Vedremo ora di svolgere alcuni esercizi sulle formule di addizione e sottrazione del coseno e del seno.
Nel primo esercizio, mostreremo l’applicazione diretta di una di queste formule. Nell’esercizio successivo, vedremo l’utilità delle formule di addizione e sottrazione per calcolare il valore di angoli non notevoli.
Faremo poi degli esercizi sulle formule di addizione e sottrazione nei quali dovremo ridurre delle espressioni trigonometriche.
Per meglio affrontare gli esercizi vi ricordo i valori di coseno e seno degli angoli notevoli nel primo quadrante 😉
\[ \begin{align}& cos (0) = 1 ; \qquad \quad \: \: \: \: \: sen(0) = 0 \\ \\ &cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \\ \\ &cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad sen\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}; \qquad \: \: \: sen\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ & cos\left(\frac{\pi}{2} \right)=0; \qquad \: \: \:\: \: sen\frac{\pi}{2} = 1 \end{align} \]
Esercizio 1
Calcolare:
\[ sen\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) \]
Utilizzando la formula di addizione del seno possiamo scrivere:
\[ \begin{align} & sen\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) = \\ \\ & = sen\ \frac{\pi}{3} cos \ \frac{\pi}{4} +cos\ \frac{\pi}{3} sin\ \frac{\pi}{4} = \\ \\ & = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \\ \\ & = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}}{4} = \\ \\ & = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}\end{align} \]
Esercizio 2
Determinare:
\[ cos\frac{\pi}{12} \]
Si tratta di determinare il valore del coseno di \( 15° \). Osserviamo che tale angolo non è un angolo notevole e le formule degli archi associati non sono di aiuto.
Può tuttavia essere espresso come differenza di due angoli notevoli:
\[ \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \]
Dunque, il problema assegnato lo abbiamo ricondotto al calcolo di:
\[ cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \right ) \]
Osserviamo che conosciamo i valori di coseno e seno di questi due angoli. Possiamo dunque applicare la formula di sottrazione del coseno ottenendo:
\[ \begin{align} &cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \right ) = cos\frac{\pi}{4}cos\frac{\pi}{6}+sen\frac{\pi}{4} sen \frac{\pi}{6} = \\ \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} \end{align}\]
Esercizio 3
Ridurre l’espressione:
\[ sen \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right )-cos \left(\alpha – \frac{\pi}{4} \right)= \]
L’esercizio richiede l’utilizzo della formula di addizione del seno e della formula di sottrazione del coseno:
\[ =sen \frac{\pi}{4} cos\alpha+cos \frac{\pi}{4}sen\alpha-\left(cos\alpha cos\frac{\pi}{4}+sin\alpha sin\frac{\pi}{4} \right)= \]
\[ =sen\frac{\pi}{4}cos\alpha+cos\frac{\pi}{4} sen\alpha -cos\alpha cos\frac{\pi}{4}-sen\alpha sen\frac{\pi}{4}= \]
Ora effettuiamo due raccoglimenti parziali, uno con il termine \( sen\dfrac{\pi}{4} \) e uno con il termine \( -cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \):
\[ =sen\dfrac{\pi}{4}(cos\alpha – sen\alpha)-cos\dfrac{\pi}{4}(cos\alpha – sen\alpha)= \]
Già dovremmo accorgerci di qualcosa, dato che il coseno e il seno di \( \dfrac{\pi}{4} \) hanno lo stesso valore 😉 Ciò che sta succedendo è comunque ancora più evidente effettuando il seguente raccoglimento totale:
\[ (cos\alpha – sen\alpha)\left(sen \frac{\pi}{4}-cos \frac{\pi}{4}\right) = 0 \]
In quanto ovviamente \( \displaystyle sen \frac{\pi}{4}-cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \).
Quindi l’espressione non l’abbiamo ridotta ma addirittura annulata 🙂
Esercizio 4
Ridurre l’espressione:
\[ sen\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)-cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)= \]
L’esercizio richiede l’applicazione delle formule di addizione del seno e del coseno. Abbiamo:
\[ = sen\alpha cos\frac{\pi}{4}+cos\alpha sen\frac{\pi}{4}-\left( cos\alpha cos \frac{\pi}{4}-sen\alpha sen\frac{\pi}{4}\right)= \]
Aggiustiamo i segni togliendo le parentesi tonde:
\[ = sen\alpha cos\frac{\pi}{4}+cos\alpha sen\frac{\pi}{4}- cos\alpha cos \frac{\pi}{4}+sen\alpha sen\frac{\pi}{4}= \]
Effettuiamo due raccoglimenti parziali:
\[ =sen\alpha \left( cos\frac{\pi}{4}+sen\frac{\pi}{4} \right)+cos\alpha \left( sen \frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{4}\right)= \]
Ci ritroviamo così con la somma di due termini. Il secondo termine è evidentemente nullo poiché a \( \pi/4 \) le funzioni coseno e seno hanno lo stesso valore. Abbiamo:
\[ =sen\alpha \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)= sen\alpha \sqrt{2} \]
Abbiamo così svolto il nostro esercizio 🙂 Come vedete, bisogna fare molto spesso i raccoglimenti a fattore comune, sia parziali, sia totali. Se volete ripassare i raccoglimenti e i metodi di scomposizione in genere, provate a dare un’occhiata qui 🙂
Esercizio 5
Ridurre l’espressione:
\[ cos \left ( \frac{\pi}{3}-\alpha\right )-sen \left ( \frac{2}{3}\pi+\alpha\right )+2cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3} \right)-cos \left(\frac{5}{6} \pi +\alpha\right) \]
E’ necessario applicare le formule di addizione e sottrazione del coseno e la formula di addizione del seno. Quindi:
\[ \begin{align} & = cos\frac{\pi}{3} cos \alpha + sen \frac{\pi}{3} sen\alpha – \left( sen \frac{2}{3}\pi cos \alpha + cos \frac{2}{3}\pi sen \alpha \right)+ \\ \\ & +2 \cdot \left( cos\alpha cos\frac{\pi}{3}-sen\alpha sen \frac{\pi}{3} \right)- \left(cos\frac{5}{6}\pi cos\alpha – sen \frac{5}{6}\pi sen \alpha \right)=\end{align} \]
Aggiustando i segni e calcolando i valori di coseno e seno negli angoli notevoli otteniamo:
\[ \begin{align} & = \frac{cos\alpha}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sen \alpha – sen \frac{2}{3}\pi cos \alpha -cos\frac{2}{3}\pi sen \alpha+ \\ \\ & + 2\cdot \frac{cos\alpha}{2} – 2 sen\alpha \frac{\sqrt{3}}{2}- cos \frac{5}{6}\pi cos \alpha + sen \frac{5}{6} \pi sen \alpha= \end{align} \]
Il “problema” è ora valutare i valori del coseno e del seno dei seguenti angoli, che non sono notevoli:
\[ sen\frac{2}{3}\pi; \qquad cos \frac{2}{3}\pi; \qquad sen\frac{5}{6}\pi; \qquad cos\frac{5}{6}\pi \]
Osserviamo però che gli angoli \( \dfrac{2}{3}\pi \) e \( \dfrac{5}{6}\pi \) possono essere espressi come differenze tra angoli notevoli:
\[ \frac{2}{3}\pi = \pi – \frac{\pi}{3}; \qquad \frac{5}{6}\pi = \pi – \frac{\pi}{6} \]
A questo punto possiamo calcolare i valori di coseno e seno di questi angoli “strani” utilizzando le formule degli archi associati per gli angoli complementari.
Poiché comunque abbiamo differenze di angoli, potremmo usare le formule di sottrazione invece delle formule degli archi associati? La risposta è sicuramente sì, anche se il procedimento è più laborioso. Tuttavia, avremmo in questo caso:
\[ sen \frac{2}{3}\pi = sen\left(\pi – \frac{\pi}{3} \right)=sen \pi cos \frac{\pi}{3}-cos\pi sen \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[ cos \frac{2}{3}\pi = cos\left(\pi – \frac{\pi}{3} \right)=cos \pi cos \frac{\pi}{3}+sen\pi sen \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2} \]
\[ sen \frac{5}{6}\pi = sen\left(\pi – \frac{\pi}{6} \right)=sen \pi cos \frac{\pi}{6}-cos\pi sen \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \]
\[ cos \frac{5}{6}\pi = cos\left(\pi – \frac{\pi}{6} \right)=cos \pi cos \frac{\pi}{6}+sen\pi sen \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Abbiamo dunque visto che le formule di addizione e sottrazione dimostrano algebricamente le formule degli archi associati. Utilizzare le formule degli archi associati, ove possibile, è molto più immediato, ma in caso di dubbio le formule di addizione e sottrazione possono essere usate come verifica.
Forti di questi risultati, possiamo continuare a ridurre l’espressione 😉
\[ \begin{align} = &\frac{cos\alpha}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sen\alpha – \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sen\alpha+ \\ \\ & + cos \alpha-\sqrt{3}sen\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha+\frac{sen\alpha}{2}= \end{align} \]
\[ =cos\alpha \left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}+1 +\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+sen\alpha \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2} \right)= \]
\[ =\frac{3}{2}cos\alpha + \left( \frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)sen\alpha = \frac{3cos\alpha+(2-\sqrt{3})sen\alpha}{2} \]
E l’esercizio è terminato 😉
Qui terminano gli esercizi sulle formule di addizione e sottrazione del coseno e del seno. Mi auguro che questi svolgimenti possano esservi di aiuto nel risolvere i vostri esercizi.
Nella prossima lezione vedremo le formule di addizione e sottrazione della tangente. Buono studio! 🙂