono studio a tutti! : )